1

Een stok van $10$ dm staat verticaal op de vloer. Hij kan scharnieren om zijn voetpunt. We draaien de stok van de verticale stand naar de horizontale stand.
$x$ is het aantal dm dat de stok overhelt, $y$ is de hoogte van de top van de stok boven de vloer (ook in dm).

a

Druk $y$ uit in $x$ .

(hint)

Stelling van Pythagoras

Als $x$ groter wordt, wordt $y$ kleiner.

b

Bereken de groeisnelheid $\frac{d y}{d x}$ .

c

Voor welke $x$ is die groeisnelheid $‐ 1$ ?

d

Hoe groot is de groeisnelheid als $x = 0$ ?

e

Wat weet je van de groeisnelheid als $x$ bijna $10$ is?

f

Controleer je antwoorden met de grafiek van $y$ op de GR.

2

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{64} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{3}$ .

a

Teken de grafiek van $f$ op de GR.

b

Los de vergelijking $f (x) = 0$ exact op.

c

Bereken de minimale waarde van $f (x)$ exact.

3

Gegeven is de functie $y = {(1 + \sqrt{x^{2} + 1})}^{3}$ .
We kunnen deze functie opvatten als een ketting van eenvoudige functies. We hebben drie schakels nodig:
$x \to u \to v \to y$ .

a

Welke schakels? Schrijf $u$ als functie van $x$ , $v$ als functie van $u$ en $y$ als functie van $v$ .

b

Geef de afgeleide van de afzonderlijke schakels.

De afgeleide van de ketting is het product van deze schakels.

c

Geef een formule voor $\frac{d y}{d x}$ uitgedrukt in $x$ .

Differentieer de volgende functies (vereenvoudigen hoeft niet).

d

$y = \sqrt{2 + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$
$y = {({(x^{2} + 1)}^{3} + 1)}^{4}$
$y = 4 - \sqrt{3 + {(2 - x)}^{5}}$

4

Agent 007 is op $3$ km afstand van de kust gedropt. Met een rubberboot wil hij de kust bereiken om bij strandpaal 38 een geheime boodschap achter te laten.
Natuurlijk is het zaak dat hij zo snel mogelijk dit klusje klaart. Met de boot kan hij zich roeiend verplaatsen met een snelheid van $4$ km/uur. Het water is zo rustig dat de vaarrichting niet van invloed is op zijn snelheid. Op het strand kan hij een lange poos een snelheid van $8$ km/uur volhouden.

Hierboven staat een situatieschets. Als James Bond recht naar de kust zou roeien, zou hij die op plaats $A$ bereiken. Strandpaal 38 is $4$ km verwijderd van plaats $A$ .

Veronderstel dat James inderdaad naar $A$ roeit.

a

Hoeveel tijd heeft hij dan in totaal nodig om paal 38 te bereiken?

Veronderstel dat hij rechtstreeks naar strandpaal 38 roeit (dat wil zeggen volgens een rechte lijn).

b

Hoeveel tijd heeft hij dan in totaal nodig om paal 38 te bereiken?

Door ergens tussen $A$ en paal 38 aan land te gaan, kan James waarschijnlijk o zo belangrijke tijd winnen.

c

Stel dat hij precies halverwege $A$ en paal 38 aan land gaat.
Hoeveel minuten tijdwinst boekt hij dan ten opzichte van de routes in a en b?

Met differentiaalrekening kun je de snelste route berekenen. Zeg dat James Bond op een plaats $B$ aan land gaat, $x$ km van $A$ af. De tijd die hij dan in totaal nodig heeft om standpaal 38 te bereiken, noemen we $t$ (minuten).

d

Toon aan: $t = 15 \sqrt{x^{2} + 9} + 30 - 7,5 x$ .

e

Bepaal met je GR voor welke waarde van $x$ de benodigde tijd $t$ minimaal is. Licht je werkwijze toe.

f

Bereken $\frac{d t}{d x}$ .

g

Bereken hiermee exact voor welke waarde van $x$ de benodigde tijd $t$ minimaal is.

5

Van een metalen plaat van $37$ dm breed vouwen we een goot. De bodem maken we $7$ dm en de schuin oplopende kanten dus $15$ dm. De hoogte van de goot noemen we $x$ .
De capaciteit $C$ van de goot is de hoeveelheid water die de goot per dm lengte kan bevatten.

a

Schrijf $C$ als functie van $x$ .

b

Bereken $C^{'}$ .

c

Onderzoek met de GR voor welke $x$ de capaciteit maximaal is.

d

Controleer of voor die waarde van $x$ de groeisnelheid $C^{'}$ precies $0$ is.

6

Bij computers daalt de prijs na introductie meestal aanzienlijk om uiteindelijk op een constant niveau terecht te komen.
Een zeker type computer kwam op 1 januari 2010 op de markt. De prijs ontwikkelde zich volgens de formule: $p = 200 + \frac{260}{t + 1}$ . Hierbij is $p$ de prijs in euro’s en $t$ de tijd in maanden vanaf 1 januari 2010. Het aantal computers $v$ van dit type dat maandelijks verkocht wordt, blijkt afhankelijk te zijn van de prijs $p$ volgens de formule: $v = 100 + {(50 - 0,1 p)}^{2}$ .

a

Bereken de prijs op het moment van introductie.
Hoeveel computers van dit type werden er toen per maand verkocht?

b

Hoe duur wordt deze computer op den duur?
Hoeveel worden er op den duur per maand verkocht?

c

Hoeveel computers worden er één jaar na introductie per maand verkocht? Tegen welke prijs?

d

Bereken $\frac{d p}{d t}$ en $\frac{d v}{d p}$ en bereken hiermee hoe snel de verkoop toeneemt (in aantallen computers per maand) één jaar na introductie.

e

Druk $v$ uit in $t$ .

