5.1 De onzekere toekomst >

Hoofdstukken > Kansen_1

Dagelijks heb je te maken met onzekerheden. Gaat het vandaag regenen? Zijn er leraren ziek? Gaat Ajax winnen vanavond? Van deze dingen weet je niet precies hoe groot de kans is dat ze zullen gebeuren. Wel weet je vaak hoe groot die kans ongeveer is. Ofschoon anderen die kans wel eens heel anders zouden kunnen inschatten.

Hoe groot schat jij de kans op de volgende gebeurtenissen? Geef de kans als percentage tussen $0$ % en $100$ %.

Het Nederlandse voetbalelftal wordt wereldkampioen bij de eerstvolgende gelegenheid.

Volgende week valt er geen regen op het schoolplein.

Volgende schoolweek vallen er voor jou drie of meer lessen uit wegens ziekte van docenten.

Volgende week gebeurt er een ernstig vliegtuigongeluk in West-Europa.

Volgend jaar wint een Nederlander de Nobelprijs voor literatuur.

Volgend jaar wordt er een elfstedentocht verreden.

Schatten van kansen is een hachelijke zaak. Je gevoel kan je behoorlijk in de steek laten. Een pessimist zal een kans op een ernstig ongeluk groter inschatten dan een optimist. Een gokker zal de kans op de hoofdprijs in een loterij vaak hoger inschatten dan iemand die op zekerheid speelt. Het schatten van zulke kansen is dus subjectief.

"De crashkans bij Schiphol is eens in de $14,5$ jaar” stond er in Trouw van 10 maart 1993. Dat was vlak na de Bijlmerramp. Neem aan dat Trouw het bij het rechte eind heeft.

Hoe groot is dan de kans dat er volgend jaar een crash bij Schiphol plaatsvindt?

De kans dat bij de lotto de jackpot valt (iemand heeft alles goed voorspeld) is ongeveer $40$ %. Elke week wordt één keer de lotto gespeeld.

Hoeveel keer per jaar mag je verwachten dat de jackpot valt?

Kans op zon is morgen $40$ %.

Wat betekent dat, denk je?

Kans op regen is morgen $40$ %.

Wat betekent dat, denk je?

We drukken de kans uit in een percentage tussen 0% en 100%, of in een breuk tussen 0 en 1. Hieronder staan kansen op beide manieren op een getallenlijn.

Meestal maakt het niet uit welke manier je kiest om een kans weer te geven. Bijvoorbeeld: kans $75$ % of kans $\frac{3}{4}$ . Soms is het gemakkelijker een kans met een breuk aan te geven dan door een percentage.

De kans dat een Nederlander in het weekend (zaterdag of zondag) geboren is, is $\frac{2}{7}$ .

Schrijf deze kans als percentage.

De kans dat je met een zuivere dobbelsteen $2$ ogen gooit, is $\frac{1}{6}$ .

Schrijf deze kans als percentage.

De kans dat een gezin met drie kinderen bestaat uit $2$ jongens en $1$ meisje is $37 \frac{1}{2}$ %.

Schrijf dit percentage als breuk.

Wat heeft je voorkeur, een breuk of een percentage?

Vliegtuigen landen nogal eens met vertraging op een luchthaven. Dat heeft meestal te maken met een tekort aan landingsbanen. Zo’n vertraging kan oplopen tot meer dan tien minuten.
Bekijk de kansen in het plaatje hieronder.

Je kunt eruit aflezen dat $13$ % van de landingen meer dan $2$ maar minder dan $4$ minuten te laat plaatsvindt. $3$ % van de vliegtuigen landen zelf meer dan $16$ minuten te laat.

Van hoeveel procent van de landingen is de vertraging tussen $4$ en $10$ minuten?

De vluchten zonder vertraging zijn niet in het plaatje weergegeven.

Hoeveel procent is dat?

Elke dag landen er zo’n $400$ passagiersvliegtuigen.

Hoeveel daarvan hebben een vertraging van $6$ minuten of meer, verwacht je?

In de tabel staan alle uitslagen van de eredivisie van het vaderlandse voetbal in 2006/2007 (van de website van de KNVB).

Anneke heeft helemaal geen verstand van voetbal maar wel van kansrekening. $155$ wedstrijden werden gewonnen door de thuisclub, $82$ werden gewonnen door de uitspelende club en de overige $69$ eindigden in een gelijkspel.
Uitgaande van de tabel maakt Anneke een schatting van de kans op een gelijkspel.

Hoe groot schat zij die kans?

