1

Voor de dienstkeuring van 1990 meldden zich $95.000$ jongens. Een jongen werd afgekeurd als hij een lengte had onder $1,60$ m of boven $2,00$ m. De groep van 1990 had een gemiddelde lengte van $182$ cm en SD $9$ cm.

a

Laat zien dat ongeveer $2850$ jongens afgekeurd werden vanwege hun lengte.

De kleding was ingedeeld in Small, Medium en Large. Jongens van $1,60$ tot $1,75$ meter krijgen Small, van $1,75$ tot $1,85$ meter Medium en van $1,85$ tot $2,00$ meter Large.

b

Bereken hoeveel jongens in elk van de klassen zaten.

Eigenlijk had men voor 1990 maar $90.000$ jongens nodig. Men heeft overwogen de ondergrens van $1,60$ zó te veranderen, dat men nog $90.000$ jongens zou overhouden. De bovengrens blijft $2,00$ meter.

c

Op welke lengte had men de ondergrens moeten zetten om dit te bereiken?

2

Sollicitatiegesprek
Binnen een grote groep sollicitanten is het IQ normaal verdeeld met $μ = 115$ en $σ = 13$ . De personen waarvan het IQ tot de hoogste $15$ % behoort, komen in aanmerking voor een tweede sollicitatiegesprek.

Vanaf welk IQ komt men in de tweede ronde?

3

Pakken groente
Een machine vult pakken groente met een gemiddelde gewicht van $150$ g. De fabrikant wil dat $90$ % van de pakken een gewicht heeft dat maximaal $5$ g afwijkt van deze $150$ g. Veronderstel dat de vulgewichten normaal verdeeld zijn.

Welke standaardafwijking zal hij accepteren?

4

Frisdrank
Een robot vult flessen frisdrank met gemiddeld $1,03$ liter.
Uit een onderzoek van de consumentenbond blijkt dat $2,8$ % van de flessen minder dan $1$ liter bevat.

Bereken de standaardafwijking, ervan uitgaande dat de hoeveelheid frisdrank in een fles normaal verdeeld is.

5

Appels
Een grote partij appels heeft een gemiddeld gewicht van $80$ g en een standaardafwijking van $15$ g. De gewichten zijn normaal verdeeld. De partij appels wordt verdeeld in vijf gewichtsklassen, die elk evenveel appels bevatten.

Bereken de klassengrenzen.

6

Kraanleertjes
Een fabrikant van wastafels heeft kraanleertjes nodig met en dikte tussen $3,6$ en $4,4$ mm. Leertjes met een andere dikte zijn voor hem onbruikbaar. Hij heeft de keuze uit twee aanbiedingen:

leertjes waarvan de dikte normaal verdeeld is met $μ = 4$ mm en $σ = 0,2$ mm; die kosten € $15$ per $100$ stuks
leertjes waarvan de dikte normaal verdeeld is met $μ = 4$ mm en $σ = 0,3$ mm; die kosten € $13$ per $100$ stuks.

Welke aanbieding is het aantrekkelijkst voor de fabrikant?

7

Caloriearm dieet
We kijken in deze opgave naar het verband tussen voeding en levensduur van muizen. Daarbij vergelijken we muizen die van jongs af aan een gewoon dieet krijgen met muizen die van jongs af aan een caloriearm dieet krijgen. Een caloriearm dieet bevat slechts de helft van het aantal calorieën van het gewone dieet.
De levensduur van muizen met het gewone dieet is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van $33$ maanden en een standaardafwijking van $2,7$ maanden.

a

. Bereken hoeveel procent van deze muizen de leeftijd van $36$ maanden bereikt.

Muizen met het caloriearme dieet hebben een gemiddelde levensduur van $45$ maanden. Dit hogere gemiddelde wijst er al op dat het caloriearme dieet het verouderingsproces vertraagt. Behalve op de gemiddelde levensduur letten we nog op de “maximale” levensduur in beide groepen muizen; daarmee wordt de levensduur bedoeld die door slechts $0,1$ % van de muizen overschreden wordt. Bij muizen met het caloriearme dieet is deze “maximale” levensduur $51,5$ maanden.

b

Toon aan dat de levensduur van muizen met het caloriearme dieet een SD van $2,1$ maanden heeft.

