6.8  Met en zonder terugleggen >
1

Van een doos met tien lampen werken er twee niet. Een monteur controleert er drie van de tien. Het pakken van een defect exemplaar noemen we een succes.
De monteur legt elk gecontroleerd exemplaar opzij.

a

Maak een tabel van de kansverdeling van het aantal successen.

Veronderstel nu dat de monteur elk gecontroleerd exemplaar weer terug doet in de doos. (Dat is natuurlijk dom, maar dat doet er nu niet toe.)

b

Maak ook een tabel van de kansverdeling van het aantal successen in dit geval.

2

Dezelfde vragen als in opgave 98, maar nu voor een doos met 1000 lampen waarvan er 200 defect zijn.

3

Bij opgave 99 zijn de verschillen tussen "met terugleggen" en "zonder terugleggen" veel kleiner.

Kun je dat verklaren?

4

Anneke koopt zes appels op de markt. De marktkoopman pakt zes appels uit een kist met twintig appels. In die kist zitten drie rotte exemplaren. Thuis legt Anneke de appels op de fruitschaal en constateert dan eventuele rotte vruchten.

a

Is dit een probleem 'met terugleggen' of 'zonder terugleggen'?

b

Maak een histogram van de kansverdeling van het aantal rotte appels.

c

Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rotte appels dat Anneke heeft gekocht.

5

Anneke koopt op maandag tot en met zaterdag elke dag een appel op de markt. Elke dag heeft de marktkoopman een kist met twintig appels, waarvan er drie rot zijn. Hij pakt elke dag de appel uit die kist. Anneke eet de appel op in de bus naar huis en constateert dan eventueel dat hij rot is. We letten op het aantal rotte exemplaren dat Anneke in een week koopt.

a

Is hier sprake van met of zonder terugleggen?

b

Maak een histogram van de kansverdeling van het aantal rotte appels.

c

Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rotte appels dat Anneke heeft gekocht.

De opgaven 101 en 102 lijken veel op elkaar, maar er zijn ook duidelijke verschillen. De kansverdeling bij opgave 102 is een binomiale kansverdeling, de kansverdeling van opgave 101 noemt men wel een hypergeometrisch kansverdeling.
Deze twee types kansverdelingen worden vergeleken in het computerprogramma Met en Zonder terugleggen (software – Kans en simulatie).
Hiernaast staan tabellen met kansen P ( X = k ) voor het geval n = 100 , p = 20 % en k 6 , links met terugleggen, daarnaast zonder terugleggen. Hieronder staan de bijbehorende histogrammen.

Je ziet dat er maar weinig verschil is tussen met terugleggen en zonder terugleggen. Dan komt door de volgende regel.

Als het aantal trekkingen klein is ten opzichte van de totale populatie (het aantal appels in de kist), dan kun je de kansen zonder terugleggen praktisch berekenen alsof de trekking met terugleggen gebeurt.

Voorbeeld:

Een enquête wordt gehouden onder 100 Nederlanders.
De vraag luidt: "Stemt u bij de komende verkiezingen op een regeringspartij". Eigenlijk is dit een trekking zonder terugleggen. Maar 100 mensen op een totaal van 17 miljoen is zo gering, dat de succeskans (het antwoord is "ja") bij de opvolgende trekkingen nauwelijks verandert.
Je kunt de enquête dus wel als een trekking met terugleggen behandelen.

6

Goedkope DVD's zijn vaak nogal slordig gemaakt. Gemiddeld een op de twintig is ondeugdelijk. Anneke koopt een doosje van tien goedkope DVD's.

a

Hoe groot is de kans dat er hoogstens drie ondeugdelijke DVD's in zitten?

Veronderstel dat er in het doosje inderdaad drie ondeugdelijke exemplaren zitten. Thuis controleert Anneke elk van de DVD's.

b

Bereken de kans dat de eerste vijf DVD's die ze controleert wel allemaal in orde zijn.

c

Maakt het veel verschil of je vraag b met of zonder terugleggen beantwoordt?

7

Een leerling heeft zijn boekentas in het lokaal laten staan. Het is nu pauze. De leerling leent de sleutelbos van een docent om zijn boekentas te halen. Een van de vijf sleutels past, maar de leerling kan niet zien welke dat is. Hij moet ze dus net zo lang proberen tot hij de goede heeft.

Bereken de kans dat de derde sleutel die hij probeert past.

8

Een school telt 854 leerlingen. Er zitten ongeveer evenveel jongens als meisjes op de school. Veronderstel dat jongens en meisjes even vaak te laat komen. Op een ochtend komen er 17 leerlingen te laat.

Bereken de kans dat er 10 of meer jongens bij zijn.