7

Een scheepvaartbedrijf vervoert een gasvormig product. Als deze hoeveelheid gas onder hoge druk vervoerd wordt, is het volume klein en zijn de vervoerskosten laag. Maar het onder druk zetten (en houden) van het gas brengt ook kosten met zich mee. Het verband tussen het volume $V$ en de druk $p$ (in atmosfeer) wordt gegeven door de formule $p \cdot V = 1000$ . De vervoerskosten $K_{V}$ (in euro's) van $V$ liter gas worden gegeven door de formule $K_{V} = 10 V + 100$ . De kosten $K_{p}$ (in euro's) van het onder druk brengen en houden van het gas op $p$ atmosfeer worden gegeven door de formule $K_{p} = 25 p + 2500$ .

a

Druk de totale kosten $K$ ( $= K_{V} + K_{p}$ ) uit in $p$ .

b

Bereken langs algebraïsche weg voor welke druk $p$ de groeisnelheid $\frac{d K}{d p} = 0$ .

c

Bereikt $K$ een minimale of een maximale waarde? Hoe groot is deze waarde?

8

Een relatief jong atletieknummer van de Olympische Spelen is de zevenkamp voor vrouwen. De vrouwen strijden in twee dagen op zeven verschillende baan- en veldonderdelen. De baanonderdelen zijn $100$ meter horden, $200$ meter en $800$ meter hardlopen. De veldonderdelen zijn hoogspringen, kogelstoten, verspringen en speerwerpen. De prestaties van elk onderdeel worden omgerekend naar punten. Deze punten worden vervolgens bij elkaar opgeteld waarna een ranglijst kan worden opgesteld. De punten worden als volgt berekend:

Punten $A \cdot {(B - X)}^{C}$ voor baanonderdelen
Punten $A \cdot {(X - B)}^{C}$ voor veldonderdelen
De puntenaantallen worden altijd naar beneden afgerond

$A$ , $B$ en $C$ zijn constanten die per onderdeel verschillen, zoals te zien is in de tabel hieronder. $X$ is de prestatie van de atleet in eenheden zoals deze in de laatste kolom staat weergegeven.

onderdeel	$A$	$B$	$C$	eenheden
$100$ m horden	$9,23076$	$26,7$	$1,835$	seconden
hoogspringen	$1,84523$	$75$	$1,348$	centimeters
kogelstoten	$56,0211$	$1,5$	$1,05$	meters
$200$ m hardlopen	$4,99087$	$42,5$	$1,81$	seconden
verspringen	$0,188807$	$210$	$1,41$	centimeters
speerwerpen	$15,9803$	$3,8$	$1,04$	meters
$800$ m hardlopen	$0,11193$	$254$	$1,88$	seconden

Jacky Joyner behaalde in 1988 een wereldrecord op de zevenkamp voor vrouwen. In tabel hieronder staan per onderdeel de punten van Jacky Joyner en van Sabine John, de nummer 2.
De onderdelen zijn genummerd 1 tot en met 7, in de volgorde waarin ze in de voorgaande tabel voorkomen.

rang	naam	1	2	3	4	5	6	7	totaal
1	Joyner	$1172$	$1054$	$915$	$1123$	$1264$	$776$	$987$	$7291$
2	John	$1147$	$978$	$943$	$1015$	$1076$	$716$	$1022$	$6897$

Voor de $100$ meter horden geldt de volgende formule:
$P_{100 m} = 9,23076 \cdot {(26,7 - X)}^{1,835}$ .
Hierbij is $P_{100 m}$ de hoeveelheid punten voor dit onderdeel en $X$ de tijd op dit onderdeel in seconden.
Met behulp van de tweede tabel en de formule kun je de tijd van Joyner berekenen op de $100$ meter horden.

a

Bereken de tijd van Joyner op de $100$ meter horden in $2$ decimalen nauwkeurig.

Aan de formules is te zien dat de puntenaantallen voor veldonderdelen in theorie onbeperkt groot kunnen worden. Je zou een speer $1000$ meter ver kunnen werpen, dat levert veel punten op. Er is geen bovengrens. Aan de formules is ook te zien dat de puntenaantallen voor de baanonderdelen wel een bovengrens hebben.

b

Bereken de bovengrens voor de $100$ meter horden en bereken vervolgens hoe ver een atlete moet springen om ten minste ditzelfde aantal punten te behalen voor het onderdeel verspringen.

Met de afgeleide van de formule voor de $200$ meter, $P_{200 m}$ , met de tijd $X$ tussen $0$ seconden en $42,5$ seconden, is na te gaan of $P_{200 m}$ toenemend stijgend, toenemend dalend, afnemend stijgend of afnemend dalend is.

c

Bepaal deze afgeleide en onderzoek met behulp van een schets van de grafiek van deze afgeleide of $P_{200 m}$ toenemend stijgend, toenemend dalend, afnemend stijgend of afnemend dalend is.