Ook wat de “maximale” levensduur betreft, is er een aanzienlijk verschil tussen beide groepen muizen. Van de muizen met een caloriearm dieet leeft een groot percentage langer dan de “maximale” levensduur met een gewoon dieet.

c

Bereken dit percentage.

8

Zakken aardappelen
Zakken met $2,5$ kg aardappelen bevatten natuurlijk zelden precies $2500$ gram. Ontevreden klanten beweren dat er vaak te weinig in zit.
Een leverancier beweert dat in zijn zakken van $2,5$ kg gemiddeld $2540$ gram aardappelen zit met een standaardafwijking van $80$ gram.
Veronderstel dat de leverancier het bij het rechte eind heeft.

a

Wat is dan de kans dat een willekeurige zak aardappelen minder dan $2500$ gram bevat?

Een consumentenvereniging doet een onderzoek. In verschillende winkels worden in totaal vijf van die zakken gekochte veronderstellen nog steeds dat de leverancier het bij het rechte eind heeft.

b

Wat is dan de kans dat alle vijf de zakken minder dan $2500$ gram bevatten?

Het bleek dat alle vijf zakken minder dan $2500$ gram bevatten.

c

Wat denk jij van de bewering van de leverancier?

9

Omzet
Het bedrag dat in een week bij de kassa's van een supermarkt binnenkomt, is in zes van de tien weken meer dan € $40.000$ .
Neem aan dat de wekelijkse omzet normaal verdeeld is met standaardafwijking € $6515$ .

Bereken de gemiddelde weekomzet.

10

ASCII-codes
Een computer kan alleen nullen en enen herkennen. Wanneer op het toetsenbord de letter "a" wordt aangeslagen, krijgt de computer de code "01100001" doorgeseind. Zo hebben alle tekens op het toetsenbord hun eigen codering. Op de volgende bladzijde staat de complete lijst van het ASCII-systeem. ASCII is de afkorting van American Standard Code for lnformation lnterchange. Elk teken heeft ook een nummer. Het nummer van de letter "a" is "97".

a

Wat is het verschil tussen de codes van een hoofdletter en de bijbehorende kleine letter?
Wat is het verschil tussen de nummers van een hoofdletter en de bijbehorende kleine letter?

De ASCII-code gebruikt rijtjes van acht nullen en enen. Zo'n rijtje noemt men wel een byte (verbastering van "by eight"). In het ASCII-systeem beginnen de bytes allemaal met een 0.

b

Hoeveel bytes zijn er dan nog mogelijk?

In het overzicht ontbreken de bytes die beginnen met drie nullen.

c

Hoeveel bytes zijn dat? Hoeveel bytes zitten er wel in het overzicht?

Er zit een mooi systeem in de bytes die achtereenvolgens aan de hoofdletters zijn toegekend.

d

Breng dat systeem onder woorden.

11

Het aardige van de nummers in het ASCII-systeem is dat je de computer een geheimschrift kunt laten maken. Bijvoorbeeld als volgt. We werken alleen met hoofdletters. Zoek bij een teken het nummer; vermenigvuldig dat nummer met $2$ en trek van de uitkomst $90$ af; zoek bij het nummer dat je dan hebt gekregen het bijbehorende teken.
Voorbeeld:
de letter "a" heeft nummer $65$ ,
$2 \cdot 65 - 90 = 40$ ,
bij nummer $40$ hoort het teken “(“.
Elk teken wordt zodoende omgezet in een ander teken.

a

Vertaal het woord "CODE" in dit geheimschrift.

b

Is er een teken dat bij dit geheimschrift zichzelf blijft?

c

Welk woord gaat schuil achter het geheimschriftwoord "T8>"?

Je moet een geheimschriftwoord terug kunnen vertalen naar het originele woord.

d

Welke rekenstappen moetje daarvoor doen?

12

Een binaire boom.
De boom in de figuur vertakt zich vanuit de stam een aantal keren, telkens naar links en naar rechts.

a

Bereken het aantal uiteinden. Niet tellen.

We gaan de ASCII-codes opgave 10 gebruiken om de hoofdletters van het alfabet in de boom te plaatsen. We vatten een "0" op als een vertakking naar links en een "1" als een vertakking naar rechts

b

Ga na dat de A (00001), de L (01100) en de Z (11010) op de juiste plaats staan.

c

Waar in de boom komt de letter E?

d

Welke letters horen bij de twee uiteinden waar een stip in staat?

