Hoofdstukken > Regels voor differentiëren

Herhaling

In het hoofdstuk Veranderingen is de afgeleide functie aan de orde geweest. Hiermee kun je de snelheid waarmee de functie groeit berekenen. In het genoemde hoofdstuk heb je geleerd hoe de afgeleide van een derdegraads functie bepaalt, de functie differentieert. In dit hoofdstuk leer je een grotere categorie functies differentiëren, bijvoorbeeld de functies $y = x \sqrt{2 x + 1}$ of $y = \frac{\sqrt{2 x + 1}}{x}$ .

Een pijl wordt op tijdstip $t = 0$ recht omhoog geschoten. Hij komt weer op dezelfde plek neer. De hoogte na $t$ seconden is $h$ meter. Er geldt: $h = 20 t - 5 t^{2}$ . Hiernaast staat de grafiek van $h$ als functie van $t$ .

Bereken exact hoeveel tijd de pijl in de lucht is geweest.

(hint)

Bereken de tijdstippen waarop de hoogte

0

is.

Hoe hoog komt de pijl exact?

Hoe groot is de snelheid van de pijl in het hoogste punt?

Bereken exact de gemiddelde snelheid van de pijl op het tijdsinterval $[1,1 \frac{1}{2}]$ (dus als $1 \leq t \leq 1 \frac{1}{2}$ ).

Bereken ook exact de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval $[1; 1,001]$ .

Hoe groot is, denk je, de snelheid van de pijl op $t = 1$ ?

De snelheid $v (t)$ van de pijl op tijdstip $t$ is de afgeleide $h^{'} (t)$ van de functie $h$ op tijdstip $t$ .

Geef een formule voor $v (t)$ en bereken hiermee de exacte snelheid van de pijl als $t = 10$ .

Het idee hoe de snelheidsfunctie te bepalen bij een afstandsfunctie, brengen we over op 'andere' functies, we spreken dan over de groeisnelheid van een functie. In het hoofdstuk Veranderingen hebben we het volgende gezien.
Gegeven is een functie $f$ . De gemiddelde groeisnelheid van $f$ op het interval $[a, a + Δ x]$ is: $\frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ . Het is de helling van de lijn door de punten $A$ met eerste coördinaat $a$ en $B$ met eerste coördinaat $a + Δ x$ .
Als je $Δ x$ steeds dichter bij $0$ neemt, komt het punt $B$ dichter bij het punt $A$ en wordt lijn $A B$ de raaklijn in $A$ aan de grafiek van $f$ .
En het getal $\frac{f (a + Δ x) - f (a)}{Δ x}$ nadert de helling van die raaklijn. Die helling noteren we met $f^{'} (a)$ . Het is de groeisnelheid van $f (x)$ in $a$ .
Regels voor differentiëren
Voor de functies $f$ en $g$ en voor elke constante $c$ geldt:

Somregel
Als $s = f + g$ , dan $s^{'} = f^{'} + g^{'}$ .
Veelvoudregel
Als $v = c \cdot f$ , dan $v^{'} = c \cdot f^{'}$ .
Als $f : x \to x^{n}$ , dan $f^{'} : x \to n \cdot x^{n - 1}$ , voor $n = 1, 2, 3$ .
Als $f : x \to c$ , dan $f^{'} : x \to 0$ .

In het vervolg noteren we de afgeleide van de functie $f$ ook als $\frac{d f}{d x}$ of als $\frac{d}{d x} f$ .

Voorbeeld:

Als $y = x^{2} + 2 x + 3$ , dan $\frac{d y}{d x} = 2 x + 2$ of korter:
$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 3) = 2 x + 2$ .

Geef van de volgende functies de afgeleide.

$f : x \to 2 x^{3} + 3 x^{2}$	$g : x \to 2 x^{3} + 3 {(x + 1)}^{2}$
$h : x \to {(2 x + 1)}^{2} - {(2 x - 1)}^{2}$	$k : x \to \frac{{(2 x + 1)}^{2} - {(2 x - 1)}^{2}}{x}$

Een producent van trendy horloges heeft de productiekosten bijgehouden. Die staan in de grafiek hieronder.

