Een multiple-choicetest bestaat uit $20$ vierkeuzevragen. Iemand beantwoordt de vragen volkomen op de gok. We zijn geïnteresseerd in het aantal goede antwoorden $X$ . Dat kan zijn: $0$ , $1$ , $2$ ,...., $20$ . Het is een binomiaal kansexperiment met $20$ herhalingen en met succeskans $0,25$ . De kans op elk van deze $21$ mogelijkheden vind je in de linker tabel hiernaast.

Bepaal met de linker tabel de kans op $3$ of minder goede antwoorden.

De kans op $3$ of minder goede kun je ook direct uit de rechter tabel aflezen.

Doe dat.

Hoe kun je $P (X = 10)$ uit de rechter tabel vinden?

Hieronder staat een kanshistogram voor het aantal goede antwoorden.

In de rechter tabel vind je dat de kans op $5$ of minder goede gelijk is aan $0,6172$ .

Kleur op het werkblad de bijbehorende oppervlakte in het histogram.

In de rechter tabel vind je dat de kans op $6$ of minder goede gelijk is aan $0,7858$ .

Wat is de bijbehorende oppervlakte in het histogram?

We gaan nog even verder met de multiple-choicetest van opgave. We willen weten wat de kans is op meer dan $4$ , maar minder dan $10$ goede antwoorden; dus $5$ , $6$ , $7$ , $8$ of $9$ goede antwoorden.

Bepaal die kans uit de linker tabel.

Bepaal die kans uit de rechter tabel.

Welk van de twee manieren heeft je voorkeur?

Soms kost het meer rekenwerk om met de linker tabel een kans te vinden dan met de rechter tabel. Het omgekeerde komt nooit voor. Daarom werkt men vaak met kansen zoals de rechter tabel. Dat zijn dus niet de kansen op de aantallen successen zelf, maar de kansen op alle mogelijkheden van $0$ tot en met een aantal successen opgeteld. We noemen dat een cumulatieve kanstabel (cumulatief = stapelend).

Een voorbeeld, hoe je met cumulatieve kansen werkt.
Hieronder staat de cumulatieve tabel bij een binomiaal kansexperiment met $6$ herhalingen en succeskans $0,4$ . $X$ is het aantal successen.

k	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$P (X \leq k)$	$0,0467$	$0,0233$	$0,5443$	$0,8208$	$0,9590$	$0,9959$	$1,0000$

Bepaal met de tabel:

$P (X = 4)$ ,
$P (X > 3)$ ,
$P (2 \leq X \leq 5)$ .

Opmerking:

Neem aan: $X$ is binomiaal verdeeld met $n = 11$ (dus $11$ herhalingen). De waarden die $X$ aan kan nemen zijn $0$ , $1$ , $2$ , ..., $10$ , $11$ .
Om binomiale kansen met een cumulatieve tabel te berekenen gebruik je:

Cumulatieve kansen $P (X \leq k | p = \dots; n = \dots)$ bij een binomiaal kansexperiment kun ook met de GR berekenen. Zoek uit hoe dat op jouw machine werkt en bereken hiermee de volgende kansen.
$P (X < 7 | p = 0,15; n = 14)$ ;
$P (1 < X < 4 | p = 0,25; n = 14)$ ;
$P (4 \leq X \leq 7 | p = 0,30; n = 14)$ ;
$P (X \geq 4 | p = 0,40; n = 20)$

We werpen tien keer met een dobbelsteen en letten op het aantal zessen in die tien worpen.
Het experiment tien keer werpen met een dobbelsteen is een binomiaal kansexperiment.

Wat is het aantal herhalingen $n$ ?
Wat is succes?
Wat is de succeskans $p$ ?

$X$ is het aantal keren succes.

Hoe noteer je de kans op drie of meer keer succes? $P (\dots$

Bereken deze kans.

Zo'n 10% van de auto's die over de Nederlandse wegen razen, vertoont technische gebreken. Regelmatig worden door de politie uitgebreide technische keuringen uitgevoerd langs de kant van de autoweg.

Er worden $100$ auto's gecontroleerd.

Hoe groot is de kans dat er bij meer dan dertien auto's gebreken worden geconstateerd?

Gemiddeld $1$ op de $100$ auto's is zo gammel dat hij van de weg wordt gehaald en naar de sloper gaat.

Hoe groot is de kans dat bij $100$ controles er minstens één auto rijp is voor de sloop?