13

In een stad staan twee ziekenhuizen. Per week worden in het grootste ziekenhuis $50$ baby's geboren en in het kleinste $20$ . In 1988 is in beide ziekenhuizen het aantal weken geteld, waarin ten minste $60$ % van de borelingen een jongen was.

a

Bij welk van de twee ziekenhuizen zal dat aantal het grootst zijn? Waarom?

b

Bereken de verwachtingswaarde van dat aantal weken, voor elk van de ziekenhuizen.

14

Verzin een vraag bij het antwoord $(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0,8}^{9} \cdot {0,2}^{4}$ .

15

De semafoor
Vroeger was het niet eenvoudig snel berichten over grotere afstand door te geven. Terwijl dat vaak van het grootste belang was. Bij veldslagen was dat zelfs doorslaggevend.
Een van de methodes was die van de semafoor (seinpaal). Op zee gaven matrozen signalen met geelrode vlaggen. Voor de vlaggen waren acht posities mogelijk, zoals hiernaast schematisch is aangegeven. Maar ze kunnen niet dezelfde positie innemen. Elke letter had zijn eigen vlaggensein. Een paar voorbeelden:

a

Zijn er genoeg seinen mogelijk voor het hele alfabet?

b

Is hier sprake van een binomiale code?

Je zou ook nog seinen kunnen toevoegen met een in plaats van twee vlaggen (maar dat is niet gebruikelijk).

c

Hoeveel seinen zouden er dan in totaal mogelijk zijn?

16

Schotpercentage
De waarde van een basketbalspeler in de VS wordt onder andere bepaald door zijn schotpercentage. Dat is het aantal rake schoten als percentage van het aantal pogingen om te scoren.
Van een speler is het gemiddelde schotpercentage $70$ %. Laten we eens voor die speler aannemen dat elk van zijn schoten met $70$ % kans doel treft. In een wedstrijd waagt hij $20$ schoten.

a

Hoe groot is de kans dat zijn score precies $70$ % is?

b

Bereken de kans dat zijn score ligt tussen $55$ % en $75$ % (bedoeld wordt: $55 % \leq$ score $\leq 75 %$ ).

17

Uit een groep van twaalf personen, vier mannen en acht vrouwen, worden er aselect drie aangewezen.

a

Hoeveel drietallen zijn er mogelijk?

b

Bereken $(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ .

De uitkomsten van a en b zijn hetzelfde.

c

Kun je dat verklaren?

d

Bereken de kans dat twee van de drie aangewezen personen vrouwen zijn.

18

Tijdens het weekend zijn de wachtkamers van de SEH-afdelingen in elk ziekenhuis goed gevuld. Ongeveer $10$ % van de bezoekers komt om sportblessures te laten behandelen.
In een ziekenhuis melden zich in een weekend $50$ mensen bij de SEH.

Bereken de kans dat het aantal personen met sportblessures onder het verwachte aantal ligt.

19

Een streepjescode
Op de meeste artikelen zit tegenwoordig een streepjescode, hiernaast staat een voorbeeld. Elk cijfer heeft zijn eigen codering: een serie van smalle en brede streepjes, afgewisseld met smalle of brede witruimtes. Het systeem is nogal ingewikkeld.
Soms maken eigenwijze winkeliers hun eigen cijfercode. De volgende cijfercodering stond op een enveloppe van een fotozaak.

Hoe denk je dat de ontbrekende cijfers zijn gecodeerd?

20

Voor de wedstrijd wordt een groepsfoto gemaakt van het elftal. Zo'n foto heeft een vaste indeling: zes spelers blijven staan, terwijl de andere vijf daarvoor hurken. De spelers kunnen onderling van plaats verwisselen

a

Hoeveel foto's zijn er mogelijk, gelet op de onderlinge plaats?

b

Hoeveel foto's zijn er mogelijk als de keeper de middelste speler op de hurken moet zijn?

c

Hoeveel foto's zijn mogelijk als de keeper een van de hurkende spelers moet zijn?

21

Peter woont in Bodegraven en geeft les op een school in Utrecht. Dagelijks reist hij met de trein heen en terug. Er zijn twee onafhankelijke redenen om vertraging te krijgen.

