1

Kettingbrieven
Kettingbrieven komen regelmatig in het nieuws. Daarbij gaat het niet om de onschuldige vorm met ansichtkaarten. Een wettelijk verboden variant werkt met geld. Onderstaand artikel was bedoeld om de Nederlandse bevolking tegen dit soort kettingbrief te waarschuwen.

a

Ga na wat de ‘spelregels’ voor deze kettingbrief zijn.

b

Controleer de getallen ƒ $800.000$ en $4096$ die in het artikel genoemd worden.

c

Wat voor soort kettingbrieven zijn er zoal in omloop?

d

Leg uit wat een kettingbrief is.

2

Anneke doet een serie worpen met een dobbelsteen en telt de geworpen aantallen ogen op. We letten op het aantal worpen dat Anneke nodig heeft om aan een totaal van $30$ of meer ogen te komen.

Simuleer dit spel een flink aantal keer. Kies zelf een manier hoe dat te doen. Noteer bij elke keer hoeveel worpen je nodig hebt om de $30$ ogen of meer te bereiken.
Hoe groot schat jij op grond van je simulatie het aantal worpen dat Anneke gemiddeld nodig heeft per keer spelen?

3

Twee even sterke tennissers spelen een wedstrijd volgens best of five. Dat wil zeggen, degene die het drie sets gewonnen heeft, is winnaar van de wedstrijd. We nemen aan dat voor beiden en voor elke set de kans $\frac{1}{2}$ is om hem te winnen.

a

Bepaal de verwachtingswaarde van het aantal sets dat de wedstrijd duurt.

b

Bepaal de kans dat degene die de eerste set wint ook de wedstrijd wint.

4

Het doen van een bloedtest is kostbaar. Onderzoeken uit het verleden leren ons dat het bloed van $95$ % van de onderzochte personen in orde is. In plaats van één bloedtest per persoon, is het ziekenhuis overgestapt op een bloedtest van tien personen tegelijk. Men neemt van ieder van de tien personen een beetje van het bloedmonster en doet die beetjes bij elkaar. Daarmee voert men de test uit. Het bloed kan in orde blijken te zijn en het kan niet in orde blijken te zijn.

a

Bespreek de voor- en nadelen van deze aanpak.

b

Bereken de kans dat het bloed van $10$ personen in orde is.

Bij deze aanpak heeft men voor een groep van tien personen of $1$ test nodig, of $11$ testen.

c

Bereken het gemiddeld aantal testen dat men voor een groep van tien personen nodig heeft.

Iedere test kost € $25$ . In het oude systeem (één test per persoon) waren de kosten voor een groep van tien dus € $250$ .

d

Is het nieuwe systeem naar verwachting goedkoper?

5

Moet je als patiënt in paniek raken als de dokter je vertelt dat een of andere medische test positief is uitgevallen?
“Positief” wil zeggen dat de test aangeeft dat de onderzochte persoon de ziekte heeft (terecht of niet).
Stel dat een test die een bepaalde ziekte moet aantonen in $98$ % van de gevallen correct werkt en in 2% van de gevallen een verkeerde uitslag geeft. En stel dat $1$ op de $200$ mensen deze ziekte heeft.
We bekijken een groep van $10.000$ mensen. Hiervan zullen er dus $50$ naar verwachting de ziekte hebben.

a

Teken een stroomdiagram waarbij een groep van $10.000$ mensen wordt onderzocht.

(hint)

Maak een splitsing in “patiënt heeft ziekte” of “patiënt heeft ziekte niet” en maak een splitsing in “positieve uitslag” of “negatieve uitslag”.

b

Hoeveel positieve uitslagen verwacht je?

c

Hoe groot is de kans dat je de ziekte hebt als de testuitslag positief is?