Opmerking:

Op internet zijn ook programma's te vinden waarmee je binomiale kansen kunt berekenen, bijvoorbeeld Binomial Probability Calculator

Uit een vaas met $30$ witte en $20$ blauwe ballen wordt een aantal keren met teruglegging een bal getrokken.

Hoe groot is de kans dat bij $15$ trekkingen de meerderheid van de getrokken ballen blauw is?

Bereken de kans op zes witte ballen als er twaalf ballen getrokken worden.

Bij een eerlijke munt zijn de kansen op "kop" en "munt" gelijk. Je mag dus verwachten dat in ongeveer $50$ % van de worpen "kop" zal worden gegooid. De kans is groot dat het aantal keer kop tussen de $40$ % en $60$ % van het aantal worpen ligt.
We doen $10$ worpen.

Bereken de kans dat het aantal keer "kop" tussen de $40$ % en $60$ % ligt.

Dezelfde vraag voor $20$ worpen, voor $50$ worpen en voor $100$ worpen.

In de voorgaande opgave zie je: hoe groter het aantal worpen, des te groter de kans dat het aantal keer "kop" tussen de $40$ % en $60$ % ligt.

Bij een landelijk onderzoek is gebleken dat $15$ % van alle middelbare scholieren regelmatig spijbelt.

Hoe groot is de kans dat in een havo5-klas van twintig leerlingen er meer dan $4$ zijn die regelmatig spijbelen?

Bij vraag a heb je de binomiale kanstabel gebruikt. Maar hebben we hier wel te doen met een binomiaal kansexperiment?

Waarom is dat twijfelachtig?

In een bedrijf worden schroeven gefabriceerd. Volgens de bedrijfsleider is $5$ % van de productie niet bruikbaar. De slechte exemplaren worden niet verwijderd, omdat de controle daarop te veel geld kost. De schroeven worden in doosjes van $50$ stuks verkocht aan de winkeliers.

Hoe groot is de kans dat een doosje meer dan vier onbruikbare schroeven bevat?

Een winkelier heeft een partij van $500$ doosjes schroeven besteld bij de fabriek.

Hoeveel doosjes met $50$ bruikbare schroeven kan hij daarbij verwachten?

Een docent geeft een multiple-choicetest die bestaat uit twintig vierkeuzevragen.
Stel dat hij voor elk goed beantwoorde vraag een halve punt toekent.

Hoe groot is de kans dat iemand die alle antwoorden gokt als cijfer een $4$ of hoger krijgt?

De docent vindt dat een gokker ten hoogste $1$ % kans mag hebben om een cijfer $4$ of hoger te halen.

Bij welk aantal goede antwoorden moet hij dan het cijfer $4$ toekennen?

Om de kooplust te stimuleren, heeft de winkeliersvereniging "Ons Eigen Belang" besloten een grote decemberactie op poten te zetten. Er wordt een groot aantal envelopjes in omloop gebracht via de deelnemende winkels. In $5$ % van de envelopjes zit een waardebon, goed voor een uitgebreid kerstpakket ter waarde van € $50$ . Nog eens $10$ % bevat een waardebon ter waarde van € 10, vrij te besteden in een van de winkels. De rest van de envelopjes is leeg.
Voor iedere € $25$ aan boodschappen krijgt een klant een envelopje.
Iemand heeft voor $312$ euro boodschappen gedaan.

Hoe groot is de kans dat vier van de gekregen envelopjes een waardebon bevatten?

Hoeveel zullen de winkeliers door deze actie naar schatting kwijt zijn aan prijzengeld per $1000$ euro omzet?

Hernia-operaties worden alleen uitgevoerd als alle andere methoden om de pijnen te bestrijden hebben gefaald. Reden: een operatie heeft maar $70$ % kans van slagen. Mislukt een operatie, dan kan de kwaal daardoor nog verergeren.
In een ziekenhuis worden per maand $18$ hernia-operaties uitgevoerd.

Bereken de kans dat ten minste $80$ % van de operaties zal slagen.

Een bollenkweker uit Hillegom biedt de mogelijkheid om schriftelijk pakketten bloembollen te bestelen. De bestelling wordt na betaling via het eigen postorderbedrijf naar de klant gestuurd. Omdat er ongezien gekocht wordt, garandeert de kweker dat minstens $90$ % van de bestelde bollen tot bloei komt. Als dat niet gebeurt, heeft de klant recht op een gratis pakket van dezelfde samenstelling.
Veronderstel dat de kweker met de kwaliteitsgarantie bedoelt dat iedere afzonderlijke bol een bloeikans van $90$ % heeft.
Je koopt een pakket van $20$ bollen.

