In een badplaats neemt het aantal overnachtingen de laatste jaren gelijkmatig toe.
Het bedrag dat gemiddeld per overnachting wordt uitgegeven daalt echter.
We bekijken drie functies:
is het aantal overnachtingen in duizenden, jaar na 2010,
is het bedrag (in euro’s) dat gemiddeld per overnachting wordt uitgegeven, jaar na 2010,
is het totale bedrag in duizenden euro’s dat de overnachtingen opleveren, jaar na 2010.
Veronderstel dat en .
Bereken .
Geef een formule voor .
Schrijf de formule zonder
haakjes zo eenvoudig mogelijk.
De grafieken van en zijn rechte lijnen.
Welke vorm heeft de grafiek van de productfunctie ?
In welk jaar ontving de badplaats het meest van de toeristen? Bereken dit jaartal langs algebraïsche weg.
Bepaal , en .
Gegeven zijn twee functies en . We noemen de functie met
de
productfunctie van de functies en .
Voorbeeld
Als en
, dan is het product van
en de functie
.
In deze paragraaf zoeken we uit hoe je de afgeleide van kunt bepalen als je die van en kent.
In opgave 22e heb je al gezien dat niet geldt: .
Een aardappelteler brengt op 1 juli een partij van kg aardappelen naar de veiling. Hij verkoopt deze partij voor per kg.
Bereken de opbrengst op 1 juli.
Als hij op 2 juli weer kg aardappelen zou verkopen, maar er eurocent per kg meer voor zou krijgen, hoeveel zou de opbrengst dan groter zijn dan op 1 juli?
Als hij op 2 juli kg extra naar de veiling zou brengen en weer per kg zou krijgen, hoeveel zou de opbrengst dan groter zijn dan op 1 juli?
Op 2 juli brengt de aardappelteler kg aardappelen naar de veiling en verkoopt deze voor per kg. Hij berekent snel dat de opbrengst hoger zal zijn dan op 1 juli.
Welke berekening heeft de aardappelteler gemaakt? Wat vind jij van deze berekening?
We bekijken de oppervlakte van een rechthoek met afmetingen en .
De lengte en de breedte variëren in de tijd en de oppervlakte dus ook.
Stel dat op een gegeven moment geldt: , , en . (Dus de breedte neemt toe, de lengte blijft constant.)
Hoe groot is dan ?
Stel dat op een gegeven moment geldt: , , en .
Hoe groot is dan ?
Stel dat op een gegeven moment geldt: , , en .
Voor dit geval berekent Anneke: .
Hoe heeft Anneke dat gedaan?
Wat vind jij van deze berekening?
We gaan nog even verder met de rechthoek van opgave 24.
, en
bekijken we als functie van de tijd .
De tijd groeit met . De breedte groeit met
, de lengte met en de oppervlakte met .
Laat zien dat: .
Welke van deze drie termen kun je verwaarlozen als en klein zijn?
Laat zien dat: .
Naarmate dichter bij komt, nadert
naar
,
naar
,
naar
en
naar .
Dus .
Ga na dat Anneke in opgave 24c de juiste waarde voor had gevonden.
Productregel
Gegeven zijn de functies en . De functie is de productfunctie
van en .
Dan: .
De functie is het product van de functies
en
.
Dus
.
De functie heeft als afgeleide
.
NB. De afgeleide van de functie is
(volgens de kettingregel).
Differentieer de volgende functies met de productregel; je hoeft niet te vereenvoudigen.
|
|
|
|
|
|
is de functie met .
Differentieer op twee manieren.
Door eerst de haakjes weg te werken en dan te differentiëren.
Door de productregel toe te passen en dan de haakjes weg te werken.
Doe hetzelfde voor de functie met .
zijn de gemiddelde kosten in duizenden euro's van een bepaald artikel.
Er geldt: , met
het aantal geproduceerde artikelen in honderdtallen.
De grafiek staat hiernaast.
Toon aan: .
Bereken exact bij welk aantal artikelen de gemiddelde kosten minimaal zijn. Hoe groot zijn dan de kosten per stuk?
Een formule voor de marginale kosten is: .
Toon dat aan.