Bepaal met behulp van de uitslagentabel hoe groot Anneke de kans schat op de uitslag 0-0 voor een wedstrijd in de eredivisie.

Kans in de praktijk
Als in $15$ van de $123$ gevallen zich iets voordoet, zeggen we dat de kans op dat iets $\frac{15}{123}$ is.
Vaak is zo'n kans gebaseerd op waarnemingen: men heeft dat iets $15$ maal geconstateerd. Als het totaal aantal gevallen niet $123$ , maar een klein aantal is, kun je niet zinvol een uitspraak doen. Als bijvoorbeeld een vrouw drie kinderen heeft gekregen en het waren alledrie meisjes, en de vrouw is weer in verwachting, dan kun je niet zeggen dat de kans dat het een meisje wordt $100$ % is.

Een kikker springt over de hieronder getekende tegelvloeren alsof zijn leven ervan afhangt. De kikker is chaotisch: soms maakt hij een kleine sprong, dan weer een grote. We nemen aan dat de kikker alle tegels van de vloer even vaak aandoet.

Geef bij elke vloer hoe groot de kans is dat de kikker op een zeker moment op een blauwe tegel zit.

Anneke werpt met twee dobbelstenen, een rode en een blauwe. We kunnen de zesendertig verschillende worpen aangeven in een vierkant. Voorbeeld: bij het hokje waar een * in staat hoort de worp “ $2$ ogen met de rode en $4$ ogen met de blauwe dobbelsteen”. De zesendertig worpen hebben allemaal dezelfde kans, namelijk kans $\frac{1}{36}$ .
Bepaal de volgende kansen dat Anneke:

met de rode dobbelsteen hoger werpt dan met de blauwe,

met de rode en blauwe dobbelsteen evenveel ogen werpt,

met de rode dobbelsteen $2$ ogen meer werpt dan de blauwe,

met beide dobbelstenen een even aantal ogen werpt,

met minstens één dobbelsteen $6$ ogen werpt,

met de rode en de blauwe dobbelsteen samen $6$ ogen werpt

In een klas moeten twee leerlingen worden afgevaardigd naar de leerlingenraad. Er hebben zich vijf leerlingen beschikbaar gesteld; twee jongens: Achim en Bourba en drie meisjes: Charlot, Dede en Eefje. In de mentorles zullen door loting twee van de vijf kandidaten worden aangewezen.

Leg uit hoe je in het vierkant hiernaast kunt zien dat er $10$ mogelijke paren leerlingen zijn (J = jongen, M = meisje).

Hoe groot is de kans dat twee meisjes worden aangewezen?

Hoe groot is de kans dat Achim en Bourba worden aangewezen?

Hoe groot is de kans dat de afvaardiging uit een jongen en een meisje zal bestaan?

Anneke en Vinja hebben allebei een kamer in een hotel gereserveerd. Hun kamers liggen op de tweede verdieping. Het hotel heeft zeven kamers op de tweede verdieping, met nummers $21$ , $21$ , $22$ , $23$ , $24$ , $26$ , $25$ en $27$ . De kamers $21$ en $27$ liggen op een hoek, met daartussen op volgorde de andere kamers. We nemen aan dat Anneke en Vinja hun kamer aselect (dat is willekeurig) hebben toegewezen gekregen.

Teken een vierkant van $7$ bij $7$ . Zeg wat je elk hokje laat voorstellen.

Wat is de kans dat de kamers van Anneke en Vinja naast elkaar liggen?

Een loterij op school telt $200$ loten. Er is één hoofdprijs; er zijn vier tweede prijzen en tien troostprijzen. Op één lot kan maar één prijs vallen. Anneke koopt een lot. We nemen aan dat alle loten verkocht worden.

Wat is de kans dat Anneke de hoofdprijs wint?

Wat is de kans dat Anneke een tweede prijs wint?

Wat is de kans dat Anneke een troostprijs wint?

Wat is de kans dat Anneke geen prijs wint?

Van het wagenpark in Nederland is $24$ % gemaakt in Japan, $27$ % is Duits, $18$ % Frans, $9$ % Italiaans, $5$ % Zweeds, $13$ % Amerikaans, $2$ % Koreaans, $1$ % Brits en $1$ % Spaans.
Mijnheer de Vrij staat voor het rode verkeerslicht te wachten. Achter hem staat een personenwagen.

Wat is de kans dat het een auto van Aziatische makelij is?

Wat is de kans dat de auto die achter hem staat niet van Europese makelij is?

