Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Met de functies $y_{1} = \sqrt{x}$ en $y_{2} = \frac{20}{x + 1}$ kun je nieuwe functies bouwen. We maken drie bouwsels:

door $y_{1}$ en $y_{2}$ op te tellen: $y = \sqrt{x} + \frac{20}{x + 1}$
door $y_{2}$ te schakelen na $y_{1}$ : $y = \frac{20}{\sqrt{x} + 1}$
door $y_{1}$ en $y_{2}$ te vermenigvuldigen: $y = \sqrt{x} \cdot \frac{20}{x + 1}$

Welke regel gebruik je om $y = \sqrt{x} + \frac{20}{x + 1}$ te differentiëren?
En welke regel gebruik je om $y = \frac{20}{\sqrt{x} + 1}$ te differentiëren?

De functie $y = \sqrt{x} \cdot \frac{20}{x + 1}$ is het product van $y_{1}$ en $y_{2}$ .

Ga na dat je deze functie niet kunt differentiëren met de som- of kettingregel.

Deze paragraaf gaat over het differentiëren van het product van (twee) functies.

We bekijken eerst een eenvoudig geval: het product van twee lineaire functies.
$y_{1} = 2 x + 5$ , $y_{2} = 3 x + 1$ en $y = y_{1} \cdot y_{2}$ .

Wat voor soort grafiek heeft $y$ ?

Bepaal $\frac{d y}{d x}$ door eerst in $y = (2 x + 5) (3 x + 1)$ de haakjes uit te werken.

Iemand denkt dat $\frac{d y}{d x} = \frac{d y_{1}}{d x} \cdot \frac{d y_{2}}{d x}$ . Heeft hij gelijk?

We nemen nu het product van twee willekeurige lineaire functies: $y_{1} = a x + b$ , $y_{2} = c x + d$ en $y = y_{1} \cdot y_{2}$ .

Bereken $\frac{d y}{d x}$ door eerste de haakjes weg te werken.

Laat zien dat $\frac{d y}{d x} =$ $y^{'} = a \cdot y_{2} + c \cdot y_{1}$ .

Van een rechthoek is de breedte $y_{1}$ en de lengte $16$ .

$y_{1}$ is een functie van $x$ . Stel dat voor een zekere waarde van $x$ de groeisnelheid van $y_{1}$ gegeven is: $\frac{d y_{1}}{d x} = \frac{1}{4}$ .

Wat is dan de groeisnelheid van de oppervlakte van de rechthoek?

Van een rechthoek is de lengte $y_{2}$ en de breedte $3$ .

$y_{2}$ is een functie van $x$ . Stel dat voor een zekere waarde van $x$ de groeisnelheid van $y_{2}$ gegeven is: $\frac{d y_{2}}{d x} = 8$ .

Wat is dan de groeisnelheid van de oppervlakte van de rechthoek?

Van een rechthoek is de breedte $y_{1}$ , de lengte $y_{2}$ en de oppervlakte $y = y_{1} \cdot y_{2}$ .
Hierbij zijn $y_{1}$ , $y_{2}$ en $y$ functies van $x$ .

Als $x$ toeneemt met $Δ x$ , nemen de zijden $y_{1}$ en $y_{2}$ toe met $Δ y_{1}$ en $Δ y_{2}$ . Dan neemt de oppervlakte $y = y_{1} \cdot y_{2}$ ook toe, namelijk met $y_{1} Δ y_{2} + y_{2} Δ y_{1} + Δ y_{1} \cdot Δ y_{2}$ .

Kun je deze drie termen in het plaatje aanwijzen?

We delen de toename van de oppervlakte door $Δ x$ .

Laat zien dat je dan krijgt: $y_{1} \frac{Δ y_{2}}{Δ x} + y_{2} \frac{Δ y_{1}}{Δ x} + \frac{Δ y_{1}}{Δ x} \cdot Δ y_{2}$ .

We laten $Δ x$ tot $0$ naderen.

Ga na dat je dan krijgt: $y_{1} \cdot \frac{d y_{2}}{d x} + y_{2} \cdot \frac{d y_{1}}{d x} + 0$ .

Productregel
Als $y = y_{1} \cdot y_{2}$ , dan $\frac{d y}{d x} = \frac{d y_{1}}{d x} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot \frac{d y_{2}}{d x}$ .
Anders genoteerd: $y^{'} = {y_{1}}^{'} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot {y_{2}}^{'}$ .

Ga na dat je antwoord bij opgave 44b in overeenstemming is met de productregel.

Ga na dat je antwoorden bij opgave 45a en b in overeenstemming zijn met de productregel.

In de afleiding van de productregel was een rechthoek getekend met zijden $y_{1}$ en $y_{2}$ . Hierin moeten $y_{1}$ en $y_{2}$ dus positief zijn. De productregel is echter algemeen geldig.
We geven nog een andere afleiding van de productregel, die handig gebruik maakt van de kettingregel.

We gebruiken dezelfde notatie als hiervoor.
Bekijk: ${(y_{1} + y_{2})}^{2} = {y_{1}}^{2} + 2 \cdot y_{1} \cdot y_{2} + {y_{2}}^{2}$ .

Ga na dat de afgeleide van het linkerlid is (kettingregel): $2 (y_{1} + y_{2}) \cdot ({y_{1}}^{'} + {y_{2}}^{'})$ . Schrijf deze uitdrukking zonder haakjes.

Ga na dat de afgeleide van het rechterlid is:
$2 y_{1} \cdot {y_{1}}^{'} + 2 (y_{1} \cdot y_{2})^{'} + 2 \cdot y_{2} \cdot {y_{2}}^{'}$ .

