Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Gegeven is het verband $z = 3 a^{2} + a$ . Als $a = 1$ , dan $z = 4$ .
Als $a$ een klein beetje toeneemt, zeg met $Δ a$ , verandert $z$ ook (een klein beetje), zeg met $Δ z$ . Zie figuur.

Als $a$ met $Δ a = 0,01$ toeneemt, hoeveel keer zo snel neemt $z$ dan toe als $a$ (dat is $\frac{Δ z}{Δ a}$ )?
En als $a$ met $Δ a = 0,001$ toeneemt?

Als $a = 1$ , dan is $\frac{d z}{d a} = 7$ , dus:
de toename van $z = 7 \cdot$ toename van $a$ .

Gegeven is het verband $u = 5 + 2 x$ . Als $x = 0$ , dan $u = 5$ .
Als $x$ toeneemt, verandert $u$ ook.

Hoeveel keer zo snel verandert $u$ als $x$ ?

Gegeven is het verband $y = 2 x^{4} - 3 x^{2} + 4 x - 5$ . Als $x = 1$ , dan $y = ‐ 2$ . Als $x$ verandert, verandert $y$ ook.

Hoeveel keer zo snel verandert $y$ als $x$ ?

Herhaling groeisnelheid

We beschouwen de prijs $p$ van een product als functie van de tijd $t$ , $p$ in euro, $t$ in jaren.
De afgeleide $\frac{d p}{d t}$ zegt hoeveel keer zo snel $p$ groeit als $t$ op een bepaald moment.
Als bijvoorbeeld op een gegeven moment $\frac{d p}{d t}$ gelijk is aan $1 \frac{1}{2}$ , dan groeit $p$ op dat moment $1 \frac{1}{2}$ keer zo snel als $t$ . Dus als $t$ met $0,1$ jaar toeneemt (en de groeisnelheid blijft onveranderd) zal $p$ met $1 \frac{1}{2} \cdot 0,1 = 0,15$ euro toenemen.
En als $t$ met $0,07$ afneemt (en de groeisnelheid blijft onveranderd), zal $p$ met $1 \frac{1}{2} \cdot 0,07 = 0,105$ euro afnemen.

Het volume $V$ van een bol met straal $r$ is $\frac{4}{3} π r^{3}$ .
Een stalen bol met straal $r$ wordt verhit. Daardoor zet hij uit: de straal neemt toe met $0,025$ . Hoeveel de inhoud dan toeneemt, hangt af van de waarde van $r$ .

Wanneer is de toename van de inhoud het grootst, bij een kleine waarde of bij een grote waarde van $r$ ? Licht je antwoord toe.

Geef een formule voor $\frac{d V}{d r}$ .

Neem $r = 2$ .

Toon aan dat de inhoud van de bol toeneemt met ongeveer $0,4 π$ .

Met een touw van $40$ meter omspannen we een rechthoek.
De lengte van de rechthoek noemen we $x$ (meter), de oppervlakte van de rechthoek noemen we $A$ (m²).

Druk $A$ uit in $x$ .

Als we $x$ laten toenemen met $0,05$ , verandert $A$ . Met hoeveel $A$ verandert, hangt af van de waarde van $x$ .

Toon aan dat $A$ dan ongeveer toeneemt met $1 - 0,1 x$ .

De grootste oppervlakte krijg je door een vierkant van $10$ bij $10$ meter te omspannen.

Hoe kun je dat aan de uitkomst $1 - 0,1 x$ uit b zien?

Het gewicht dat een balk dragen kan, hangt af van de breedte en de dikte van de balk. De breedte is de horizontale afmeting, de dikte is de verticale afmeting. De draagkracht is het grootst als het zogenaamde weerstandsmoment zo groot mogelijk is. Het weerstandsmoment van een balk met breedte $x$ en dikte $y$ (beide in cm) wordt gegeven door de formule: $w = x \cdot y^{2}$ .

Uit een boomstam met een diameter van $30$ cm wordt een balk gezaagd met breedte $20$ cm en zo groot mogelijke dikte.