Hoe waarschijnlijk is het dat ten minste $90$ 0% van de bollen in bloei komt

Hoe groot is de kans op een gratis nieuw pakket, als je een pakket van $50$ bollen koopt?

In de vorige opgave heb je gezien dat een bloeigarantie van $90$ % niet slim is, als de bloeikans van een individuele bol ook $90$ % is. Stel nu dat de bloeikans per bol $95$ % is.

Bereken de kans dat een pakket van $20$ stuks niet aan de $90$ %-garantie voldoet.

Per jaar worden door de kweker ongeveer $1000$ pakketten van $20$ stuks verkocht en $1500$ pakketten van $50$ stuks. Van de klanten die recht hebben op een gratis nieuw pakket, maakt zo'n $60$ % gebruik van de garantiebepalingen.

Hoeveel pakketten van iedere soort zal de kweker achter de hand moeten houden om aan zijn garantieverplichtingen te kunnen voldoen?

Een foto wordt naar de aarde overgeseind door middel van een binaire code. Daartoe wordt een opname eerst met verticale en horizontale lijnen verdeeld in een groot aantal vierkantjes. Van elk afzonderlijk vierkantje wordt de zwartingsgraad gemeten en uitgedrukt op een schaal van $0$ (= volledig wit) tot $15$ (= volledig zwart). Zo kunnen $16$ verschillende grijstinten worden onderscheiden. De grijstint van elk vierkantje wordt, als binair codewoord van lengte vier, overgeseind naar de aarde. De $16$ gebruikte codewoorden staan hiernaast.
Bij het overseinen kunnen onderweg storingen optreden, waardoor op aarde een andere code wordt ontvangen dan door de Voyager 2 is verstuurd. Veronderstel dat de kans op een verstoord symbool $5$ % is; dat wil zeggen dat een "0" als "1" wordt ontvangen of omgekeerd.
De Voyager verzendt het codewoord $1111$ (= zwart).

Hoe groot is de kans dat op aarde wordt ontvangen als $0101$ ( $=$ tamelijk lichtgrijs)?

Bereken de kans dat het codewoord goed ontvangen wordt.

Bereken de kans dat precies een van de vier enen verkeerd ontvangen wordt.

Een complete foto is opgebouwd uit ongeveer $10.000$ vierkantjes.

Toon aan dat zo ongeveer $1855$ vierkantjes verkeerd ontvangen worden (dat is dus $19$ %).

In 1977 werd de Voyager 2 gelanceerd voor een reis langs de planeten. Ruim twaalf jaar later (augustus 1989) passeerde hij Triton, een van de manen van Neptunus, en stuurde o.a. deze foto van Triton naar de aarde.

Een klein stukje Mars, een foto van de Mariner. De afwijkend getinte puntjes zijn fouten. De grote rots boven in het midden is ongeveer 1,5 km breed.

We gaan verder met het overzenden van foto's naar de aarde via een binaire code. Omdat het foutpercentage zo groot is, is de foto vrijwel waardeloos. Men probeert dus het foutpercentage te verkleinen. We bekijken daarvoor een methode: elk symbool wordt drie keer achter elkaar overgeseind. Het codewoord $0101$ wordt dus verstuurd als $000111000111$ . Dit kan op aarde bijvoorbeeld ontvangen worden als $100101000110$ (er zijn dus drie fouten opgetreden). In elk groepje van drie bepaalt het symbool wat het meest voorkomt, welk symbool is bedoeld. Dus $100$ wordt geïnterpreteerd als $0$ , $000$ als $0$ , $101$ als $1$ , $000$ als $0$ en $110$ als $1$ ; het codewoord wordt dus gelezen als $0101$ , precies wat ook was verstuurd

Laat zien dat de kans dat een symbool goed overkomt op aarde $0,9928$ is.

Hoe groot is de kans dat een codewoord van lengte $4$ (overgeseind als $12$ symbolen) goed overkomt op aarde?

Waarom wordt een symbool drie keer achter elkaar overgeseind en niet twee of vier keer?

Ais een symbool vijf of meer keer achter elkaar wordt overgeseind, is de kans op een goede ontvangst natuurlijk nog groter. Wat het originele symbool was, wordt aangewezen door de meerderheid van de vijf ontvangen symbolen.

Wat is dan de kans dat een symbool goed overkomt?

Wat is dan de kans dat een codewoord van lengte $4$ helemaal goed overkomt?

Wat is het nadeel van “vijf keer herhalen” ten opzichte van "drie keer herhalen"?