De verschilrij van een meetkundige rij

De bekende schilder Remco Brandt is bezig een abstract schilderij te maken. Het vierkante doek waar hij op schildert is $2$ bij $2$ meter. Hieronder zie je een aantal stadia van het schilderij.

In stadium $0$ schildert Remco $1$ m² oker.

Hoeveel schildert Remco in stadium $1$ oker?
En in stadium $n$ ?

Remco besluit om te stoppen als hij in een stadium is aangekomen, waarbij nog maar $1$ mm² oker geschilderd wordt. In welk stadium is dat?

Het aantal m² dat Remco in stadium $n$ oker schildert noemen we $a_{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ .

Wat voor een rij is de rij $a_{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ ?

Schrijf de eerste vier termen van de verschilrij $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ , $n = 1, 2, 3, ...$ op.

Het ziet er naar uit dat de verschilrij weer een meetkundige rij is.

Geef een directe formule voor de verschilrij.

Een formule voor de verschilrij kun je ook als volgt vinden.

Neem over en vul aan: $v_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n} - {(\frac{1}{4})}^{n - 1} = 1 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} - ... \cdot {(\frac{1}{4})}^{n} = ... \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}$ .

Gegeven is de rij $a$ met: $a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ , $n = 0,1,2,...$ .

Maak op de GR een tabel voor de verschilrij $v$ (met $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ voor positieve gehele getallen $n$ ).

Zo te zien is de verschilrij weer een meetkundige rij.

Geef een directe formule voor de verschilrij $v$ .

Opmerking:

De verschilrij van een meetkundige rij is een meetkundige rij met dezelfde reden.
In de volgende opgave bewijzen we dit.

Bekijk de rij $a$ met $a_{n} = b \cdot r^{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ en de verschilrij hiervan: $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ , $n = 1, 2, 3, ...$ .

Toon aan: $v_{n} = b \cdot (1 - \frac{1}{r}) \cdot r^{n}$ .

De meetkundige rij $a$ met $a_{n} = b \cdot r^{n}$ , $n = 0, 1, 2, ...$ heeft verschilrij $v_{n} = b \cdot (1 - \frac{1}{r}) \cdot r^{n}$ , is dus meetkundig met dezelfde reden ( $r$ ), en beginterm $v_{1} = b \cdot (r - 1)$ .

De rij van Padovan is een rij gehele getallen $P_{n}$ die gedefinieerd wordt door:
${\begin{cases} P_{0} = P_{1} = P_{2} = 1 \\ P_{n} = P_{n - 2} + P_{n - 3} \end{cases}, n = 3, 4, 5, ...$ .
Hieronder zie je een spiraal van gelijkzijdige driehoeken met zijden volgens de rij van Padovan.

In het plaatje kun je onder andere zien dat $P_{11} = 16$ .

Bereken $P_{12}$ en $P_{13}$ .

Gegeven is: $P_{18} = 114$ , $P_{19} = 151$ , $P_{20} = 200$ .

Bereken hiermee $P_{16}$ .

Deze rij invoeren op de GR lukt niet: je kunt daar geen recursieve formule tot drie termen terug invoeren.

Voer de rij in in bij www.calcul.com en controleer hiermee je antwoorden op de vorige vragen.

Bekijk de fractalapplet. Neem voor het aantal takken $2$ en voor de factor $0,7$ en druk een aantal malen op "volgend"niveau". Het startniveau (met één lijntje) noemen we niveau $0$ .

Hoeveel lijntjes worden er op niveau $10$ getekend?

Ga na dat de lijntjes op niveau $4$ nog geen kwart van de lengte hebben als het lijntje waarmee de applet startte.

Het aantal lijntjes dat op niveau $n$ getekend wordt, noemen we $a_{n}$ en het totaal aantal getekende lijntjes tot en met niveau $n$ noemen we $s_{n}$ .
Dan geldt: ${\begin{cases} s_{0} = a_{0} \\ s_{n} = a_{n} + s_{n - 1} \end{cases}, n = 1, 2, 3, ...$ .

