6.3 z-waarde >

Hoofdstukken > Kansen_2

Jan komt thuis en vertelt dat hij een 8 voor zijn proefwerk heeft gehaald. “Mooi”, zegt zijn vader, “maar wat was het gemiddelde van de klas?” “Dat was een 6” antwoordt Jan triomfantelijk.
Of de 8 die Jan haalde voor het proefwerk een uitzonderlijk goed cijfer was, hangt blijkbaar (volgens Jans vader) af van het gemiddelde. Dat lijkt logisch. Immers als het gemiddelde cijfer van de klas een 9 is, dan is een 8 niet uitzonderlijk goed (misschien zelfs slecht). Maar ook als het gemiddelde cijfer een 6 is, hoeft een 8 niet uitzonderlijk goed te zijn. Kijk maar naar de volgende drie groepen.
· groep 1 (6 leerlingen): cijfers: 3, 4, 4, 8, 8, 9
· groep 2 (8 leerlingen): cijfers: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 9, 10
· groep 3 (7 leerlingen): cijfers: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8

In welke groep(en) vind je een 8 een uitzonderlijk goede prestatie? Waarom?

Gemiddeld bedraagt de temperatuur in De Bilt in de maand juli $16,6$ °C. In 1983 was de gemiddelde juli-temperatuur in De Bilt $20,1$ °C.

Is dat uitzonderlijk hoog? Wat denk jij?

Anneke simuleert op de computer het gooien met een dobbelsteen. De computer “gooit” $1000$ keer met een dobbelsteen. Ze verwacht ongeveer $167$ keer zes ogen te krijgen, met een standaardafwijking van $12$ . Bij de simulatie krijgt ze $150$ keer zes ogen.

Is dit uitzonderlijk weinig? Wat vind jij?

De consumentenbond controleert $10$ kilopakken suiker. Gemiddeld behoren de pakken $1000$ gram te bevatten.
In de steekproef bleken acht pakken minder dan $1000$ gram te bevatten.

Vind jij dit uitzonderlijk?

Bekijk de volgende twee normale verdelingen, beide met gemiddelde 100. De SD rechts is twee keer zo groot als de SD links.

Bij welke verdeling vind jij de waarde $8$ het meest uitzonderlijk? Waarom?

Welke waarde vind jij het meest uitzonderlijk, de $8$ links of de $10$ rechts?

Vaak is het lastig om, zo op het oog, te beoordelen of een waarneming uitzonderlijk is. Daarom gebruiken we een methode.
Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking. Kijk hoeveel SD’s de waarneming boven (onder) het gemiddelde ligt. Hoe hoger dit aantal SD’s, des te uitzonderlijker is de waarneming.

De SD links is $0,8$ en rechts $1,6$ . B

ereken voor beide verdelingen hoeveel keer de SD de waarde $8$ boven het gemiddelde ligt.

Bereken hoeveel keer de SD de waarde $10$ rechts boven het gemiddelde ligt.

Het aantal keer de SD dat een waarneming afwijkt van het gemiddelde, noemen we de $z$ -waarde van die waarneming.

$z - waarde = \frac{waarneming - gemiddelde}{SD}$

Voorbeeld:

Van een normale verdeling is het gemiddelde $μ = 16,6$ en de standaardafwijking $σ = 1,4$ .
Dan is de $z$ -waarde van $20,1$ is: $\frac{20,1 - 16,6}{1,4} = 2,5$ .
De $z$ -waarde van $15$ is $\frac{15 - 16,6}{1,4} \approx ‐ 1,14$

Van een normale verdeling is gegeven: $μ = 12,1$ en $σ = 0,8$

Bereken in twee decimalen de $z$ -waaarde van $11$ en van $13,5$

Welke waarnemingen hebben een negatieve $z$ -waarde?

Van welke waarneming is de $z$ -waarde $‐ 1,7$ ?