Horizontaal staat het geproduceerde aantal $q$ in duizendtallen en verticaal de kosten $K$ in duizenden euro.

Wat zijn de gemiddelde kosten per stuk bij een productie van $2000$ stuks?

Bij welk aantal zijn de gemiddelde kosten per stuk even groot als bij een productie van $5000$ stuks?

Bepaal dit aantal door de juiste lijn te tekenen op het werkblad.

Bij welke productie zijn de gemiddelde kosten per stuk hoger? Bij $2000$ of bij $5000$ stuks?

Bepaal dit aantal met tekenen zonder te rekenen.

Bij welk aantal zijn de gemiddelde kosten per stuk minimaal?

Bepaal dit aantal door de juiste lijn te tekenen op het werkblad.

De toename van de kosten als je één stuks meer produceert, noemen we de marginale kosten $M K$ .
Bij welke productie zijn de marginale kosten hoger? Bij $2000$ of bij $3500$ stuks?

Bepaal dit aantal met tekenen zonder te rekenen. Licht je antwoord toe.

Opmerking:

In opgave 3 zijn marginale kosten bij een productie van bijvoorbeeld $2000$ stuks $\frac{K (2 + 0,001) - K (2)}{0,001}$ . Dit is goede benadering van de helling van de raaklijn aan de grafiek van $K$ in het punt bij $q = 2$ . Die helling is $K^{'} (2)$ .
Daarom worden de marginale kosten $M K$ bij een productie van $q$ stuks ook wel gedefinieerd als $K^{'} (q)$ of: $M K = \frac{d K}{d q}$ .

We gaan verder met de vorige opgave. Een formule die goed bij de grafiek past is: $K = \frac{1}{2} q^{3} - 4 q^{2} + 12 q$ .

Geef een formule voor $M K$ .

Geef een formule voor de gemiddelde kosten $G K$ per stuk bij een productie van $q$ stuks.

In opgave 3d heb je gezien dat $G K (q)$ gelijk is aan de helling van de lijn door $O (0,0)$ en het punt van de grafiek van $K$ met eerste coördinaat $q$ .
In onderdeel d heb je gezien dat deze lijn de grafiek van $K$ raakt als de gemiddelde kosten minimaal zijn. Dus voor die waarde van $q$ geldt: $M K (q) = G K (q)$ .

Los deze vergelijking in $q$ exact op en vergelijk de oplossing met die in opgave 3d.

Andere machtsfuncties differentiëren

Er zit een regelmaat in de afgeleide van de machtsfuncties, die we tot nu toe bekeken hebben, zie het lijstje hiernaast.
We bekijken nu de functie $f$ met $f (x) = x^{4}$ .
Met de GR kun je $f^{'} (x)$ voor elke waarde van $x$ berekenen.

Ga na hoe dat op jouw machine werkt.

Ga (met de GR) na of de formule $f^{'} (x) = 4 x^{3}$ hiermee overeenkomt.

Je kunt op precies dezelfde manier te werk gaan voor de functie $f$ met $f (x) = x^{n}$ bij andere positieve gehele exponenten $n$ .

Voor elk positief geheel getal $n$ geldt:
als $f : x \to x^{n}$ , dan $f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$ .

Ga na of de regel ook klopt voor $n = 0$ en voor $n = 1$ .

We bekijken de functie $f$ met $f (x) = \frac{1}{x}$ .

Bereken met de GR $f^{'} (x)$ voor enkele waarden van $x$ .

Vergelijk de waarden die in het vorige onderdeel gevonden hebt met die van de functie $y = \frac{1}{x^{2}}$ .

Heb je een vermoeden voor de formule van $f^{'} (x)$ ?

Ga na dat de formule in overeenstemming is met de algemene formule: als $f : x \to x^{n}$ , dan $f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$ .