Bereken het weerstandsmoment van de balk.

Uit een boomstam met een diameter van $30$ cm wordt een balk gezaagd met breedte $x$ cm en zo groot mogelijke dikte.

Toon aan dat geldt: $w = 900 x - x^{3}$ .

Bij welke breedte is het weerstandsmoment maximaal?

We vergelijken twee balken die net uit de boomstam gezaagd kunnen worden. De ene balk is $1$ mm breder dan de andere. Ze hebben verschillende weerstandsmomenten. Hoeveel hun weerstandsmomenten verschillen, hangt af van de breedte $x$ van de ene balk.

Toon aan dat het verschil tussen de weerstandsmomenten ongeveer $90 - 0,3 x^{2}$ is.

Groeisnelheid van een ketting

We willen de functie $y = {(x^{2} + 2)}^{2}$ differentiëren. Daarvoor gebruiken we het begrip groeisnelheid. We zien de functie als ketting van twee functies: eerst wordt bij een getal $x$ uitgerekend wat $x^{2} + 2$ is, daarna wordt van de uitkomst het kwadraat genomen.
Schematisch: $x \to u = x^{2} + 2 \to y = u^{2}$ .

Neem $x = 1$ .

Wat zijn dan de bijbehorende waarden van $u$ en $y$ ?

Als $x$ een beetje verandert, veranderen $u$ en $y$ ook.

Ga na dat $u$ dan $2$ keer zo snel verandert als $x$ en dat $y$ dan $6$ keer zo snel verandert als $u$ .

Uit b volgt onmiddellijk hoeveel keer zo snel $y$ verandert als $x$ (als $x = 1$ ).

Hoeveel keer zo snel?

Je kunt de groeisnelheden in b en c ook zo opschrijven:
als $x = 1$ , dan $\frac{d u}{d x} = 2$ ,
en $u = 3$ , dus $\frac{d y}{d u} = 6$ ,
dus $\frac{d y}{d x} = 6 \cdot 2 = 12$ als $x = 1$ .

Bereken zo ook de groeisnelheid $\frac{d y}{d x}$ als $x = 2$ .

Wat is de groeisnelheid $\frac{d y}{d x}$ voor willekeurige $x$ ?

Algemeen

Gegeven is de ketting: $x \to u \to y$ .
Stel dat de twee schakels $x \to u (x)$ en $u \to y (u)$ functies zijn waarvan je de afgeleide kent. Dan kun je ook de afgeleide van de ketting $x \to y (x)$ berekenen.
Neem $x = 3$ ; stel dat $u = 2$ de bijbehorende waarde van $u$ is.

Bereken $\frac{d u}{d x}$ als $x = 3$ , dat is de groeisnelheid van $u$ ten opzichte van $x$ als $x = 3$ .
Bereken $\frac{d y}{d u}$ als $u = 2$ , dat is de groeisnelheid van $y$ ten opzichte van $u$ als $u = 2$ .

Dan is het product van deze twee groeisnelheden de groeisnelheid van $y$ ten opzichte van $x$ als $x = 3$ , in formule:
$\frac{d y}{d x}$ $=$ $\frac{d u}{d x}$ $\cdot$ $\frac{d y}{d u}$ .

Kettingregel
Gegeven is de ketting van functies $x \to u \to y$ .
Dan: $\frac{d y}{d x}$ $=$ $\frac{d y}{d u}$ $\cdot$ $\frac{d u}{d x}$ .

Voorbeeld:

De afgeleide van de functie $y = {(x^{2} + \sqrt{x})}^{6}$ vind je met de kettingregel.
Je maakt de ketting $x \to u \to y$ met $u = x^{2} + \sqrt{x}$ en $y = u^{6}$ .
$\frac{d y}{d x}$ $=$ $\frac{d y}{d u}$ $\cdot$ $\frac{d u}{d x}$ geeft:
$\frac{d y}{d x} = 6 u^{5} \cdot (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) = 6 {(x^{2} + \sqrt{x})}^{5} \cdot (2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}})$ .

