Regelmaat
1

Elke week krijgt Esther € 10 zakgeld. Daarvan verdwijnt € 3 in haar spaarpot. Ze begint met een lege spaarpot.

a

Hoeveel geld zit er in Esthers spaarpot na 6 weken? En na 50 weken?

Op een gegeven moment zit er 63 euro in de spaarpot.

b

Hoeveel zit er een week later in? En hoeveel zat er de week ervoor in?

Als we noteren hoeveel euro er elke week in de spaarpot zit, krijgen we een rij getallen: 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , ... .
De drie puntjes geven aan dat de rij steeds maar doorgaat volgens dezelfde regelmaat. De rij bestaat uit oneindig veel getallen. Elk van die getallen wordt een term van de rij genoemd. En die termen kun je nummeren. Merkwaardig genoeg beginnen wiskundigen vaak te nummeren bij 0 en niet bij 1 . Wij zullen dat meestal ook doen, maar dat hoeft niet. Een rij begint dus in het algemeen met de nulde term, dan komt de eerste term, de tweede term, enzovoorts. Bij de rij uit deze opgave is de nulde term 0 , de eerste term is 3 en de tweede term 6 .

c

Wat is de zesde term? En de twintigste term?

2

De onderstaande rijen beginnen met de nulde term.

Bepaal van elke rij de zesde en de twintigste term. Probeer eerst de regelmaat in de rijen te ontdekken.
5 , 8 , 11 , 14 , 17 , ...
0 , 4 , 8 , 12 , 16 , ...
3 , 1 , 1 , 3 , 5 , ...
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ...

3

Een rij krijgt vaak een naam, omdat je dan minder woorden nodig hebt, als je over de rij spreekt. De rij uit opgave 1 noemen we a . a bestaat dus uit oneindig veel termen. Elk van de termen krijgt ook een naam.
De nulde term heet a 0 , de eerste term a 1 , de tweede term a 2 , enzovoorts. Meestal spreken we niet van de rij a , maar van de rij a 0 , a 1 , a 2 , ... . Er geldt: a 0 = 0 , a 1 = 3 , a 2 = 6 .

Neem over en vul in: a 6 = en a 20 = .

4

Hiernaast zie je een aantal horizontale balkjes. De afstand tussen twee naburige streepjes op de balkjes is steeds 1 cm. De lengte van het bovenste balkje noemen we l 0 . De lengte van de balkjes eronder noemen we achtereenvolgens l 1 , l 2 , l 3 , ... .
Neem aan dat de regelmaat in de lengte van de balkjes zich voortzet.

a

Hoe groot zijn l 1 , l 2 , l 3 ?

b

Bereken l 17 en l 143 .

5

Vaak kun je aan het beginstuk van een rij de regelmaat in de rij al aflezen. Door die regelmaat voort te zetten kun je de volgende termen berekenen. Dat dat niet altijd opgaat zie je in deze opgave.
We beginnen met een cirkel en plaatsen daarop n punten. Alle punten zijn onderling met elkaar verbonden door een rechte lijn. De n punten moeten zo op de cirkel geplaatst worden dat er nooit drie verbindingslijnen door één punt gaan. We letten op het aantal gebieden waarin de cirkel is opgedeeld. Dat aantal gebieden noemen we a n .

a

We starten met een cirkel met daarop twee punten, die we verbinden door een rechte lijn. Dus n = 2 . Hoeveel gebieden krijgen we dan? Hoe groot is a 2 dus?

b

Teken in je schrift een cirkel met daarop drie punten. Verbind elk tweetal punten onderling met een rechte lijn. Hoeveel gebieden krijg je nu? Hoe groot is a 3 dus?

c

Bepaal ook a 4 en a 5 door cirkels in je schrift te tekenen.

d

Hoe groot is a 6 denk je?
Tel dat aantal na in de cirkel hiernaast.

Dat de regelmaat definitief verstoord is kun je zien door a 7 , a 8 en a 9 te bepalen: a 7 = 57 ; a 8 = 99 en a 9 = 163 .

