1

Het is kermis. De baas van de autoscooter weet dat $75$ % van zijn wagentjes bezet zijn als hij een rit $4$ minuten laat duren (inclusief in- en uitstappen). Als hij de ritten korter laat duren, zal een kleiner deel van de wagentjes bezet zijn. Als hij de ritten langer laat duren, zal een groter deel van de wagentjes bezet zijn. Er geldt de volgende formule: $G = 100 \cdot (1 - \frac{1}{t})$ .
Hierbij is $t$ de duur van een rit in minuten en $G$ de bezettingsgraad in procenten.

a

Ga na dat het bovenstaande voorbeeld in overeenstemming is met de formule.

b

Bereken de bezettingsgraad als een rit $3$ minuten duurt.

Een rit in een wagentje kost $€ 2,50$ . Er zijn $20$ wagentjes in de autoscooter. De opbrengst per uur (in euro) noemen we $O$ .

c

Bereken $O$ als een rit $4$ minuten duurt.

d

Leg uit dat de volgende formule geldt: $O = \frac{3000}{t} \cdot (1 - \frac{1}{t})$ .

e

Bereken langs algebraïsche weg bij welke duur $t$ van een rit de opbrengst per uur $O$ het grootst is.

2

Een gemeente heeft een stuk grond bestemd voor woningbouw. Voor vrijstaande woningen denkt de gemeente aan kavels van $600$ m². Volgens een gemeentelijke verordening mogen aan de voorkant en aan de twee zijkanten van elke kavel stroken van $3$ meter breed niet bebouwd worden. Aan de achterkant moet een strook van $6$ meter vrij van bebouwing blijven.

De gemeentearchitect krijgt de opdracht uit te rekenen bij welke afmetingen van zo'n kavel het te bebouwen gedeelte een maximale oppervlakte heeft. Hij noemt de breedte van de kavel (in meters) $x$ .

a

Toon aan dat de oppervlakte van het te bebouwen gedeelte gelijk is aan $O = 654 - 9 x - \frac{3600}{x}$ m².

b

Bereken langs algebraïsche weg bij welke afmetingen van de kavel de oppervlakte van het te bebouwen gedeelte maximaal is.

3

Plaat BV heeft van een opdrachtgever een aantal platen geleverd gekregen met de opdracht hiervan de grondvormen van een blikje uit te snijden. De platen zijn $220$ bij $100$ mm. Met de snijmachine van Plaat BV is het mogelijk in één bewerking zowel het deksel als de bodem en de mantel uit te snijden op de manier die hieronder is weergegeven.

De opdrachtgever rekent erop dat de blikjes zo worden vervaardigd dat ze een zo groot mogelijke inhoud zullen hebben. De rekenkamer van Plaat BV krijgt de opdracht na te gaan hoe de snijmachine moet worden ingesteld.

Allereerst worden enkele formules over cilinders opgezocht. Het handboek vermeldt:
‐ omtrek cirkel: $2 π r$
‐ oppervlakte cirkel: $π r^{2}$
‐ inhoud cilinder: $π r^{2} h$
Hierbij is $h$ de hoogte van de cilinder.
Men neemt, om een idee van de inhoud te krijgen, $r = 30$ mm.

a

Bereken de bijbehorende hoogte van het blik; bereken ook de inhoud, rond je antwoord af op een geheel aantal mm³.

Omdat de plaat $220$ mm lang is, kan het deksel van het blik niet te groot worden genomen.

b

Hoe groot is de maximale straal die mogelijk is?

Vervolgens wordt met behulp van een computer een tabel gemaakt waarin de hoogte, de straal en de inhoud van het te snijden blikje zijn vermeld.

c

Lees uit de tabel af bij welke straal de inhoud maximaal is.

Voor Plaat BV was daarmee het probleem opgelost. Wij gaan eens narekenen of we niet een nog grotere inhoud kunnen krijgen.

d

Druk de inhoud $I$ in $r$ uit.

e

Bereken met differentiëren bij welke straal de inhoud maximaal is. Bereken die maximale inhoud.

f

ls je laatste antwoord in overeenstemming met de computeruitvoer?