Geef een directe formule voor $a_{n}$ en voer de rijen $a_{n}$ en $s_{n}$ in in de GR.

Door de rijen $a_{n}$ en $s_{n}$ op de GR te vergelijken, zal het je niet moeilijk vallen een directe formule voor $s_{n}$ te geven.

Doe dat.

Een zeesterrenkweker brengt zijn diertjes onder in vijfhoekige bakjes die, voor zover dat kan, tegen elkaar zijn geplaatst. Hieronder staat het patroon van de bakjes.

Eén van de diertjes is geïnfecteerd met een zeer besmettelijk virus. De besmetting wordt over gebracht, als twee bakjes met een hele zijkant tegen elkaar staan. We nemen aan dat de infectie zich uiterst regelmatig uitbreidt: als op een dag de buurman van een gezonde zeester wordt besmet, is die zeester één dag later zelf ook besmet. Zodoende wordt het aantal besmette dieren stapsgewijs groter (elke dag een stap). De ene zeester die op dag $0$ besmet was (daar is het allemaal mee begonnen) is aangegeven met “ $0$ ”. Ga na dat er op dag $1$ drie nieuwe besmettingsgevallen zijn.

Geef op het werkblad met kleur aan welke cellen op dag $2$ worden besmet. Ook zo op dag $3$ , $4$ en $5$ .
Maak een tabel:

dagnummer $d$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
aantal nieuwe infecties $N_{d}$
totaal geïnfecteerde $T_{d}$

Geef een formule voor $N_{d}$ .

Ga na dat de formule $T_{d} = 1 \frac{1}{2} d^{2} + 1 \frac{1}{2} d + 1$ klopt voor de eerste zes dagen in de tabel.

We spreken af: $T_{1} = N_{1}$ .
In de vorige paragraaf heb je gezien dat de formule voor $T_{d}$ voor alle positieve gehele waarden van $d$ juist is als geldt:
$N_{d} = T_{d} - T_{d - 1}$ .

Toon dat $N_{d} = T_{d} - T_{d - 1}$ voor alle positieve gehele waarden van $d$ .

In een bak zit $7$ liter water, met daarin $320$ gram zout opgelost. We voeren de volgende verdunning uit:
voeg $1$ liter water toe aan de bak; roer goed; schep er $1$ liter water uit, zodat er weer $7$ liter overblijft.
We voeren deze verdunning bij herhaling uit.

Hoeveel gram zout is er nog over in de bak als je twee keer de verdunning hebt uitgevoerd?

Na $n$ keer verdunnen, is er nog $g_{n}$ gram zout over in de bak.

Geef een recursieve formule voor $g_{n}$ .

Maak een tabel op de GR.

Geef een directe formule voor $g_{n}$ .

Na hoeveel verdunningen is er minder dan $10$ gram zout in de bak over?

Anneke zit in de brugklas. Elke week krijgt ze een overhoring Engels. De eerste keer had ze nog niet door hoe het werkte en haalde ze prompt een $1$ . Ze heeft zich daardoor niet uit het veld laten slaan; alle volgende overhoringen scoorde Anneke een $10$ . Na elke nieuwe overhoring berekent ze het gemiddelde van alle overhoringen tot dan toe.

Bereken het gemiddelde dat Anneke heeft na $2$ overhoringen. En na $3$ , na $4$ en na $5$ overhoringen.

Het gemiddelde na $n$ overhoringen noemen we $g_{n}$ .

Geef een directe formule voor $g_{n}$ .

Maak een tabel op de GR.

Na hoeveel overhoringen komt het gemiddelde boven de $9,6$ ?

Hiernaast is een balk verdeeld in twee helften. De rechter helft is weer verdeeld in twee helften, enzovoort.

Leg aan de hand van de onderste balk uit dat $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{16}$ .

Kun je nu ook onmiddellijk uitrekenen wat de uitkomst is van $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256}$ ?