6

Je kent misschien wel het verhaal van de koning die de uitvinder van het schaakspel wilde belonen. ”Ik zal U geven wat U maar wenst”, sprak de koning. Als antwoord toonde de uitvinder aan de koning het schaakbord met vierenzestig velden en zei: “Geef mij één graankorrel op het eerste veld, twee graankorrels op het tweede veld, vier op het derde, acht op het vierde en zo verder: op elk volgend veld het dubbele van het aantal korrels op het voorgaande veld; tot en met het vierenzestigste veld.” De koning antwoordde: “U bent een bescheiden mens; U zult hebben wat U vraagt.”
Het aantal graankorrels op het eerste veld noemen we a 1 . Het aantal graankorrels op de volgende velden noemen we achtereenvolgens a 2 , a 3 , a 4 , ... .

a

Bereken a 5 , a 6 , a 7 .

b

Hoe groot is a 64 ?

7

Vanaf Esthers geboorte storten haar grootouders elk jaar 1000 euro op een spaarrekening. Over het spaartegoed wordt elk jaar 10 % rente bijgeschreven. We bekijken hoeveel euro er elk jaar op die spaarrekening staat. We krijgen dan een rij die we b 0 , b 1 , b 2 , ... noemen.
b 0 is dus het bedrag dat na nul jaar op de rekening staat, b 1 is het bedrag dat na één jaar op de rekening staat, b 2 is het bedrag dat na twee jaar op de rekening staat, enzovoorts. Er geldt b 0 = 1000 . Een jaar later wordt er rente bijgeschreven over deze 1000 euro en wordt er opnieuw 1000 euro gestort.

a

Laat zien dat b 1 = 2100 .

b

Bereken nu ook b 2 .

c

Bereken achtereenvolgens b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

Om b 1 te berekenen moet je b 0 vermenigvuldigen met 1,1 en er vervolgens 1000 bij optellen. In formule:
b 1 = b 0 1,1 + 1000 .

d

Geef ook zo'n formule waarmee je b 2 uit b 1 kunt berekenen.

e

Geef ook een formule waarmee je b 6 uit b 5 kunt berekenen.

Hoewel je b 19 nog niet berekend hebt, kun je vast wel een formule geven waarmee je b 20 uit b 19 kunt berekenen.

f

Doe dat.

In opgave 7 heb je formules opgeschreven waarmee je alle termen van de rij een voor een kunt berekenen:
b 0 = 1000 ,
b 1 = b 0 1,1 + 1000 ,
b 2 = b 1 1,1 + 1000 ,
b 3 = b 2 1,1 + 1000 ,
b 4 = b 3 1,1 + 1000 ,
b 5 = b 4 1,1 + 1000 , ...
.
.
.
Met behulp van de bovenstaande formules kun je alle termen uit de rij berekenen. Je hoeft dan het verhaal over Esther en haar grootouders niet te kennen. Het verhaal is gemathematiseerd (dat wil zeggen: er is wiskunde van gemaakt, en het verhaaltje eromheen is weggelaten).
Merk op dat de bovenste regel ( b 0 = 1000 ) verschilt van de overige regels (die allemaal dezelfde structuur hebben). Die eerste regel is nodig: als je de nulde term niet weet, kun je geen enkele term berekenen.

8

Ook voor de rij uit opgave 1 kun je formules opstellen, waarmee je de rij term voor term kunt berekenen.

Doe dat. Vergeet a 0 niet te vermelden.

9

De rijen uit opgave 2 noemen we achtereenvolgens
c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ,...
d 0 , d 1 , d 2 , d 3 ,...
e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ,...
f 0 , f 1 , f 2 , f 3 ,...

Formules waarmee je de termen uit de rij c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ,...
een voor een kunt berekenen zijn:
c 0 = 5 ,
c 1 = c 0 + 3 ,
c 2 = c 1 + 3 ,
c 3 = c 2 + 3 ,
c 4 = c 3 + 3 ,
c 5 = c 4 + 3 ,
enzovoort.

Maak voor de overige drie rijen ook formules, waarmee je de termen een voor een kunt berekenen.

We komen nog even terug op de rij uit opgave 7. Deze rij kunnen we beschrijven met de volgende rij formules.
b 0 = 1000 ,
b 1 = b 0 1,1 + 1000 ,
b 2 = b 1 1,1 + 1000 ,
b 3 = b 2 1,1 + 1000 ,
b 4 = b 3 1,1 + 1000 ,
b 5 = b 4 1,1 + 1000 ,
ezovoort.