Joke, Hans en Piet gaan surprises maken voor elkaar. Wie voor wie een surprise gaat maken, wordt door loting bepaald. Ze doen briefjes met hun naam erop in een hoed en trekken daarna ieder op goed geluk een briefje, eerst Joke, dan Hans en als laatste Piet.
Een mogelijk resultaat is: Joke trekt Hans, Hans trekt Joke en Piet dus zichzelf.

Schrijf in een tabel zoals hiernaast alle mogelijke resultaten op. Werk systematisch.

Elk van de resultaten heeft evenveel kans.

Wat is de kans dat ze alle drie zichzelf trekken?
Wat is de kans dat niemand zichzelf trekt?

Als iemand zichzelf trekt moet de loting opnieuw gedaan worden.

Wat is de kans dat Joke een surprise voor Piet zal maken?

De lotto
Niet zo lang geleden kon je twee keer per week met de lotto spelen. Dat ging zo.
Als speler kruis je zes van de getallen $1$ tot en met $42$ aan. De officiële trekking wordt op tv uitgezonden. Dit gaat als volgt. In een bol zitten $42$ balletjes met de getallen $1$ tot en met $42$ . Zeven keer wordt er een balletje uit de bol gehaald: dat worden de zeven winnende getallen. Als jij zes van deze zeven winnende getallen hebt aangekruist, heb je de hoofdprijs gewonnen.

Wat is de kans dat het getal $23$ bij de eerstvolgende trekking een winnend getal is?

De tabel hieronder (van 14 mei 2007) geeft weer hoe vaak ieder nummer getrokken is sinds de eerste Lottotrekking op 4 februari 1978; deze gegevens worden op internet automatisch aangepast na elke trekking.

Voorbeeld: het nummer $1$ is $362$ keer getrokken, dat is in $16$ % van de trekkingen. De laatste keer dat $1$ winnend was, was bij de trekking van 4 april 2007. De laatste $11$ keer is $1$ niet meer getrokken.

In hoeveel procent van de trekkingen was $23$ een winnend getal? Klopt dat redelijk met je antwoord op vraag a?

Hoe groot schat jij op grond van de tabel de kans dat $23$ tien of meer keer op rij niet-winnend is?

En de kans dat $23$ hoogstens drie keer op rij nietwinnend is?

We keren terug naar de kikker van opgave 7. Hij is moe geworden van het springen en heeft zijn werkterrein verplaatst naar een tegelvloer van $3$ bij $3$ . Daar maakt hij alleen nog maar kleine sprongen: hij maakt alleen nog maar sprongen naar een naburige tegel, en dat ook alleen nog maar horizontaal of verticaal (niet diagonaal).
Nu hebben de negen tegels niet meer dezelfde kans om aangedaan te worden.

Welke tegel heeft de meeste kans en welke tegels hebben de minste kans? Kun je ook zeggen waarom?

We hebben de velden genummerd: $1$ tot en met $9$ . Met een computer is het springen van de kikker gesimuleerd voor $119$ sprongen; er zijn $120$ opvolgende posities vermeld.

Schat op grond van deze rij velden wat de kans is dat de kikker op veld $1$ zit. Ook voor veld $3$ , veld $7$ en veld $9$ .

De kansen op de vier hoekvelden zijn natuurlijk gelijk.

Hoe groot schat jij die kans op grond van de rij?

Door de simulatie veel groter te maken - volg de kikker bijvoorbeeld $12.000$ sprongen lang - kun je de kansen op elk van de velden nauwkeuriger bepalen. Het blijkt dat de kans op elke hoektegel $\frac{1}{12}$ is, op de middelste tegel $\frac{1}{6}$ en op elk van de andere vier tegels $\frac{1}{8}$ .
De som van de kansen op de negen velden moet $1$ zijn.

Controleer of dat bij deze kansen het geval is.

Hieronder staan nog eens de drie tegelpatronen uit opgave 7.

Geef bij elke vloer hoe groot de kans is dat de kikker op een zeker moment op een blauwe tegel zit.

Je voert een 'experiment' uit, bijvoorbeeld: je gooit met een rode en een blauwe dobbelsteen. Hierbij hoort een uitkomstenverzameling $U$ , in het geval met de dobbelstenen heb je $36$ uitkomsten. Je let op een bepaalde gebeurtenis $G$ , bijvoorbeeld of je een even aatal ogen gooit.

Gegeven is een experiment met uitkomstenverzameling $U$ . De kans op een gebeurtenis $G$ is: $\frac{het aantal elementen van G}{het aantal elementen van U}$ .

Op deze manier heb je de theoretische kansen in bijvoorbeeld opgave 8 berekend.
Een kans kun je ook vinden met een simulatie zoals in opgave 14.