Regels voor het rekenen met logaritmen

In hoofdstuk 2, Verbanden hebben we de regels voor het rekenen met machten gezien (regel 1 tot en met 4 hieronder).
Logaritmische en exponentiële functies zijn elkaars inverse. Dat komt tot uitdrukking in de regel die we in paragraaf 2 van dit hoofdstuk gezien hebben, die staat als regel 5 hieronder.
Door deze vijf regels te combineren, vinden we in deze paragraaf regels voor het rekenen met logaritmen.

Rekenregels voor machten

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$
${(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}$
${(a \cdot b)}^{p} = a^{p} \cdot b^{p}$
$g^{{}^{g} \log (x)} = x$ en ${}^{g} \log (g^{x}) = x$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen $a$ , $b$ , en willekeurige getallen $p$ en $q$ .
Verder: $x > 0$ en $g > 0$ en $g \neq 1$ .
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

$2^{{}^{2} \log (3) + {}^{2} \log (7)}$ is een mooi getal, namelijk $21$ .
Dat kun je met een berekening laten zien door regel 1 en 5 te combineren.

Doe dat.

Uit a kun je concluderen: ${}^{2} \log (3) + {}^{2} \log (7) = {}^{2} \log (21)$ .

Hoe?

$7^{{}^{7} \log (3) + {}^{7} \log (8)}$ is een ook mooi getal.

Heb je enig idee welk?

Kun je dat ook bewijzen?

Conclusie:
${}^{7} \log (3) + {}^{7} \log (8) = {}^{7} \log (24)$ .

$2^{{}^{2} \log (9) - {}^{2} \log (3)}$ is ook een mooi getal, namelijk $3$ .

Laat zien dat je dat kunt vinden door regels hierboven te combineren.

Bekijk het getal $2^{4 \cdot {}^{2} \log (3)}$ .
Dit is gelijk aan $3^{4}$ . Dat kun je als volgt inzien.

Volgens welke regels geldt:
$2^{4 \cdot {}^{2} \log (3)}$ $=$ ${(2^{{}^{2} \log (3)})}^{4} = 3^{4}$ ?

Maar ook geldt volgens regel 5:
$2^{{}^{2} \log (3^{4})} = 3^{4}$ .
Dus: $4 \cdot {}^{2} \log (3) = {}^{2} \log (3^{4})$ .

Opmerking:

Op je GR zit een knop [log].
Het grondtal van deze logaritme is $10$ .
Controleer maar door bijvoorbeeld $\log (100)$ , $\log (100.000)$ en $\log (\frac{1}{\sqrt{10}})$ in te toetsen. Je hebt deze knop in de vorige paragraaf ook al gebruikt.
Dus $\log (x) =$ ${}^{10} \log (x)$ .
Dat je met de knop [log] ook logaritmen met andere grondtallen kunt berekenen volgt uit de volgende opgave.

Bereken op de GR:
$\frac{\log (8)}{\log (2)}$ , $\frac{\log (36)}{\log (6)}$ en $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ .

Allemaal mooie uitkomsten. Ze zijn gelijk aan ${}^{2} \log (8)$ , ${}^{6} \log (36)$ en ${}^{3} \log (81)$ , dat zien we in de volgende vraag.

Laat met de regels zien dat:
$10^{\log (2) \cdot^{2} \log (8)}$ $=$ ${(10^{\log (2)})}^{{}^{2} \log (8)} =$ $8$ .

Omdat $8 = 10^{\log (8)}$ , volgt hieruit dat $\log (2) \cdot {}^{2} \log (8) = \log (8)$ , dus dat (deel beide kanten van de laatste gelijkheid door $\log (2)$ ): ${}^{2} \log (8) = \frac{\log (8)}{\log (2)}$ .

In de vorige vier opgaven heb je gezien dat onderstaande regels volgen uit de regels voor het rekenen met machten.

