10.5 De somrij van een rekenkundige rij >

Driehoeksgetallen

Door de eerste zes positieve natuurlijke getallen bij elkaar op te tellen, vind je het driehoeksgetal met basis 6.
Hiernaast zie je een plaatje bij dit driehoeksgetal. Je kunt eenvoudig natellen dat het driehoeksgetal met basis 6 gelijk is aan 21.

Wat zijn de driehoeksgetallen met basis $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ en $7$ ?

Ik vertel je wat het driehoeksgetal is met basis $70$ : $2485$ .

Weet je nu ook de driehoeksgetallen met basis $71$ en met basis $69$ ?

Het is een heel karwei om het driehoeksgetal met basis 100 te berekenen door eenvoudigweg de getallen 1 tot en met 100 bij elkaar op te tellen. Het kan een stuk slimmer met de methode van Gauss. Carl Friedrich Gauss is een van de grote wiskundigen van de westerse cultuur. Volgens een anekdote moest Carl als negenjarig jongetje als strafwerk de getallen 1 tot en met 100 bij elkaar optellen. Lui als hij was, verzon hij de volgende handige aanpak voor dit probleem. Hij schreef de som twee keer op: één keer in gewone volgorde en daaronder één keer in omgekeerde volgorde:

Toen telde hij de twee getallen op die onder elkaar staan: de uitkomst is steeds 101.

Bereken nu het driehoeksgetal met basis 100.

Gebruik de methode van Gauss om het driehoeksgetal met basis $1000$ te berekenen.

Gebruik de methode van Gauss om een formule voor het driehoeksgetal met basis $n$ te vinden.

Gauss

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 april 1777 – Göttingen, 23 februari 1855) was een Duits wiskundige en natuurkundige, die een zeer belangrijke bijdrage heeft geleverd aan een groot aantal deelgebieden van de wiskunde en de exacte wetenschappen. Hij wordt soms de koning der wiskunde genoemd. Gauss wordt gezien als een van de meest invloedrijke wiskundigen uit de geschiedenis. Hij sprak over de wiskunde als "de koningin van de wetenschappen".
Bron: Wikipedia.

Op de site van de Wageningse Methode staat bij Software_basisvorming2[zip] het programma Oefenen met driehoeksgetallen. Daaruit nemen we de volgende vraag.

In de figuur staat een tabel met driehoeksgetallen: het driehoeksgetal met basis $n$ is $Δ (n)$ .

Bereken (handig) het aantal dikke stippen in de figuur hierboven.

De somrij recursief

We bekijken de rij $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , ... . Dat is dus de rekenkundige rij met formule $a_{n} = n$ ( $n = 1$ , $2$ , $3$ , ...).
We gaan met behulp van deze rij een nieuwe rij $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , ... maken, door de termen van de oorspronkelijke rij bij elkaar op te tellen. Dat werkt als volgt:
$s_{1} = a_{1}$ ,
$s_{2} = a_{1} + a_{2}$ ,
$s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ,
enzovoort. Algemeen geldt dat $s_{n}$ de som is van de eerste $n$ termen van de rij $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , ... (dat wil zeggen: de eerste $n$ termen bij elkaar opgeteld).
Dus (in formule): $s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ .

Leg uit dat $s_{n} - s_{n - 1} = a_{n}$ voor alle getallen $n \geq 2$ .

Gebruik de directe formule voor $a_{n}$ om de recursieve betrekking voor de somrij af te maken:
${\begin{cases} s_{1} = 1 \\ s_{n} = s_{n - 1} + ... (n = 2, 3, 4, \dots) \end{cases}$

Voer deze recursieve betrekking voor de rij $s_{n}$ in als eerste rij op de GR.

Er geldt $s_{n} = 1 + 2 + 3 + ... + n$ .

Gebruik opgave 47 om een directe formule voor de rij $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , ... te geven.

Voer de directe formule uit het vorige onderdeel in op de GR als tweede rij en controleer of de twee rijen die nu op je GR staan gelijk zijn.

Laat met behulp van algebra zien dat uit de directe formule van opgave 47 volgt: $s_{n} - s_{n - 1} = n$ .

We bekijken de rij met directe formule $a_{n} = n^{2}$ , $n = 1$ , $2$ , $3$ , ... .

Voer deze rij als eerste rij in op je GR.

De somrij van rij $a$ noemen we $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , ... .

Voer als tweede rij de somrij in met behulp van de recursieve betrekking voor de somrij.

Lees uit de tabel op de GR $s_{5}$ , $s_{6}$ en $s_{7}$ af.

We willen de som van de eerste honderd kwadraten berekenen.

Bereken die met de GR.

Directe formule somrij van een rekenkundige rij

We bekijken de rij met de formule $a_{n} = 3 + 5 n$ ( $n$ geheel en $n \geq 0$ ). De somrij van deze rij noemen we $s_{0}$ , $s_{1}$ , $s_{2}$ , ... .