We bekijken de lengten in twee groepen: $16$ -jarige jongens en $16$ -jarige meisjes. Bij de jongens is de gemiddelde lengte $176$ cm en de SD $12$ cm. Bij de meisjes is de gemiddelde lengte $164$ cm en de SD $10$ cm.
Een jongen en een meisje uit deze groepen krijgen verkering. Ze zijn beiden erg lang: de jongen $196$ en het meisje $186$ .

Bereken de $z$ -waarde van de lengte van de jongen en van de lengte van het meisje om te bepalen wie van de twee de grootste uitschieter is qua lengte binnen zijn/haar groep.

Hoe lang is een meisje dat een $z$ -waarde heeft van $0$ ?

Hoe lang is een meisje dat een $z$ -waarde heeft van $‐ 1,6$ ?

In paragraaf 1 hebben we al opgemerkt dat een normale verdeling twee parameters heeft: het gemiddelde $μ$ en de standaardafwijking $σ$ . Voor $μ$ en $σ$ kun je in principe elke (positieve) waarde nemen. Bij de speciale keuze: $μ = 0$ en $σ = 1$ krijgen we de standaardnormale verdeling.

Hieronder is drie keer de standaardnormale kromme getekend. In elk van de plaatjes is een gebied met grijs aangegeven; de oppervlakte van het gebied is erbij geschreven.

Controleer met de GR de oppervlakten van de drie gebieden.

We vergelijken drie normale verdelingen.

Ga na dat de plaatjes bij de gegeven gemiddelden en standaardafwijkingen passen.

We bekijken bij elk van de drie verdelingen de oppervlakte tussen twee waarden.

Ga na dat de grenzen bij de drie verdelingen met elkaar overeenstemmen.

Als $x$ een waarneming bij $X$ is, dan is $\frac{x - 10}{2}$ zijn $z$ -waarde.

Bereken met de GR (of GeoGebra) hoeveel procent bij de eerste verdeling tussen $8,6$ en $12,6$ ligt.

Bereken met de GR (of GeoGebra) hoeveel procent bij de tweede verdeling tussen $‐ 1,4$ en $12,6$ ligt.

Bereken met de GR (of GeoGebra) hoeveel procent bij de derde verdeling tussen $‐ 0,7$ en $6,3$ ligt.

Als $X$ normaal verdeeld is met gemiddelde $μ = 10$ en standaardafwijking $σ = 2$ , dan is $\frac{X - 10}{2}$ standaardnormaal verdeeld (dus met gemiddelde $μ = 0$ en $σ = 1$ ).

Hieronder staat vier keer een plaatje van de standaardnormale verdeling.

Bereken de oppervlakte van de grijze stukken.

Hieronder is vier keer een deel onder de standaardnormale kromme gekleurd.

Bepaal in elk van de gevallen welke $z$ -waarde het best past.

Bij oppervlakten tussen twee $z$ -waarden lukt het terugzoeken meestal niet.

In het linkerplaatje liggen de linker- en rechtergrens even ver van het midden. Bij het rechter plaatje is dat niet zo.

Bepaal de $z$ -waarden in het linker plaatje.

Kun je de $z$ -waarden ook in het rechter plaatje bepalen?

De reistijd van A naar B is normaal verdeeld met gemiddelde $56$ minuten en standaardafwijking $8$ minuten.
De reistijd van B naar A is normaal verdeeld met gemiddelde $42$ minuten en standaardafwijking $6$ minuten.

Leg uit dat een reistijd van A naar B boven de $60$ minuten even uitzonderlijk is als een reistijd van B naar A boven de $45$ minuten, zonder GR.

In hoeveel procent van de reizen van A naar B duurt de reistijd langer dan $60$ minuten?

In de volgende plaatjes is de oppervlakte onder de standaardnormale kromme verdeeld in twee, in drie, in vier en in vijf gelijke stukken.

Welke waarden horen bij de verdeelpunten (gemarkeerd door de vraagtekens)?