Voorbeeld:

De afgeleide functie van $y = \frac{4}{x^{2} + 1}$ kun je ook met de kettingregel vinden. Je maakt de ketting:
$x \to u \to y$ , met $u = x^{2} + 1$ en $y = \frac{4}{u}$ .
Met de kettinregel vind je:
$\frac{d y}{d x} = ‐ \frac{4}{u^{2}} \cdot 2 x = \frac{‐ 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Bereken de afgeleide van elk van de volgende functies (vereenvoudigen hoeft niet).

$y = {(x^{5} + 1)}^{2}$	$y = {(3 \sqrt{x} + 5)}^{3}$	$y = {(x^{5} + x^{3} + x)}^{2}$
$y = \sqrt{x^{2} + 1}$	$y = \frac{1}{3 + x \sqrt{x}}$	$y = \sqrt{x + \sqrt{x}}$

We kunnen de kettingregel ook als volgt noteren.
Gegeven de functies $f$ en $g$ ; de functie $h$ is de ketting:
$x \to u = g (x) \to f (u) = y$ .
Dan $h (x) = f (g (x))$ en $h^{'} (x) = f^{'} (u) \cdot g^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ .

We geven nog een ander bewijs van de kettingregel.
Gegeven is de ketting $x \to u \to y$ .
Neem $\tilde{x}$ dicht bij $x$ en noem de bij $\tilde{x}$ behorende waarden $\tilde{u}$ en $\tilde{y}$ , dan $\frac{d y}{d x} \approx \frac{\tilde{y} - y}{\tilde{x} - x} = \frac{\tilde{y} - y}{\tilde{u} - u} \cdot \frac{\tilde{u} - u}{\tilde{x} - x} \approx \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ .
Door $\tilde{x}$ dicht genoeg bij $x$ te nemen, komt $\tilde{u}$ dicht bij $u$ en kunnen de foutjes bij de ≈-tekens willekeurig klein gemaakt worden.

Opmerking
In dit bewijs doet zich een probleem voor als $\tilde{u} = u$ . Maar ook in dat geval blijft de kettingregel van kracht.

De functie $y = \sqrt{x^{2}}$ is voor positieve getallen $x$ gewoon de functie $y = x$ . Dus daar kennen we de afgeleide wel van.

Ga na of je met de kettingregel dezelfde afgeleide vindt.

Differentieer de functie $y = {(2 x + 9)}^{2}$ op twee manieren.

Met de kettingregel.

Zonder de kettingregel.

Differentieer de functie $y = \sqrt{9 x}$ op twee manieren.

Met de kettingregel.

Zonder de kettingregel.

De kettingregel kan ook in combinatie met de somregel en de veelvoudregel worden toegepast.
Differentieer de volgende functies (vereenvoudigen hoeft niet).

$y = 5 x + \sqrt{x^{2} - 4 x}$

$y = 5 \sqrt{x^{2} - 4 x}$

$y = \sqrt{9 x} - \sqrt{x^{2} - 4 x}$

$y = {(x^{3} + x)}^{4} + {(x^{2} + x)}^{3}$

Een stok van $10$ dm staat verticaal op de vloer. Hij kan scharnieren om zijn voetpunt. We draaien de stok van de verticale stand naar de horizontale stand.
$x$ is het aantal dm dat de stok overhelt, $y$ is de hoogte van de top van de stok boven de vloer (ook in dm).

Druk $y$ uit in $x$ .

Als $x$ groter wordt, wordt $y$ kleiner.

Bereken de groeisnelheid van $y$ ten opzichte van $x$ .

Voor welke $x$ is die groeisnelheid $‐ 1$ ?

Hoe groot is de groeisnelheid als $x = 0$ ?

Wat weet je van de groeisnelheid als $x$ bijna $10$ is?

Controleer je antwoorden met de grafiek van $y$ op de GR.

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{64} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{3}$ .

Teken de grafiek van $f$ op de GR.

Bereken de nulpunten van $f (x)$ .

Bereken de minimale waarde van $f$ .

