6.2 Het bord van Galton >

Hoofdstukken > Kansen_2

Hieronder staat schematisch het bord van Galton. Een balletje wordt boven in de trechter losgelaten en valt over de pinnen naar beneden. De pinnen zijn zo geplaatst dat, als een balletje op zo’n pin komt, het met even grote kans naar links als naar rechts valt. Na 10 keer een pin geraakt te hebben, komt het balletje in een van de elf bakjes onderaan het bord. De bakjes zijn genummerd -5 tot en met 5.

Een balletje legt de route LRLLRRLLLL af.

Laat zien dat dat balletje in bakje -2 komt.

Er zijn nog andere routes die naar bakje -2 leiden. Je hoeft die routes niet allemaal op te schrijven.

Zeg hoe je aan een rijtje L’en en R’en kunt zien of het balletje in bakje -2 komt.

Een balletje raakt op zijn weg naar beneden de derde pin van links op de zevende rij.

In welke bakjes kan het balletje dan nog terecht komen?

Bij één enkel balletje valt absoluut niet te voorspellen welke route het zal volgen. Alle routes zijn namelijk even (on)waarschijnlijk.

Mag je daaruit concluderen dat in elk bakje ongeveer evenveel balletjes terecht zullen komen?

Met het programma Bord van Galton in Kansrekenen.. te downloaden via de Belgische site vusoft kun je zelf het bord van Galton simuleren.

Maak een aantal simulaties.

Hieronder zie je het resultaat van een simulatie op een Galtonbord met $10$ rijen. Men liet $10$ balletjes naar beneden vallen.

Op grond van deze simulatie schatten we de kans dat een balletje in bakje -2 komt op $\frac{1}{10}$ .
Bij $1000$ balletjes was het resultaat:

Op grond van deze simulatie schatten we de kans dat een balletje in bakje -2 terecht komt op $\frac{132}{1000}$ . Waarom is dit waarschijnlijk een betere schatting dan de eerdere schatting $\frac{1}{10}$ ?

Bij de simulatie met $1000$ balletjes in opgave 25 kan een histogram gemaakt worden.

Bij iedere simulatie ontstaan soortgelijke histogrammen.
De klokvorm is goed herkenbaar.

Bereken bij de simulatie van opgave 25 met $1000$ balletjes het gemiddelde van de nummers van de bakjes waarin de balletjes terecht komen.

Bereken met de vuistregels van de normale verdeling hoe groot de SD ongeveer is.

Als we $1000$ balletjes in de trechter werpen, verwachten we theoretisch dat op de eerste pin $500$ balletjes naar links zullen vallen en $500$ balletjes naar rechts. Op de tweede rij verwachten we van links naar rechts $250$ , $500$ en $250$ balletjes.

Welke verdeling verwacht je op de volgende twee rijen?

Het is voor dit rekenwerk handiger om met 1024 balletjes te werken, dan met $1000$ .

Waarom?

We laten $1024$ balletjes vallen.

Welke aantallen verwacht je in de laatste regel?

Zoals gezegd, is van een enkel balletje onvoorspelbaar welke route het zal volgen over het bord. Bij een groot aantal balletjes zal er toch een zekere verdeling optreden: er komen veel balletjes in het midden en weinig in de buitenste bakjes. Dat komt doordat er meer wegen zijn naar de middelste bakjes dan naar de buitenste. En het aantal wegen wordt precies gegeven door de driehoek van Pascal.

Zoals je in het hoofdstuk Kansen_1 gezien hebt, staat in bijvoorbeeld in rij 10 op plaats 3 het combinatiegetal $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ .

We laten $1024$ balletjes vallen, zoals in de vorige opgave.

Bereken de kans dat een balletje in bakje -2 komt.

Bereken de kans dat een balletje in een van de middelste vijf bakjes komt.

Op de vierde rij van het bord van Galton staan vijf pinnen..

Geef voor elk van die pinnen de kans dat een balletje erop komt

Op de zevende rij van het bord van Galton staan acht pinnen.