De twee afgeleiden in a en b zijn gelijk.

Laat zien dat hieruit de productregel volgt.

Voorbeeld:

De afgeleide van de functie $p : x \to x^{3} \sqrt{2 x + 3}$ bepaal je als volgt.
De functie $p$ is het product van de functies $f$ en $g$ met
$f (x) = x^{3}$ en $g (x) = \sqrt{2 x + 3}$ .
$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ en $g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{2 x + 3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}}$ , dus (met de productregel): $p^{'} (x) = 3 x^{2} \cdot \sqrt{2 x + 3} + \frac{1}{\sqrt{2 x + 3}} \cdot x^{3}$ .

Differentieer:

$y = (x^{4} + x) \sqrt{x}$

$y = x \sqrt{x + 9}$

Differentieer $y = (5 x^{2} + 1) (4 x^{3} + 1)$ op twee manieren:

Met de productregel.

Door eerst de haakjes uit te werken.

Vergelijk de resultaten in a en b.

Gegeven is de functie $y = x^{2} \cdot x^{3}$ .

Differentieer de functie met de productregel.

Deze functie kun je ook zo schrijven: $y = x^{5}$ .

Controleer daarmee of je a goed hebt.

Bij een functie $y$ van $x$ maken we twee nieuwe functies:
$u = x \cdot y$ en $v = 3 y$ .
Als je de afgeleide van $y$ kent, dan ken je ook die van $u$ en van $v$ .

Druk met behulp van de productregel $u^{'}$ uit in $y^{'}$ .

Druk met behulp van de productregel $v^{'}$ uit in $y^{'}$ .

Met welke regel kun je het resultaat in b eenvoudiger vinden?

Bij een functie $y$ van $x$ maken we nog een derde functie:
$z = y \cdot y$ .

Druk $z^{'}$ uit in $y$ en $y^{'}$ met de productregel.

$z = y^{2}$ .

Druk $z^{'}$ uit in $y$ en $y^{'}$ met de kettingregel.

Gegeven is de functie $y = (x^{2} + 2) \sqrt{3 x - 2}$ .

Bepaal exact een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat $1$ .

Controleer je antwoord met de GR.

Van een metalen plaat van $37$ dm breed vouwen we een goot. De bodem maken we $7$ dm en de schuin oplopende kanten dus $15$ dm. De hoogte van de goot noemen we $x$ .
De capaciteit $C$ van de goot is de hoeveelheid water (in liter) die de goot per dm lengte kan bevatten.

Schrijf $C$ als functie van $x$ .

Bereken $C^{'}$ .

Onderzoek met de GR voor welke waarde van $x$ de capaciteit maximaal is.

Controleer of voor die waarde van $x$ de groeisnelheid $C^{'}$ precies $0$ is.

We vormen het product $y$ van drie functies $y_{1}$ , $y_{2}$ en $y_{3}$ van $x$ : $y = y_{1} \cdot y_{2} \cdot y_{3}$ .

$z = y_{1} \cdot y_{2}$

Druk $z^{'}$ uit in $y_{1}$ , $y_{2}$ , ${y_{1}}^{'}$ en ${y_{2}}^{'}$ .

$y$ is het product van $z$ en $y_{3}$ .

Druk $y^{'}$ uit in $z$ , $y_{3}$ , $z^{'}$ en ${y_{3}}^{'}$ en vervolgens in $y_{1}$ , $y_{2}$ en $y_{3}$ en ${y_{1}}^{'}$ , ${y_{2}}^{'}$ en ${y_{3}}^{'}$ .

Productregel voor drie functies
Als $y_{1}$ , $y_{2}$ en $y_{3}$ functies van $x$ zijn en $y = y_{1} \cdot y_{2} \cdot y_{3}$ , dan
$y^{'} = {y_{1}}^{'} \cdot y_{2} \cdot y_{3} + y_{1} \cdot {y_{2}}^{'} \cdot y_{3} + y_{1} \cdot y_{2} \cdot {y_{3}}^{'}$ .

Merk op dat in het product $y_{1} \cdot y_{2} \cdot y_{3}$ elk van de functies één keer afzonderlijk gedifferentieerd wordt. Het resultaat bestaat dus uit drie termen.

Gegeven de functie $y = (x^{2} + 1) \cdot (x^{3} + 2) \cdot (x^{4} + 3)$ .

Differentieer deze functie met de productregel voor drie functies. Werk de haakjes niet uit.

Stel een vergelijking op van de raaklijn in het punt $(0,6)$ .

Gegeven is de functie $y = (1 - x) (1 + x) (1 + x^{2})$ .

Bereken $\frac{d y}{d x}$ voor $x = 1$ met de productregel.

Bereken $\frac{d y}{d x}$ voor $x = 1$ door eerst de formule voor $y$ zonder haakjes te schrijven.

(hint)

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Hoe luidt de productregel voor vier functies, zeg voor $y = y_{1} \cdot y_{2} \cdot y_{3} \cdot y_{4}$ ?

Gegeven is de functie $y = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4)$ .
De grafiek van deze functie snijdt de $x$ -as in vier punten.

Bereken de afgeleide in elk van die punten.

De antwoorden bij a waren afwisselend negatief en positief.

Maak op grond hiervan een schets van de grafiek.

Hoeveel oplossingen zal $y^{'} = 0$ hebben?

Gegeven is de functie $f : x \to x \sqrt{6 - x}$ .
Er geldt: $f^{'} (x) = \frac{12 - 3 x}{2 \sqrt{6 - x}}$ .

Laat dat zien.

Bereken de coördinaten van het punt waar de raaklijn horizontaal is.

In Rekentechniek kun je de vaardigheid oefenen die in opgave 62a nodig is.