De grafiek van $f$ heeft een symmetrieas: de lijn $x = 1$ . Dat kun je ook aan de formule zien.

Toon aan: $f (x) = \frac{1}{64} {({(x - 1)}^{2} - 4)}^{3}$ .

Leg uit hoe hieruit volgt dat de lijn $x = 1$ inderdaad symmetrieas is van de grafiek van $f$ .

Wat weet je van de groeisnelheden in twee punten die elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn $x = 1$ ?

Van een vierzijdige piramide $T . A B C D$ is gegeven: $A B C D$ is een vierkant en $T A = T B = T C = T D = 3$ .
Neem in de vragen a en b aan dat $A B = 2$ .

Bereken de hoogte van de piramide.

De inhoud van een piramide met hoogte $h$ waarvan het grondvlak oppervlakte $G$ heeft, is $\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .

Bereken de inhoud van piramide.

Neem in de vragen c en d aan dat $A B = x$ .

Laat zien dat de inhoud van de piramide is: $\sqrt{x^{4} - \frac{1}{18} x^{6}}$ .

Bereken, met behulp van de afgeleide voor welke $x$ de inhoud van de piramide maximaal is.

Gegeven is de functie $y = {(1 + \sqrt{x^{2} + 1})}^{3}$ .
We kunnen deze functie weer opvatten als een ketting van eenvoudige functies. Maar nu hebben we drie schakels nodig: $x \to u \to v \to y$ .

Welke schakels? Schrijf $u$ als functie van $x$ , $v$ als functie van $u$ en $y$ als functie van $v$ .

Geef de afgeleide van de afzonderlijke schakels.

De afgeleide van de ketting is het product van deze schakels.

Geef een formule voor $\frac{d y}{d x}$ uitgedrukt in $x$ .

Differentieer de volgende functies (vereenvoudigen hoeft niet):

$y = \sqrt{2 + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

$y = {({(x^{2} + 1)}^{3} + 1)}^{4}$

$y = 4 - \sqrt{3 + {(2 - x)}^{5}}$

Agent 007 is op $3$ km afstand van de kust gedropt. Met een rubberboot wil hij de kust bereiken om bij strandpaal 38 een geheime boodschap achter te laten.
Natuurlijk is het zaak dat hij zo snel mogelijk dit klusje klaart. Met de boot kan hij zich roeiend verplaatsen met een snelheid van $4$ km/uur. Het water is zo rustig dat de vaarrichting niet van invloed is op zijn snelheid. Op het strand kan hij een lange poos een snelheid van $8$ km/uur volhouden.

Hierboven staat een situatieschets. Als James Bond recht naar de kust zou roeien, zou hij die op plaats $A$ bereiken. Strandpaal 38 is $4$ km verwijderd van plaats $A$ .

Veronderstel dat James inderdaad naar $A$ roeit.

Hoeveel tijd heeft hij dan in totaal nodig om paal 38 te bereiken?

Veronderstel dat hij rechtstreeks naar strandpaal 38 roeit (dat wil zeggen volgens een rechte lijn).

Hoeveel tijd heeft hij dan in totaal nodig om paal 38 te bereiken?

Door ergens tussen $A$ en paal 38 aan land te gaan, kan James waarschijnlijk o zo belangrijke tijd winnen.

Stel dat hij precies halverwege $A$ en paal 38 aan land gaat.
Hoeveel minuten tijdwinst boekt hij dan ten opzichte van de routes in a en b?

Met differentiaalrekening kun je de snelste route berekenen. Zeg dat James Bond op een plaats $B$ aan land gaat, $x$ km van $A$ af. De tijd die hij dan in totaal nodig heeft om standpaal 38 te bereiken, noemen we $t$ (minuten).

Toon aan: $t = 15 \sqrt{x^{2} + 9} + 30 - 7,5 x$ .

Bepaal met je GR voor welke waarde van $x$ de benodigde tijd $t$ minimaal is. Licht je werkwijze toe.

Bereken $\frac{d t}{d x}$ .

Bereken hiermee exact voor welke waarde van $x$ de benodigde tijd $t$ minimaal is.