Regels voor het rekenen met logaritmen

${}^{g} \log (x) + {}^{g} \log (y) = {}^{g} \log (x \cdot y)$
${}^{g} \log (x) - {}^{g} \log (y) = {}^{g} \log (\frac{x}{y})$
$r \cdot {}^{g} \log (x) = {}^{g} \log (x^{r})$
${}^{g} \log (x) = \frac{{}^{a} \log (x)}{{}^{a} \log (g)}$ (overstappen op een ander grondtal namelijk van $g$ op $a$ )

De regels gelden voor alle positieve getallen $x$ , $y$ , $a$ , $g$ en willekeurige getallen $r$ , waarbij $a$ en $g$ niet $1$ mogen zijn.

Opmerking:

De laatste regel hebben we in opgave 35 voor $a = 10$ laten zien. Je kunt de procedure moeiteloos voor andere getallen $a$ kopiëren.

Regels toepassen

Voorbeeld:

De oplossing van de vergelijking $2^{x} = 3$ in drie decimalen is: $\frac{\log (3)}{\log (2)} = 1,585$ .
De oplossing van de vergelijking $2^{x + 3} = 3$ is dan $‐ 1,415$ .
En de oplossing van de vergelijking $2^{\sqrt{x}} = 3$ is ${1,5849...}^{2} = 2,512$ .

Benader op je rekenmachine in drie decimalen:

${}^{4} \log (5)$	${}^{4} \log (25)$
${}^{4} \log (\frac{1}{5})$	${}^{4} \log (20)$
${}^{\frac{1}{4}} \log (5)$	${}^{\frac{1}{4}} \log (1 \frac{1}{4})$

Los de volgende vergelijkingen op, in drie decimalen nauwkeurig.

$7^{x} = 11$	$11^{x} = 7$
$2^{x - 1} = 11$	$2^{x^{2}} = 11$
$2^{\sqrt{x}} = 111$	${\sqrt{2}}^{x} = 111$
${1,1}^{x} = 1$	$11 \cdot {1,1}^{x} = 1$

Een kapitaal van $€ 5432, -$ staat uit tegen $10$ % rente per jaar op de bank. De groei van het kapitaal is exponentieel.

Wat is de groeifactor per jaar?

(hint)

10

% erbij optellen komt op hetzelfde neer als vermenigvuldigen met een zekere factor. Welke factor?

Geef een formule voor het kapitaal $K (t)$ in euro na $t$ jaar.

Zodra het kapitaal is aangegroeid tot $€ 10.000, -$ wordt het van de bank gehaald.

Hoelang duurt dat (in maanden nauwkeurig)?

Uit Wikipedia.
In 1804 woonden er één miljard mensen op de wereld. In 1927 waren dat twee miljard. Eind jaren 50 in de vorige eeuw groeide de wereldbevolking tot drie miljard personen.
Op 11 juli 1987 werd het Kroatische jongetje Matej Gaspar symbolisch uitgeroepen tot vijfmiljardste wereldburger.
Op 19 juli 1999 werd volgens de Verenigde Naties de $6$ miljardste mens geboren. Een jongen uit Sarajevo kreeg de eer. Dit was uiteraard een symbolische keuze, omdat het niet was na te gaan wie daadwerkelijk de zesmiljardste wereldburger werd. De VN koos voor Sarajevo om te tonen dat de regio zich herstelde. Op 31 oktober 2011, iets meer dan $12$ jaar later, werd de $7$ miljardste mens geboren.
Men schatte in 1999 dat de wereldbevolking elk jaar toeneemt met $1,9$ %.

Als er in 1999 de $6$ miljardste mens geboren werd en de schatting van $1,9$ % juist is, hoeveel mensen zouden er $12$ jaar later zijn?

Uit bovenstaande volgt dat in 1804 de verdubbelingstijd van de wereldbevolking $123$ jaar was.

Hoe groot is de verdubbelingstijd met een groeipercentage van $1,9$ % per jaar?
Bereken deze tijd algebraïsch in jaren nauwkeurig.

Een glasplaat van $1$ cm dikte neemt $20$ % van het erop vallend licht weg.

Leg uit dat door een glasplaat van $2$ cm dikte $64$ % van het licht wordt doorgelaten.

