Een meer bevat
m3 water waarin %
verontreiniging is opgelost. Dus dat meer heeft m3 verontreiniging en m3 schoon water.
Om het water te zuiveren wordt elke week aan de ene kant m3 water uit het meer gepompt en aan de andere kant wordt er m3 zuiver water ingepompt. Er ontstaat meteen een goed mengsel.
Leg uit dat de hoeveelheid verontreiniging elke week % minder is dan de week ervoor.
Het aantal m3 verontreiniging neemt per dag exponentieel af.
Laat zien dat dit met groeifactor (in drie decimalen nauwkeurig) gebeurt.
Geef een formule voor uitgedrukt in , hierbij is het aantal dagen na het begin van de schoonmaak.
Na een aantal dagen is de hoeveelheid verontreiniging afgenomen tot m3.
Bereken dit aantal dagen, rond af op een geheel aantal.
Hoeveel duizenden m3 water is er dan ongeveer in het meer gepompt? Rond je antwoord af op een geheel aantal.
Bereken exact, schrijf dus voldoende tussenstappen op.
|
|
|
|
In een kweek wordt de hoeveelheid bacteriën bijgehouden.
is de hoeveelheid (in microgram) na dagen.
microgram is
gram.
Ga na dat er sprake is van exponentiele groei.
Bepaal de groeifactor per dag.
Wat is de procentuele toename per dag?
Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per uur in één decimaal.
Een andere bacteriesoort groeit exponentieel in dagen van tot mg.
Bereken langs algebraïsche weg de procentuele toename per dag in één decimaal.
Wat is de verdubbelingstijd van deze soort?
Geef je antwoord langs algebraïsche weg in uren, in één decimaal nauwkeurig.
Een geluidsbron (boormachine, piano) hoor je doordat
die geluidsbron het trommelvlies in je oor in trilling
brengt. Geluid is meestal samengesteld uit tonen van
verschillende hoogte. De hoogte van een zuivere toon
wordt bepaald door zijn trillingsgetal: hoe hoger het
trillingsgetal, uitgedrukt in Hertz (Hz), hoe hoger de toon. Het
trillingsgetal is het aantal trillingen per seconde. Het trillingsgetal van een aangeslagen
stemvork is Hz.
ln de muziek werken we met octaven: het trillingsgetal
van de hoogste toon in een octaaf is twee keer zo groot
als het trillingsgetal van de laagste toon. Op een piano
zitten op een octaaf dertien tonen (acht witte en vijf
zwarte toetsen).
Een moderne piano is zo gestemd dat de verhouding
van de trillingsgetallen van een toon en de volgende
toon steeds hetzelfde is. Zo'n piano heet gelijkzwevend
gestemd (Bach wohltemperiertes Klavier). De zo ontstane toonladder heet chromatische toonladder.
Bereken het verhoudingsgetal dat in bovenstaande tekst genoemd wordt exact en in twee decimalen.
Om verschillende instrumenten in een orkest goed samen te laten spelen moet de absolute hoogte van de tonen vaststaan. Het trillingsgetal van de a (op de notenbalk met een G-sleutel tussen de tweede en derde lijn, zie figuur 2) is Hz.
Bereken het trillingsgetal van de centrale c (aangegeven in figuur 1.)
Bij toonladders kun je spreken van exponentiële groei
van de trillingsgetallen. De groeifactor is per octaaf.
Bij een orgel bepaalt de lengte van de pijp het trillingsgetal van de toon: de lengte
van de pijp is omgekeerd
evenredig met het trillingsgetal van de toon die hij voortbrengt, dat wil zeggen:
trillingsgetal maal pijplengte is
constant. De pijplengte van een orgel groeit daarom per
octaaf met factor .
Zo brengt een orgel de exponentiële functie mooi in beeld.
Los de volgende vergelijkingen in exact op.
Op grote hoogte is de luchtdruk veel lager dan op zeeniveau. Afgezien van kleine schommelingen is de luchtdruk op zeeniveau hectopascal. De luchtdruk is een exponentiële functie van de hoogte. Op km hoogte is de luchtdruk ongeveer hectopascal.