Voor elk geheel getal $n \geq ‐ 1$ geldt:
als $f : x \to x^{n}$ , dan $f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$ .

Voorbeeld:

Een formule voor de afgeleide van de functie
$f : x \to \frac{x^{5} + 2 x^{3} + x - 6}{x}$ is $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 x + \frac{6}{x^{2}}$ ,
want $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - \frac{6}{x}$ .

Differentieer de volgende functies.

$f : x \to 7 - x$	$g : x \to 2^{3}$
$h : x \to \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x}$	$k : x \to {(\frac{x^{3} + 1}{\sqrt{x}})}^{2}$

Voor de bouw van een supermarkt wil men een perceel grond kopen. De vloeroppervlakte van de supermarkt moet $1200$ m² zijn. Naast en achter het gebouw moet een strook van $6$ meter breed onbebouwd blijven en voor het gebouw een strook van $10$ meter breed.
De volgende vraag doet zich nu voor: bij welke afmetingen van de supermarkt heeft het benodigde perceel een minimale oppervlakte?
Noem de lengte van de voorzijde van de supermarkt $x$ (meter).

Druk de lengte en de breedte van het perceel uit in $x$ .

(hint)

Druk eerst de lengte van het gebouw uit in

x

Toon aan dat voor de oppervlakte $O (x)$ van het perceel geldt: $O (x) = 16 x + 1392 + \frac{14.400}{x}$ .

Hoe groot zijn de afmetingen van het perceel met minimale oppervlakte?

Bereken die afmetingen langs algebraïsche weg.

Hiernaast staat de grafiek van de functie $f : x \to x^{4} - 2 x^{2}$ .

Bereken exact de waarden van $x$ waarvoor $f (x) = 0$ .

Bereken exact de eerste coördinaat van de punten waar de raaklijn aan de grafiek van $f$ horizontaal is.

Geef een exacte vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met eerste coördinaat $2$ .

We bekijken blikken met een inhoud van $1$ liter ( $1$ dm³); $h$ is de hoogte en $x$ de straal van de grondcirkel in dm.
Van een cirkel met straal $x$ is de oppervlakte $π x^{2}$ en de omtrek $2 π x$ .
Omdat onze blikken inhoud $1$ liter hebben, geldt: $π x^{2} h = 1$ .
De totale oppervlakte van het blik (in dm²) noemen we $O$ .

Toon aan $O = \frac{2}{x} + 2 π x^{2}$ .

Geef een formule voor $\frac{d O}{d x}$ .

Toon aan exact dat $O$ minimaal is als $x = \sqrt[3]{\frac{1}{2 π}}$ .

In de economie wordt vaak gebruik gemaakt van wiskundige modellen. Daarin komen formules voor die een theoretisch verband beschrijven tussen economische grootheden. Een producent verkoopt $q$ eenheden van een product. De totale opbrengst is $T O$ . In figuur 1 staat voor vier verschillende economische modellen een schets van de grafiek van $T O$ .

figuur 1

Als we willen weten hoe de totale opbrengst verandert bij een kleine toename van $q$ , dan kijken we naar de marginale opbrengst $M O$ . In figuur 2 zie je bij elk van de modellen uit figuur 1 de grafiek van de marginale opbrengst, maar ze staan niet in de juiste volgorde.

figuur 2

Geef voor elk van de grafieken 1, 2, 3 en 4 uit figuur 2 aan bij welk model uit figuur 1 deze hoort. Licht je antwoord toe.

We gaan model D uit figuur 1 verder bekijken.
Stel dat voor het verband tussen $q$ en $T O$ een formule van de volgende vorm geldt: $T O = ‐ 0,01 q^{3} + b \cdot q^{2}$ , met $b$ een positief getal.
Bij elke waarde van $b$ kan het maximum van $T O$ worden berekend. De waarde van $q$ waarbij dit maximum optreedt, hangt af van $b$ . Deze waarde van $q$ noemen we $q_{\max}$ .

Teken een grafiek van het verband tussen $q_{\max}$ en $b$ . Licht je werkwijze toe.