Hoeveel procent van het licht wordt doorgelaten door een glasplaat van $x$ cm?

Hoe dik moet je een glasplaat maken om slechts $40$ % van het licht door te laten (in mm nauwkeurig)?

Los op in drie decimalen nauwkeurig:

$7^{x} = 4$	$7^{y} = \frac{1}{4}$
${(\frac{1}{2})}^{x} = \frac{7}{3}$	${(\frac{1}{2})}^{y} = \frac{3}{7}$

$2^{x} = 101$	$8^{y} = 101$
$2^{x} = 0,78$	$8^{y} = 0,78$

${}^{g} \log (x) + {}^{g} \log (y) = {}^{g} \log (x \cdot y)$
Deze regel is de hoofdeigenschap van logaritmen.
We controleren de hoofdeigenschap voor enkele gevallen.

Bereken ${}^{5} \log (625) + {}^{5} \log (\frac{1}{5})$ op twee manieren, beide zonder rekenmachine.

Door ${}^{5} \log (625)$ en ${}^{5} \log (\frac{1}{5})$ apart uit te rekenen.
Door ${}^{5} \log (625) + {}^{5} \log (\frac{1}{5})$ met de hoofdeigenschap eerst te schrijven als ${}^{5} \log (...)$ .

Bereken op twee manieren met je rekenmachine:
$\log (20) + \log (5)$ en $\log (5) - \log (\frac{1}{2})$ .

Bereken zonder rekenmachine; gebruik de hoofdeigenschap:

${}^{3} \log (6) + {}^{3} \log (1 \frac{1}{2})$	${}^{5} \log (2 \frac{1}{2}) + {}^{5} \log (0,08)$
${}^{\frac{1}{4}} \log (0,4) + {}^{\frac{1}{4}} \log (10)$	${}^{30} \log (2) + {}^{30} \log (3) + {}^{30} \log (5)$
${}^{2} \log (\frac{1}{4} x) + {}^{2} \log (\frac{1}{x})$	${}^{2} \log (5^{x}) + {}^{2} \log (5^{‐ x})$

Bereken zonder rekenmachine:

${}^{4} \log (640) - {}^{4} \log (10)$	${}^{5} \log (2 \frac{1}{2}) - {}^{5} \log (\frac{1}{2})$
${}^{0,7} \log (10) - {}^{0,7} \log (7)$	${}^{7} \log (84 x) - {}^{7} \log (2 x) - {}^{7} \log (6)$
${}^{5} \log (6) - {}^{5} \log (5) - {}^{5} \log (3) - {}^{5} \log (2)$	$\log (12) + \log (3) - \log (45) + \log (125)$

Controleer regel 3 met je rekenmachine in de volgende gevallen:

$\log (1000^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \log (1000)$
en $\log (7^{4}) = 4 \log (7)$ .

${}^{2} \log ({\sqrt{2}}^{5})$ $= 5 \cdot {}^{2} \log (\sqrt{2})$ $= 2 \frac{1}{2}$ want ${}^{2} \log (\sqrt{2})$ $= \frac{1}{2}$ , ga dat na.

Bereken net zo:
${}^{4} \log (2^{11})$
${}^{\frac{1}{4}} \log (2^{11})$
${}^{3} \log ({(\frac{1}{9})}^{11})$
${}^{\frac{1}{3}} \log ({(\frac{1}{9})}^{11})$

$\log (2) = 0,3010...$
In deze opgave ronden we $\log (2)$ af op $0,3$ .
Hiermee kun je met behulp van de rekenregels andere logaritmen benaderen, bijvoorbeeld
$\log (200) = \log (100) + \log (2) = 2 + 0,3 = 2,3$ en
$\log (50) = \log (100) - \log (2) = 2 - 0,3 = 1,7$ .

Bereken zo ook (van links naar rechts):

$\log (20)$	$\log (0,05)$	$\log (0,2)$
$\log (4)$	$\log (16)$	$\log (160)$
$\log (25)$	${}^{2} \log (10)$	${}^{5} \log (10)$