Verschilrijen

Gegeven is de rij $a_{n} = 5 + 2 n$ ( $n = 0$ , $1$ , $2$ , ...). We bekijken de rij van de verschillen tussen de opvolgende termen, dus de rij $a_{1} - a_{0}$ , $a_{2} - a_{1}$ , $a_{3} - a_{2}$ , ... . Deze rij van verschillen noemen we $v$ . Hieronder zie je een tabel met een begin van de rij $a$ en de verschilrij $v$ . Dus $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ .

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$5$	$7$
$v_{n}$	$-$	$2$

Neem de tabel over en vul hem verder in.

Bij een rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... kun je de verschillen tussen de opvolgende termen bekijken. Dat is de rij $a_{1} - a_{0}$ , $a_{2} - a_{1}$ , $a_{3} - a_{2}$ , ... . Deze rij heet de verschilrij van $a$ . Meestal wordt de verschilrij $v$ genoemd. Er geldt:
$v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ ( $n = 1$ , $2$ , $3$ , ...).

Opmerking:

Merk op dat de rij $a$ begint met rangnummer $0$ en de verschilrij $v$ met rangnummer $1$ .

Wat kun je vertellen over de verschilrij van een rekenkundige rij?

We bekijken de rij met formule $x_{n} = \frac{1}{2} n (n + 1)$ ( $n = 0$ , $1$ , $2$ , ...).

Maak een tabel van $x_{n}$ en van de verschilrij.

Als je één term van een rij kent en je kent de verschilrij, dan kun je de oorspronkelijke rij terugvinden.

Neem de tabellen hieronder over en vul ze verder in.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$a_{n}$	$0$
$v_{n}$	-	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$b_{n}$	$0$
$v_{n}$	-	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$

Uit de voorgaande opgave blijkt:
als je één term van een rij kent en je kent de verschilrij, dan kun je de oorspronkelijke rij terugvinden.

Gegeven is de rij $a_{n} = 2 + 3 n$ ( $n = 0$ , $1$ , $2$ , ...). $v$ is de verschilrij $a_{1} - a_{0}$ , $a_{2} - a_{1}$ , $a_{3} - a_{2}$ , ... . Deze rij van verschillen noemen we $v$ . Dus $v_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ .

Voer de rij $a_{n}$ in op de GR.

Zoek uit hoe je de verschilrij moet maken op de GR.

Maak op de GR een tabel van de rij $a$ en de verschilrij $v$ .

Stel met behulp van de verschilrij een recursieve betrekking op voor $a_{n}$ .

Bekijk nog eens de rij bomen van opgave 21.

We vragen ons af hoeveel takken er aan de $n$ -de boom zitten.
In opgave 21 hebben we gevonden: het aantal takken dat de $n$ -de boom meer heeft dan de $(n - 1)$ -de boom is $a_{n} = 2^{n}$ , voor alle positieve gehele waarden van $n$ . Het aantal takken aan de boom in het $n$ -de stadium noemen we $s_{n}$ .
We tellen de stam ook mee (dus $a_{0} = s_{0} = 1$ ).
Door gewoon te tellen, vind je verder: $s_{1} = 3$ , $s_{2} = 7$ , $s_{3} = 15$ .

Hoe vind je nu handig $s_{4}$ met behulp van $s_{3}$ en de formule $a_{n} = 2^{n}$ ? En daarna $s_{5}$ ?

Uit het voorgaande is duidelijk dat geldt:
${\begin{cases} s_{0} = 1 \\ s_{n} = s_{n - 1} + a_{n} \end{cases} n = 1, 2, 3,...$ .

Wat is $s_{4} - s_{3}$ , $s_{5} - s_{4}$ , $...$ , $s_{n} - s_{n - 1}$ ?

We definiëren de rij $t$ , met de formule: $t_{n} = 2^{n + 1} - 1$ .

Voer de recursieve formule voor de rij $s$ en de directe formule voor de rij $t$ in op de GR en vergelijk de twee rijen.
Wat is je conclusie?

Dat de rijen $s$ en $t$ op de GR voor zover je ze bekeken hebt, hetzelfde zijn, is nog geen bewijs ervoor dat ze hetzelfde zijn.

Laat met een exacte berekening zien dat: $t_{n} - t_{n - 1} = 2^{n}$ , $n = 1,2,3 \dots$ .

(hint)

$2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n}$

Omdat $s_{0} = t_{0} = 1$ en de rijen $s$ en $t$ dezelfde verschilrij hebben, is nu bewezen dat de rijen hetzelfde zijn, dus
$s_{n} = 2^{n + 1} - 1$ !

Een recursieve betrekking voor de somrij
Bij een rij $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , ... kunnen we een rij van sommen maken. Dat is de rij $a_{0}$ , $a_{0} + a_{1}$ , $a_{0} + a_{1} + a_{2}$ , ... .
Deze rij heet de somrij van $a$ . Meestal wordt de somrij $s$ genoemd.
Een recursieve betrekking voor de somrij $s_{0}$ , $s_{1}$ , $s_{2}$ , ... is:
${\begin{cases} s_{0} = a_{0} \\ s_{n} = s_{n - 1} + a_{n} (n = 1, 2, 3,...) \end{cases}$ .

In opgave 18 hebben de rij bouwsels met $a_{n} = 7 + 4 n$ blokken, bekeken. We hebben daar ook een formule afgeleid voor de somrij $s_{n} = a_{0} + a_{1} + ... + a_{n - 1} + a_{n}$ , $n = 0,1,2...$ .

Bereken de termen van de somrij met de GR met behulp van een recursieve betrekking. Schrijf die recursieve betrekking op.