Wat is de kans dat een balletje op de derde pin van links komt

We kijken naar Galtonborden met een even aantal rijen (inclusief de rij 0). Dan zijn er een oneven aantal bakjes onderaan. Het middelste bakje krijgt nummer 0. Naar rechts loopt het nummer steeds met 1 op, naar links steeds met 1 af.
(Voor borden met een oneven aantal rijen kan het volgende ook wel gedaan worden, maar dat is lastiger te formuleren.)
Dan krijg je de volgende histogrammen.

Het is lastig om uit deze histogrammen precieze kansen af te lezen. Voor precieze kansen kunnen we beter naar een bord van Galton of naar de driehoek van Pascal kijken.

Hoe hoog is de balk van het histogram bij $8$ rijen van bakje -2 precies?

De normale kromme wordt steeds duidelijker zichtbaar als het aantal rijen op het bord van Galton groter wordt. Het gemiddelde is steeds $0$ .
De SD bij een bord met $n$ rijen is $\frac{1}{2} \sqrt{n}$ .
Dus 68% van de ballen zal in een bakje komen met nummer groter dan $\frac{1}{2} \sqrt{n}$ of kleiner dan $‐ \frac{1}{2} \sqrt{n}$ .

Bereken de standaardafwijking met behulp van de formule SD $= \frac{1}{2} \sqrt{n}$ bij $40$ rijen en bij $80$ rijen in vier decimalen.

Teken op het werkblad een gladde kromme over de histogrammen bij $40$ en bij $80$ rijen.

Controleer of de buigpunten van de krommen (zo ongeveer) op afstand SD van het gemiddelde liggen.

Bij $16$ rijen en $64$ rijen is de verdeling als volgt.
De SD bij $64$ rijen is twee keer zo groot als bij $16$ rijen. De top bij $64$ rijen is juist twee keer zo laag als bij $16$ rijen.

Leg uit dat deze twee dingen met elkaar kloppen.

Controleer of iets dergelijks ook geldt voor de verdelingen bij $20$ en bij $80$ rijen.

Met het computerprogramma Binomiaal of Normaal kun je de resultaten van een Galtonbord vergelijken met een normale verdeling. Je vindt dat programma op bij de www.wageningse-methode.nl/ Kies software / Kans.

Het bord van Galton staat als het ware model voor de normale verdelingen. Bij een bord met $20$ rijen pinnen wordt een balletje $20$ keer naar rechts (+) of naar links (-) gestuurd. Wanneer het aantal plussen precies opweegt tegen het aantal minnen, komt het balletje in het middelste bakje terecht. In alle andere gevallen krijgt het een afwijking ten opzichte van het midden. Hoe groter de afwijking, des te kleiner is de kans daarop.
Bekijk de lengte van een volwassen mens. Een mens groeit vanaf de bevruchting tot ongeveer zijn negentiende levensjaar. De groei wordt door allerlei factoren versterkt (+) of geremd (-). In veel gevallen speelt het toeval daarbij een rol. Al die (toevals)factoren tezamen bepalen het uiteindelijke resultaat: de lengte van de volgroeide mens.
Op deze manier bezien is de groei van een individu vergelijkbaar met de route die een balletje volgt over het bord van Galton. Zo lijkt de lengteverdeling van bijvoorbeeld Nederlandse mannen op de verdeling van een groot aantal balletjes over de bakjes van een bord van Galton.

Noem eens een aantal factoren die invloed hebben op de groei van een mens.

Kun je daarbij spreken van toevalsfactoren?

Het bovenstaande is niet alleen van toepassing op de lengtegroei van de mens, maar geldt ook voor allerlei groeiprocessen in de natuur en voor bijvoorbeeld het vulproces van pakken suiker.
In het algemeen geldt: als het verloop van een of ander proces beïnvloed wordt door een groot aantal (onafhankelijke) toevalsfactoren, is het eindresultaat van dat proces bij benadering normaal verdeeld.