6

Postcode
Om het automatisch sorteren van post mogelijk te maken, is destijds de postcode ingevoerd. Ieder adres in Nederland is gecodeerd met vier cijfers en twee letters.

a

Zoek uit hoe het postcodesysteem in Nederland in elkaar zit.

b

Wat is het maximale aantal adressen dat met de postcode in Nederland kan worden aangeduid?

7

We spelen een spel met vier enveloppen. In twee enveloppen zit een briefje van $10$ euro, in één envelop zit een briefje van $50$ euro en één envelop is leeg.
Iemand kiest een envelop en maakt die open. Hij mag de inhoud houden. Maar als de envelop leeg blijkt te zijn is het spel afgelopen. Anders neemt hij een volgende envelop. Enzovoort.

a

Bereken de kans dat hij achtereenvolgens $10$ , $50$ en $0$ euro pakt.

b

Bereken de kans dat hij na de tweede envelop moet stoppen.

c

Bereken de verwachtingswaarde van het totale bedrag dat hij pakt.

8

Een leraar verloot een taart in een klas van $25$ leerlingen. In een zak doet hij $25$ lootjes. Op één lot heeft hij de taart getekend; dit is het winnende lot. Elke leerling trekt een lootje uit de zak. De leraar begint vooraan in de klas, bij Henk. Diederik zit achterin. Diederik twijfelt of hij wel evenveel kans op de taart heeft als Henk.

a

Is Diederiks kans op de taart kleiner dan Henks kans, denk je?

Stel dat een taart verloot wordt onder maar twee leerlingen. Henk trekt als eerste een lootje, Diederik als tweede.

b

Wie heeft dan de meeste kans?

c

En hoe zit het bij drie leerlingen?

9

Prinses Ariana is het derde kind van Willem Alexander en Maxima. Voor haar geboorte stond het bericht hiernaast op de koningshuissite van 3 april 2007.
Je kunt redeneren:
De eerste twee kinderen zijn meisjes, dus zal het derde kind ook wel een meisje worden.
- De eerste twee kinderen zijn meisjes, dus waarschijnlijk wordt het nu een jongen.
- De meeste Nederlanders denken dat het een jongen wordt. Dus dat heeft meer kans.

Wat vind jij?

10

In Spanje gokt men als in geen ander land. Gemiddeld geeft een Spanjaard (kinderen meegerekend) meer dan duizend euro per jaar uit aan loterijen. El Niño (het kind) is een van de twee grote loterijen rond kerst. De trekkingen worden in urenlange uitzendingen op de tv getoond. In 1994 en in 1996 viel de hoofdprijs in het bergdorpje Sort: $17$ miljard peseta’s. Sort is het Catalaanse woord voor geluk. Iedereen hoopt nu dat het wonder zich in Sort zal herhalen; er is een stormloop op het plaatselijke loterijkantoor: iedereen wil loten kopen in Sort.
Iemand redeneert als volgt: “Als er veel loten in Sort verkocht worden, vergroot dat automatisch de kans op een winnend lot in Sort. En dat draagt weer bij aan de mythe van Sort. Dus kun je het beste loten in dat dorp kopen."

Wat vind je van deze redenering?

11

Mendel (1822-1884) legde de basis voor de genetica. Tijdens zijn leven werden zijn resultaten nauwelijks begrepen. Hij werd gepromoveerd naar een managementfunctie en ten slotte abt van zijn klooster. Pas in het begin van de twintigste eeuw vonden zijn resultaten erkenning

Als je twee raszuivere groene erwten kruist, krijg je $100$ % raszuivere groene nakomelingen. Als je twee raszuivere gele erwten kruist, krijg je $100$ % raszuivere gele nakomelingen. Wat gebeurt er nu als je een raszuivere groene erwt kruist met een raszuivere gele erwt? De nakomelingen zijn dan allemaal geel, maar niet raszuiver! Dat blijkt uit de tweede nakomelingen (de nakomelingen van de nakomelingen); daar zijn zowel groene als gele exemplaren bij. Wel zijn er meer gele dan groene.