Later bedenkt een medewerker van Plaat BV dat de snijmachine ook ingesteld kan worden op de manier die hieronder is weergegeven.

g

Onderzoek of op deze manier blikjes met een nog grotere inhoud verkregen kunnen worden.

4

In een bedrijf worden tandenborstels gemaakt. De totale kosten in duizenden euro's noemen we $T K$ en de wekelijkse productie in duizendtallen $q$ . Gegeven is de volgende formule: $T K = q^{1,5} + 32$ .

a

Druk de marginale kosten $M K$ uit in $q$ .

b

Druk de gemiddelde totale kosten $G T K$ uit in $q$ .

c

Teken op de GR de $M K$ - en de $G T K$ -grafiek waarbij $q$ varieert van $0$ tot $30$ .

d

Bereken exact bij welke productie de gemiddelde totale kosten per week minimaal zijn.

e

Toon exact aan dat bij deze productie de marginale kosten gelijk zijn aan de gemiddelde totale kosten.

De gehele productie wordt afgezet. De totale opbrengst $T O$ (in duizenden euro's) is $9 q$ . De totale winst $T W$ is het verschil van de totale opbrengst $T O$ en de totale kosten $T K$ .

f

Druk $T W$ uit in $q$ .

g

Bereken exact bij welke productie per week de winst maximaal is.

5

In 1994 was het de gehele maand juli tropisch warm, met gevolgen voor de voedingsmiddelenindustrie.
Het verband tussen opbrengst $O$ , prijs $p$ en verkoop $v$ wordt gegeven door de formule $O = p \cdot v$ .
Neem aan dat de prijs verandert met $Δ p$ en de verkoop met $Δ v$ . Dan verandert de opbrengst met $Δ O$ .

a

Toon aan dat $\frac{Δ O}{O} \approx \frac{Δ p}{p} + \frac{Δ v}{v}$ .

In het krantenartikel valt te lezen dat de verkoop van voedingsmiddelen in juli 1994 afnam met $1,3$ % en dat de prijs in die maand steeg met $2,6$ %. Met welk percentage de opbrengst (dat is de omzet) toe- of afnam, is onleesbaar gemaakt.

b

Nam de opbrengst $O$ toe of af? Met welk percentage?

6

Dagelijks kun je de filemeldingen op de radio horen. Hoeveel auto’s in één minuut een vast punt passeren, is afhankelijk van de snelheid van de auto’s in de file of bijna-file. Deze samenhang bekijken we in de volgende twee modellen.

Het snelwegmodel
De redenering is: hoe sneller je rijdt, des te korter bevind je je op een stukje snelweg en des te meer auto’s kunnen er in een bepaalde tijd op rijden. Neem aan dat alle auto’s dezelfde lengte hebben (zeg $k$ meter) en dat ze allemaal even hard rijden, met een snelheid van $v$ meter per seconde. Neem verder aan dat elke automobilist een afstand tot zijn voorligger houdt van $v$ meter.
Noem het aantal auto’s dat in één minuut een vast punt passeert: $N$ .

a

Toon aan dat volgens dit model geldt: $N = \frac{60 v}{k + v}$ .

Neem verder aan dat $k = 4,5$ .

b

Bereken hoe groot $N$ is als $v = 10,5$ .

c

Bereken langs algebraïsche weg hoe groot $v$ is als $N = 52$ .

d

Onderzoek of $N$ bij een zekere snelheid een maximale waarde bereikt.

e

Hoe kan volgens dit model het fileprobleem het best worden aangepakt?

Het remwegmodel
Hierin is de afstand tot de voorligger gelijk aan de remweg.
Als $a$ de remvertraging in m/s² is, dan is de remweg $\frac{v^{2}}{2 a}$ meter. De lengte van de auto en de remweg zijn dan samen $k + \frac{v^{2}}{2 a}$ .

f

Toon aan dat volgens dit model geldt: $N = \frac{60 v}{k + \frac{v^{2}}{2 a}}$ .