Deze beschrijving is nogal omslachtig. De hele rij formules kan als volgt worden samengevat.
{ b 0 = 1000 b n = b n 1 1 ,1 + 1000,   n = 1 ,2,3,...
De accolade staat er om aan te geven dat de twee formules bij elkaar horen. Achter de tweede formule staat dat je in die formule voor n de getallen 1 , 2 , 3 , enzovoorts mag invullen en dat levert precies de hele rij formules uit de uitgebreide beschrijving.

10
a

Vul eens n = 1 in in de formule b n = b n 1 1,1 + 1000 . Welke formule vind je dan?

b

Welke formule vind je voor n = 20 ?

Recursief en direct

De beschrijving van rij b via de volgende formules
{ b 0 = 1000 b n = 1 , 1 b n 1 + 1000 ( n = 1, 2, 3,... )
wordt een recursieve betrekking ook wel een recurrente betrekking of formule genoemd.

11

In opgave 9 heb je formules gemaakt waarmee je de rijen uit opgave 2 stap voor stap kunt berekenen.

a

Vat deze formules samen tot recursieve betrekkingen.

b

Geef ook een recursieve betrekking voor de rijen uit opgave 4 en 6.
Merk op dat de rij uit opgave 6 begint bij n = 1 . De recursieve betrekking ziet er dan ook als volgt uit:
{ a 1 = ... a n = ... ( n = 2, 3, 4,... ) .

12

We maken een rij a 0 , a 1 , a 2 , ... volgens het schema hieronder.

a

Bereken a 1 , a 2 en a 3 .

b

Geef een recursieve betrekking voor de rij.

Bij de rijen die we tot nu toe zagen was het vrij eenvoudig om een recursieve betrekking op te stellen. Er zijn echter ook rijen waarin wel een duidelijke regelmaat zit, maar waarbij je niet een-twee-drie een recursieve betrekking kunt opstellen.

13

Neem bijvoorbeeld de rij 1 , 4 , 9 , 16 , 25 .

Geef de volgende vijf termen van de rij.

We noemen de rij uit opgave 13 a 1 , a 2 , a 3 , ... .
Elke term in de rij heeft een rangnummer. Zo is 1 het rangnummer van a 1 , 2 het rangnummer van a 2 , 3 het rangnummer van a 3 enzovoorts.
We gaan een directe formule opstellen voor de rij. Een directe formule drukt de termen van de rij uit in het bijbehorende rangnummer. Voor deze rij geldt:
a 1 = 1 2 ,
a 2 = 2 2 ,
a 3 = 3 2 ,
.
.
Dit kunnen we samenvatten tot één formule:
a n = n 2 , n = 1,2,3,... .

Een formule van de vorm a n = n 2 ( n = 1,2,3,... ) wordt een directe formule genoemd.

Opmerking:

Voor de rij 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , ... (zie opgave 2) heb je in opgave 11 een recursieve formule gezien. Het is mogelijk voor deze rij c een directe formule te geven als volgt.
c 0 = 5 ,
c 1 = 5 + 3 = 5 + 1 3 ,
c 2 = 5 + 3 + 3 = 5 + 2 3 ,
c 3 = 5 + 3 + 3 + 3 = 5 + 3 3 ,
enzovoort.
Dus c n = 5 + n 3 .
Met de directe formule kun je elke term van de rij direct uitrekenen. De recursieve betrekking geeft een verband tussen de term van een rij en de voorafgaande term. Hiermee kun je de termen van de rij slechts een voor een uitrekenen.

14

Geef een directe formule voor de rijen d , e en f van opgave 9.

Niet elke rij kun je beschrijven met formules. Op de beurs in Amsterdam wordt elke dag de stemming gemeten met behulp van de AEX-index. Dit zijn de slotkoersen van van 28-08-2015 tot en met 10-09-2015.
445,96; 445,03; 433,53; 433,56; 444,55; 432,94; 435,50; 444,26; 436,21
Wie voor deze rij een formule kan opstellen wordt rijk!