Hoe groot is de luchtdruk op km hoogte?
De luchtdruk op hoogte km is hectopascal.
Geef een formule voor uitgedrukt in .
Hieronder staan in één figuur de overlevingsgrafieken van het fruitvliegje, de mens, de zoetwaterpoliep (hydra) en de oester. Op de verticale as is een logaritmische schaal gebruikt; bij elk van de vier soorten is begonnen met exemplaren. Op de horizontale as is een lineaire schaal gebruikt; daarop is de relatieve leeftijd uitgezet (de maximale leeftijd van elke soort is gesteld op ).
De mens wordt hoogstens jaar oud.
Waar op de horizontale as staat jouw huidige leeftijd?
Bij welk van de vier soorten is de sterfte onder de jeugd het grootst?
De grafiek van de mens is maar een gemiddelde. Je zou een aparte grafiek kunnen maken voor ontwikkelingslanden en rijke landen.
Hoe zouden die twee grafieken liggen ten opzichte van dit gemiddelde?
Welk getal moet er op de verticale as halverwege en staan? En halverwege en ?
De zoetwaterpoliep kan hoogstens dagen oud worden.
We beginnen weer met exemplaren.
Het aantal dat dagen of langer leeft, noemen we .
Hoe groot is ? En ?
De grafiek van is een rechte lijn, dankzij de logaritmische schaal op de verticale as. We zullen nog zien dat dan een exponentiële functie is van .
Wat is de groeifactor per dagen?
En per dag (in twee decimalen)?
Stel een formule op voor als functie van .
In het onderstaande artikel uit de Volkskrant is sprake
van een enorme groei van de nijlbaars in het Victoriameer.
In jaar tijd is het aantal nijlbaarzen toegenomen
van in 1960 tot miljoen in 1985. Veronderstel dat
er geen maatregelen tegen de nijlbaars zijn getroffen.
Dan zal de groei exponentieel zijn.
Bereken hoeveel nijlbaarzen er waren halverwege de periode 1960-1985, dus na jaar.
Bereken de groeifactor per jaar en stel een formule op voor het aantal nijlbaarzen , jaar na 1960.
Met hoeveel procent neemt het aantal nijlbaarzen per jaar toe? En met hoeveel procent per dag? Let op: dagpercentage jaarpercentage.
In welk jaar waren er nijlbaarzen?
Bereken dat aantal langs algebraïsche weg.
Oplopende rente
Bank A adverteert met de volgende aanbieding:
1e jaar % rente
2e jaar % rente
3e jaar % rente
4e jaar % rente
5e jaar % rente
Wie spaargeld inlegt bij bank A voor een periode van jaar, krijgt dus het
eerste jaar % rente, het tweede jaar % en het derde jaar %
en zo verder.
Neem aan dat bank B een vast rentepercentage per jaar aanbiedt voor
een periode van jaar.
Iemand wil een bedrag inleggen bij een bank voor een periode van jaar.
Onderzoek bij welk vast rentepercentage per jaar van bank B hij bij beide banken hetzelfde eindbedrag in handen krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.
Als op een rekening het eerste jaar % rente uitgekeerd wordt en in het tweede jaar %, dan levert dit niet hetzelfde eindbedrag op als wanneer er zowel in het eerste
als in het tweede jaar % rente uitgekeerd wordt.
In het eerste geval is de jaarlijkse groeifactor immers .
Om precies hetzelfde resultaat te bereiken, zou je voor de jaarlijkse
groeifactor het zogenoemde meetkundig gemiddelde moeten nemen.
Het meetkundig gemiddelde van twee positieve getallen en is .
In Wikipedia wordt over het meetkundig gemiddelde de volgende
bewering gedaan: de logaritme van het meetkundig gemiddelde is het
rekenkundig gemiddelde van de afzonderlijke logaritmen. In formule wordt
dit voor de getallen en :
.
Met behulp van de rekenregels voor logaritmen kun je laten zien dat
bovenstaande formule geldt voor alle positieve getallen en .
Laat zien dat de formule juist is.