De Tsjechische monnik Gregor Mendel deed uitgebreide experimenten met erwten. Hij bestudeerde de overerving van zeven verschillende eigenschappen. Dat waren: vorm en kleur van de zaden, vorm en kleur van de bloemen, vorm en kleur van de peulen, lengte van de stengels. De tweede nakomelingen telden $6022$ exemplaren met gele zaden en $2001$ met groene zaden.

Uit: De DNA-makers, Natuur en Techniek

a

Ga na dat de verhouding tussen de aantallen met gele zaden en met groene zaden ongeveer $3$ : $1$ is.

b

Hoe is die verhouding bij elk van de andere zes eigenschappen ongeveer?

c

Is het niet verontrustend dat bij geen van de zeven eigenschappen die Mendel onderzocht deze mooie verhouding precies uitkwam?

12

Lotto
Je kunt tegenwoordig de lotto ook elke dag spelen. De speelmogelijkheden zijn daarbij aangepast.

a

Onderzoek wat de mogelijkheden zijn.

Je kunt gigantische bedragen winnen. Toch wordt lang niet het hele bedrag dat is ingelegd uitgekeerd.

b

Hoeveel procent wordt uitgekeerd?
Wat gebeurt er met de rest van de inleg?

c

Bereken de kans dat op een zaterdagavond de jackpot valt.

d

Hoe groot is de kans dat de jackpot groter dan $25$ miljoen wordt?

13

De kans op 6 en 7 ogen met twee dobbelstenen
In het boekje Rekeningh in Spelen van Geluck van Christaan Huygens (1652) staat het volgende voorbeeld.
A en B spelen een dobbelspel. Om beurten werpen ze met twee dobbelstenen; A begint. A moet met de twee dobbelstenen samen $6$ 6 ogen gooien en B moet er samen $7$ ogen mee gooien. Wie het eerst slaagt, heeft gewonnen. De kansen om te winnen blijken voor beiden ongeveer gelijk te zijn.

a

Wat is het voordeel voor speler A?
Wat is het voordeel voor speler B?

b

Bereken de kans dat A meteen de eerste keer slaagt. Bereken de kans dat A de eerste keer niet slaagt en B daarna wel.

c

Bereken de kans dat het spel na vijf keer werpen (drie keer door A en twee keer door B) nog niet is afgelopen.

Huygens berekende de kansen voor A en B om het dobbelspel te winnen: A heeft kans $\frac{30}{61}$ , B heeft kans $\frac{31}{61}$ .
We leggen hier niet uit hoe Huygens deze kansen heeft berekend.

14

Twee zessen met twaalf dobbelstenen
Samual Pepys legde het volgende probleem voor aan lsaac Newton.
Twee mensen spelen een dobbelspel. De een heeft opdracht minstens één zes te gooien met zes dobbelstenen. De andere heeft opdracht minstens twee zessen te gooien met twaalf dobbelstenen.

Wie heeft het meeste kans zijn opdracht uit te voeren?
Newton loste dit probleem op in 1693.

15

Nicolaus Bernoulli (1687-1759)

De Petersburgse paradox
Een munt wordt net zo lang opgegooid totdat hij op kop valt. Als dat meteen de eerste keer gebeurt, betaalt de bank hem $1$ euro. Als dat voor het eerst de tweede keer gebeurt, betaalt de bank hem $2$ euro. Als dat voor het eerst de derde keer gebeurt, betaalt de bank hem $4$ euro. Enzovoort: de vierde keer $8$ euro, de vijfde keer $16$ euro, ...; elke volgende keer het dubbele bedrag.

Als het spel heel vaak gespeeld zal worden, welk bedrag zal de bank dan naar verwachting gemiddeld per spel uitbetalen?
Dit gokprobleem is voor het eerst geformuleerd door Nicolaus Bernoulli in 1713 en is later in een wetenschappelijke tijdschrift in Sint Petersburg gepubliceerd, vandaar de naam.