De normale verdeling

Een normale verdeling X ligt vast door zijn verwachtingswaarde μ en zijn standaardafwijking σ .
De kans dat X tussen twee waarden a en b ligt, is de oppervlakte aangegeven in de figuur hiernaast.
Deze kans noteren we met P ( a < X < b | μ;σ ) .
De totale oppervlakte onder de zogenaamde verdelingskromme is 1 .

De standaard-normale verdeling

De normale grootheid N , met verwachtingswaarde 0 en standaardafwijking 1 noemen we de standaard-normale verdeling.
Bij een normale verdeling X met verwachtingswaarde μ en standaardafwijking σ is bij een waarde X = a de z -waarde van a :
z = a μ σ .
Overgaan op de standaard-normale verdeling noemen we standaardiseren.
Uitslagen met een

  1. z -waarde tussen 1 en 1 zijn heel gewoon: in 68 % van de gevallen;

  2. z -waarde die meer dan 2 van 0 afwijkt, zijn tamelijk zeldzaam in 5 % van de gevallen;

  3. z -waarde die meer dan 3 van 0 afwijken zijn uiterst zeldzaam: in 0,2 % van de gevallen.

Rekenregels

Als X 1 , X 2 , X 3 , , X n normaal verdeeld zijn, dan is
X = X 1 + + X n dat ook.
Er geldt: E ( X ) = E ( X 1 ) + + E ( X n ) .
Als X 1 , X 2 , X 3 , , X n onafhankelijk zijn geldt ook:
Var ( X ) = Var ( X 1 ) + + Var ( X n ) , dus
sd ( X ) = ( sd ( X 1 ) ) 2 + + ( sd ( X n ) ) 2 .

In het bijzonder geldt de wortel- n -wet.
Als X 1 , X 2 , X 3 , , X n onafhankelijk en normaal verdeeld zijn met dezelfde verwachtingswaarde μ en standaardafwijking σ , dan geldt voor de som S met S = X 1 + + X n :
E ( S ) = n μ en sd ( S ) = n σ .
Voor het gemiddelde G met G = 1 n ( X 1 + + X n ) geldt:
E ( G ) = μ en sd ( G ) = σ n .

Centrale limietstelling

Als onafhankelijke grootheden met dezelfde kansverdeling bij elkaar opgeteld worden, gaat de som steeds meer lijken op een normale verdeling.

De kansverdeling van een binomiale grootheid X met kansparameter p en aantal herhalingen n is goed te benaderen met een normale grootheid N met dezelfde verwachtingswaarde μ = n p en standaardafwijking
σ = n p ( 1 p ) .
Zo is bijvoorbeeld:
P ( 3 < X < 10, n , p ) P ( 3,5 < N < 9,5 | μ;σ ) en P ( 3 < X 10, n , p ) P ( 3,5 < N < 10,5 | μ;σ ) enzovoort.
Dit klopt beter naarmate n groter is en p in de buurt van 1 2 ligt.

Op de GR

Op de GR kun je P ( a < X < b | μ;σ ) , P ( X > a | μ;σ ) en P ( X < a | μ;σ ) berekenen.
Ook kun je de grenswaarde a bij een gegeven kans P ( X < a | μ;σ ) = p vinden.