We nemen de rij $t$ , met $t_{n} = 2 n^{2} + 9 n + 7$ .

Bereken exact de verschilrij $v$ van $t$ , dus: $v_{n} = t_{n} - t_{n - 1}$ .

Omdat $s_{0} = t_{0}$ , en $s$ en $t$ dezelfde verschilrij hebben, volgt onderdeel b ook dat $s$ en $t$ hetzelfde zijn.

In opgave 21 hebben de fractal met H's bekeken. In deze opgave bekijken we hoeveel letters H er in totaal in stadium $n$ getekend zijn.

Het aantal H's in dat er in stadium $n$ bijkomt, noemen we $h_{n}$ , dus $h_{0} = 1$ , $h_{1} = 4$ en $h_{2} = 16$ .

Geef een directe formule voor $h_{n}$ .

Het aantal H's in stadium $n$ noemen we $s_{n}$ .
Er geldt: $s_{2} = 21$ (tel maar na).

Hoe kun je handig $s_{3}$ uitrekenen met behulp van de formule $h_{n} = 4^{n}$ ?

Veronderstel $s_{4} = 341$ .

Bereken hiermee $s_{5}$ .

De rij $s_{n}$ is de somrij van de rij $h_{n}$ .
$s_{0} = h_{0} = 1$ ,
$s_{1} = s_{0} + h_{1}$ ,
$s_{2} = s_{1} + h_{2}$ , enzovoort.
Dus: ${\begin{cases} s_{0} = 1 \\ s_{n} = s_{n - 1} + h_{n} \end{cases} n = 1, 2, 3,...$

Voer de recursieve betrekking voor de somrij in op de GR en controleer de termen die je al berekend hebt.

Het Σ-teken

Bekijk nog eens de rij van opgave 26 bij voorstel 2 van Anne. De eerste week krijgt ze $4$ euro, elke week komt er $1$ euro bij. Het bedrag dat Anne in de $n$ -de week ontvangt volgens voorstel 2 is $v (n)$ genoemd. Het totale bedrag dat ze de eerste vijf weken ontvangen heeft is $v (1) + v (2) + v (3) + v (4) + v (5)$ . Voor deze som hebben we in de wiskunde een speciale notatie: $\sum_{i = 1}^{5} v (i)$ .

Bereken $\sum_{i = 1}^{5} v (i)$ .

In opgave 19 komt de rij $t_{n} = 7 + 3 n$ , $n = 0$ , $1$ , $2$ , … voor.
Met $\sum_{i = 0}^{3} t_{i}$ bedoelen we: $t_{0} + t_{1} + t_{2} + t_{3}$ .

Bepaal $\sum_{i = 0}^{3} t_{i}$ .

Wat betekent $\sum_{i = 1}^{3} t_{i}$ ? Bepaal $\sum_{i = 1}^{3} t_{i}$ .

Opmerking:

Ook in de statistiek wordt het $Σ$ -teken veel gebruikt, bijvoorbeeld om het gemiddelde van een databestand te berekenen. Hiervoor moet je de getallen van dat bestand eerst sommeren (bij elkaar optellen) en dan delen door het aantal. $Σ$ is de Griekse hoofdletter sigma. $Σ$ noemt men ook wel het sommatie-teken.

Anneke gooit een aantal keren met een dobbelsteen en noteert telkens het aantal ogen. Het aantal ogen dat ze de eerste keer gooit noemen we $x_{1}$ , de tweede keer $x_{2}$ , de derde keer $x_{3}$ , enzovoort.
De som van de eerste vijf worpen schrijven we zo op: $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$ : de som van $x_{i}$ , waarbij $i$ loopt van $1$ tot en met $5$ .
Zo is $\sum_{i = 3}^{7} x_{i} = x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7}$ , het totaal aantal ogen van de derde tot en met de zevende worp.

Hieronder staat het lijstje van de worpen van Anneke.

Bereken $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$ en $\sum_{i = 3}^{7} x_{i}$ .

Bereken ook: $\sum_{i = 1}^{5} 2 x_{i}$ en $\sum_{i = 3}^{7} (x_{i} - 1)$ .

De antwoorden van opgave 35 kun je ook met de GR vinden.

Zoek uit hoe dat werkt.

VVV speelt acht wedstrijden in een toernooi. Het aantal doelpunten dat VVV in de eerste wedstrijd maakt noemen we $x_{1}$ , het aantal doelpunten van de tegenpartij $y_{1}$ , het aantal doelpunten in de tweede wedstrijd van VVV noemen we $x_{2}$ en dat van de tegenstander $y_{2}$ , enzovoort.
Voor elk doelpunt dat VVV maakt geeft een sponsor $1000$ euro.

Wat is de betekenis van:
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}$ , $\sum_{i = 1}^{8} y_{i}$ , $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} + y_{i})$ , $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - y_{i})$ , $\sum_{i = 1}^{8} 1000 x_{i}$ ?

Ga na of geldt:
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} + \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = \sum_{i = 1}^{8} (x_{i} + y_{i})$ ,

$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} - \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = \sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - y_{i})$ ,

$\sum_{i = 1}^{8} 1000 x_{i} = 1000 \cdot \sum_{i = 1}^{8} x_{i}$ .

In het algemeen geldt niet: $(\sum_{i = 1}^{8} x_{i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{8} y_{i}) = \sum_{i = 1}^{8} (x_{i} \cdot y_{i})$ .
Neem maar eens $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{8} = y_{1} = y_{2} = \dots = y_{8} = 1$ .

Wat is dan $(\sum_{i = 1}^{8} x_{i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{8} y_{i})$ en wat is $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} \cdot y_{i})$ ?