Bepaal met de methode van Gauss de som van de eerste $11$ (!) termen, dus $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{10} = 3 + 8 + 13 + ... + 53$ .

Hieronder staat een plaatje van de rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... ; de lengte van het bovenste balkje is $a_{0}$ , de lengte van het balkje eronder is $a_{1}$ , de lengte van het balkje daaronder $a_{2}$ , enzovoorts.

Hoe kun je aan het 'trapje' zien dat we met een rekenkundige rij te maken hebben?

De $n$ -de term van de somrij, $s_{n}$ , krijgen we door de lengte van de balkjes van het 'trapje' hierboven bij elkaar op te tellen.
Om dit te vergemakkelijken leggen we het trapje er nog eens omgekeerd tegenaan. Zo krijgen we een rechthoek.

Waarom sluiten de trapjes zo mooi aan?

Leg uit dat $s_{n} = \frac{1}{2} \cdot (n + 1) (a_{0} + a_{n})$ .

Bereken met de formule uit het vorige onderdeel de som van de termen van $3$ tot en met $103$ .

Als $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... een rekenkundige rij is, dan kan de som van een aantal opvolgende termen bepaald worden met de regel: som van de termen = gemiddelde van begin- en eindterm maal het aantal termen.
In formule: $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} = \frac{1}{2} \cdot (n + 1) (a_{0} + a_{n})$ .

Waarom geldt de formule hierboven alleen voor rekenkundige rijen en bijvoorbeeld niet voor de rij $a_{n} = n^{2}$ , $n = 0$ , $1$ , $2$ , ..., die hiernaast in beeld is gebracht?

We bekijken de rij oneven getallen: $1$ , $3$ , $5$ , $7$ ... . Deze rij noemen we $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , ... .

Geef een directe formule voor deze rij. Wat is de honderdste term in de rij?

Bereken de som van de eerste $100$ oneven getallen.

Bereken $1 + 3 + 5 + ... + 99$ .

De somrij van $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , ... noemen we $t_{1}$ , $t_{2}$ , $t_{3}$ , ... .

Geef een directe formule voor $t_{n}$ .

Jouw directe formule voor de somrij kun je op de GR controleren als volgt.

Voer de directe formule voor de rij $b$ als eerste rij in.
Voer als tweede rij de somrij in met behulp van de recursieve formule (zoals in de theorie na opgave 49).
Voer als derde rij in jouw directe formule voor de somrij.

Voer het bovenstaande procédé uit als je dat nog niet gedaan hebt. Is jouw directe formule juist?

We bekijken nu de rij even getallen: $2$ , $4$ , $6$ , $8$ ... . Deze rij noemen we $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ , ... .

Geef een directe formule voor deze rij.

De somrij van deze rij noemen we $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , ... .

Geef een directe formule voor de somrij.

Controleer jouw directe formule op de GR (zie opgave 39).

We combineren nu de rijen uit de opgaven 49, 53 en 54.

Leg uit dat $t_{n} + u_{n} = s_{2 n}$ voor elk geheel getal $n \geq 2$ .

Bewijs de gelijkheid uit a ook met behulp van de directe formules voor $t_{n}$ , $u_{n}$ en $s_{2 n}$ .

De rij $b_{0}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , ... heeft als directe formule $b_{n} = 3 - 2 n$ .

Geef een directe formule voor de somrij.

We willen de som $27 + 31 + 35 + ... + 199 + 203 + 207$ berekenen.
Om deze som te berekenen moeten we weten uit hoeveel termen de som bestaat. Dan kun je namelijk gebruik maken van de regel de som van de rij is het gemiddelde van de eerste en de laatste term maal het aantal termen. Bij het bepalen van het aantal termen kan het opstellen van een directe formule van de rij 27, 31, 35, 39, ... helpen.
We noemen de rij $y_{0}$ , $y_{1}$ , $y_{2}$ , ... .

Geef een directe formule voor de rij $y_{0}$ , $y_{1}$ , $y_{2}$ , ... .

Het rangnummer van $27$ is $0$ (dat wil zeggen $27 = y_{0}$ ).

Wat is het rangnummer van $207$ ?
Uit hoeveel termen bestaat de som dus?

Bereken de som.

Bereken de som ook door de somrij van de rij $y$ op de GR in te voeren via een recursieve betrekking.

Bereken $23 + 26 + 29 + ... + 347 + 350 + 353$ .

Kijk nog eens naar de zakgeldsom: opgave 26. Ga ervan uit dat voor voorstel 2 gekozen is.

Bereken de totale hoeveelheid zakgeld die Anne in dat jaar ontvangt (ga uit van $52$ weken zakgeld).