De trein vertrekt niet op tijd. De kans hierop is $0,2$ .
De reisduur is langer dan gepland. De kans hierop is $0,05$ .

Er is sprake van vertraging, als er afwijkingen ten opzichte van het spoorboekje zijn.

a

Beschrijf hoe je de gegeven kans van $0,2$ in de praktijk zou kunnen controleren.

Peter is 's ochtends op tijd op het station.

b

Laat zien dat de kans dat hij met vertraging in Utrecht arriveert gelijk is aan $0,24$ .

Peter maakt in een week vier keer de reis Bodegraven- Utrecht.

c

Maak een tabel van de kansverdeling van het aantal dagen dat hij vertraging heeft.

aantal dagen met vertraging	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

d

Bereken hoeveel dagen Peter naar verwachting met vertraging zal reizen.

Peter reist in een jaar $40$ weken van Bodegraven naar Utrecht. De overige weken heeft hij vakantie.

e

Wat is naar verwachting het aantal dagen Peter jaarlijks met vertraging zal reizen?

22

Bridge
Het kaartspel bridge wordt gespeeld door vier spelers; die worden Noord, Oost, Zuid en West genoemd. Noord en Zuid spelen tegen Oost en West. Het kaartspel bestaat uit $52$ kaarten: $13$ klaveren, $13$ ruiten, $13$ harten en $13$ schoppen. Noord krijgt (net als de andere drie spelers) in het begin van het spel dertien kaarten. Die dertien kaarten noemt men wel een "hand".

a

Hoeveel handen zijn er mogelijk?

Een "verdeelde hand" is een hand met van een kleur $4$ kaarten en van de andere drie kleuren $3$ kaarten.

b

Hoeveel verdeelde handen zijn er mogelijk?

c

Wat is de kans dat Noord een verdeelde hand krijgt?

Noord gaat het spel spelen; zijn partner Zuid legt zijn kaarten open op tafel. Noord ziet dat hij samen met Zuid 9 schoppenkaarten heeft: van schoppen missen ze alleen de Heer, de Tien, de Acht en de Drie. Die vier schoppenkaarten zitten dus bij Oost en/of bij West. Je begrijpt natuurlijk wel dat het voor Noord interessant is om te weten hoe de vier schoppenkaarten over zijn twee tegenstanders verdeeld zijn. Een van de mogelijkheden is: Oost heeft de Heer, de Tien en de Drie, West heeft de Acht.

d

Hoeveel mogelijkheden zijn er?

e

Hoeveel verdelingen van die vier schoppenkaarten zijn er waarbij Oost er twee heeft (en West dus ook)?

23

Uit de leerlinggegevens van een klas van negenentwintig leerlingen blijkt de gezinssamenstelling als volgt te zijn.

Uit het histogram valt onder andere af te lezen dat vijf van de negenentwintig leerlingen komen uit een gezin met vier kinderen.
Er worden twee leerlingen aselect aangewezen.

a

Hoe groot is de kans dat ze allebei uit een gezin van meer dan twee kinderen komen?

Veronderstel dat deze klas representatief is voor alle Nederlandse gezinnen met kinderen.
Op een school zitten $100$ havo5-leerlingen.

b

Bereken de kans dat meer dan de helft van de leerlingen uit een gezin met hoogstens drie kinderen komt.

c

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal kinderen per gezin? (We werken alleen met gezinnen met kinderen.)

24

Het doen van een bloedtest is kostbaar. Onderzoeken uit het verleden leren ons dat het bloed van $95$ % van de onderzochte personen in orde is. In plaats van één bloedtest per persoon, is het ziekenhuis overgestapt op een bloedtest van tien personen tegelijk. Men neemt van ieder van de tien personen een beetje van het bloedmonster en doet die beetjes bij elkaar. Daarmee voert men de test uit. Het bloed kan in orde blijken te zijn en het kan niet in orde blijken te zijn.

a

Leg uit wat het voordeel van deze aanpak zou kunnen zijn.
Wat is het nadeel van deze aanpak?

b

Bereken de kans dat het bloed van $10$ personen in orde is.

Bij deze aanpak heeft men voor een groep van tien personen of $1$ test nodig, of $11$ testen.

c

Bereken het gemiddeld aantal testen dat men voor een groep van tien personen nodig heeft.