Neem aan dat alle auto’s $4,50$ meter lang zijn en een remvertraging hebben van $5$ m/s².

g

Bereken langs algebraïsche weg de snelheid in km/u waarbij $N$ maximaal is.
Deze maximale waarde van $N$ is de capaciteit van de weg (die hoort bij $k = 4,50$ ).

7

Een ontploffing op zee veroorzaakt een schokgolf. De hoogte $h$ (in meters) van deze schokgolf is afhankelijk van de afstand $x$ (in kilometers) tot de plaats waar de ontploffing ontstaat. Een model hiervoor is: $h = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ .

Bereken langs algebraïsche weg op welke afstand van de plaats van ontploffing de schokgolf het hoogst is.

8

$f$ is de functie met $f (x) = (x^{5} - 1) (x^{5} + 1)$ .

a

Differentieer $f$ op twee manieren.

Door eerst de haakjes weg te werken en dan te differentiëren.
Door de productregel toe te passen en dan de haakjes weg te werken.

b

Doe hetzelfde voor de functie $g$ met $g (x) = (x^{5} + 1) \sqrt{x}$ .

9

In een natuurpark wordt het aantal exemplaren van een bepaalde diersoort bijgehouden. Begin januari 2000 werden er ongeveer $1000$ en begin januari 2006 ongeveer $2000$ exemplaren geteld.

a

Bereken met interpolatie het aantal dieren begin 2002 en met extrapolatie het aantal begin 2016.

Waarschijnlijk is de groei van zo'n populatie niet lineair.
Een bioloog denkt er sprake is van afnemende stijging van de populatie.

b

Kun jij hiervoor een argument geven?

De bioloog heeft de volgende formule voor het aantal dieren: $A = 500 \cdot \sqrt{2 t + 4}$ ; hierbij is $A$ het aantal dieren $t$ jaren na begin januari 2000.

c

Geef een formule voor $A^{'} (t)$ .

d

Hoe zie je aan de grafiek van de functie $t \to A^{'} (t)$ dat de grafiek van $A$ afnemende stijging vertoont.

Het natuurpark is $3000$ km², dus het gemiddelde aantal km² per dier is $G$ per km² is $G = \frac{3000}{A}$ .

e

Bereken langs algebraïsche weg met hoeveel km² per dier $G$ afneemt gedurende het jaar 2016.

f

Ga na dat $G (t) = 6 {(2 t + 4)}^{‐ \frac{1}{2}}$ en bereken de afname gedurende 2016 ook met differentiëren.

10

Een leerpsycholoog liet proefpersonen $30$ Chinese tekens leren. Sommige proefpersonen gaf hij $2$ minuten tijd om de tekens te leren, andere $4$ minuten, weer andere $6$ minuten, enzovoort tot een maximum van $20$ minuten. Daarna testte hij hoeveel tekens er waren geleerd. Van het verband tussen de leertijd $T$ en het aantal geleerde tekens $L$ staat in de figuur en op het werkblad de grafiek.

De leerpsycholoog heeft hierbij een formule gemaakt:
$L = ‐ \frac{3}{400} T^{3} + \frac{9}{40} T^{2}$ .

Bij welk aantal minuten neemt het aantal geleerde tekens het snelst toe?

a

Lees dat af uit de grafiek. Laat op het werkblad zien hoe je je antwoord gevonden hebt.

b

Bereken dat met behulp van de grafiek van $L^{'} (T)$ op de GR. Licht je antwoord toe.

$G$ is het gemiddelde aantal tekens per minuut dat men bij een leertijd $T$ geleerd had.

c

Geef een formule van $G$ als functie van $T$ .

Voor welke waarde van $T$ is $G$ maximaal?

d

Lees dat uit de grafiek af. Laat op het werkblad zien hoe je je antwoord gevonden hebt.

e

Bereken die waarde van $T$ exact met behulp van $G^{'} (T)$ .