Iedere test kost € $25$ . In het oude systeem (één test per persoon) waren de kosten voor een groep van tien dus € $250$ .

d

Is het nieuwe systeem naar verwachting goedkoper?

25

Een landbouwtoeleveringsbedrijf verkoopt een bepaald soort kunstmest in zakken. Deze zakken worden machinaal gevuld. De vulmachine is zo ingesteld dat gemiddeld $4$ op de $100$ zakken een te laag gewicht hebben. De prijs van de soort kunstmest is € $36$ per zak. Voor een zak met een te laag gewicht betaalt de klant maar € $32$ .
Een klant koopt vier zakken.

a

Bereken de kans dat ze alle vier voldoende gewicht hebben.

b

Bereken de kans op twee zakken met voldoende gewicht en (dus) twee zakken met een te laag gewicht.

c

Bereken de verwachte opbrengst van een zak kunstmest.

26

We spelen een spel met vier enveloppen. In twee enveloppen zit een briefje van $10$ euro; in één envelop zit een briefje van $50$ euro en één envelop is leeg.
Iemand kiest een envelop en maakt die open. Hij mag de inhoud houden. Maar als de envelop leeg blijkt te zijn is het spel afgelopen. Anders neemt hij een volgende envelop. Enzovoort.

a

Maak een kansboom behorend bij dit spel.

b

Bereken de kans dat hij achtereenvolgens $10$ , $50$ en $0$ euro pakt.

c

Bereken de kans dat hij na de tweede envelop moet stoppen.

d

Maak een tabel van de kansverdeling van het totale bedrag dat hij pakt.

totale bedrag	...
kans	...

e

Welk totale bedrag mag hij verwachten te krijgen?

27

Uit onderzoek is gebleken dat een bepaald medicijn bij $20$ % van de gebruikers bijverschijnselen veroorzaakt.

a

Bereken de kans dat bij een groepje van vijf patiënten niemand bijverschijnselen krijgt.

b

Bereken de kans dat een groep van vijf minstens één patiënt bijverschijnselen krijgt.

28

Een loterij
In een loterij zijn zes prijzen: $1$ hoofdprijs van € $1000$ , $2$ tweede prijzen van elk € $100$ en $3$ derde prijzen van elk € $25$ .
Er zijn $1000$ loten verkocht. Ik heb een van de loten gekocht.

a

Bereken hoeveel euro aan prijzengeld ik gemiddeld mag verwachten.

Voor één lot zijn de kansen eenvoudig te bepalen. Het wordt een stuk ingewikkelder als iemand twee of meer loten koopt.
Mijn broer koopt twee loten.

b

Bereken de kans dat hij in totaal € $1000$ of meer wint.

Een vriend koopt vier loten.

c

Bereken de kans dat hij minstens één prijs wint.

29

De kans op dubbel-zes in 24 worpen
Als je vier maal met een dobbelsteen werpt, is de kans dat je geen enkele “zes” krijgt iets kleiner dan $50$ %. Chevalier de Méré, een Franse gokker, wist dat. Hij dacht nu dat ook de kans is op geen dubbel-zes in een serie van $24$ worpen met twee dobbelstenen iets kleiner is dan $50$ %. Hij redeneerde zo: de kans op dubbel-zes (met twee dobbelstenen) is $6$ keer zo klein als op een enkele zes (met één dobbelsteen). Om de kans op dubbel-zes weer gelijk te krijgen, moet je $6$ keer zo veel worpen doen Met één dobbelsteen moet ik $4$ keer werpen om de kans op geen enkele zes net iets onder de $50$ % te krijgen. Bij twee dobbelstenen moet ik dus 6 × 4 = 24 keer werpen om de kans op dubbel-zes net iets onder de $50$ % te krijgen. Maar in de praktijk bleek dat niet te kloppen. De Méré legde de vraag in het midden van de $17$ de eeuw voor aan Blaise Pascal. Pascal rekende voor hem de kans uit op geen dubbel-zes in $24$ worpen.

a

Reken na dat de kans op geen enkele zes in een serie van vier worpen met een dobbelsteen inderdaad iets kleiner is dan $50$ %

b

Reken na dat de kans op geen enkele dubbel-zes in een serie van $24$ worpen met twee dobbelstenen iets groter is dan $50$ %.