1

Snijpunt $(‐ 1,4)$ wordt op $k$ bereikt op $t = 4$ en op $m$ op $t = ‐ 2$ ; $\cos (ϕ) = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ .
Snijpunt $(‐ 4,7)$ ; $\cos (ϕ) = \frac{3}{10} \sqrt{10}$ .
Snijpunt $(5,7)$ ; $\cos (ϕ) = \frac{6}{65} \sqrt{13}$

2

a

$P$ , respectievelijk $Q$ is de loodrechte projectie van $Y$ op $k$ respectievelijk $m$ .

b

$\cos (ϕ) = \frac{3}{5}$ , dus $O P = \frac{3}{5} \cdot 9 = \frac{27}{5}$ .
$O Q = \frac{4}{5} \cdot 9 = \frac{36}{5}$ . De lengte van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ is $5$ , dus $a = \frac{27}{25}$ en $b = \frac{36}{25}$ .

3

Het is de hoek α tussen de vectoren $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ . Dus $\cos (α) = ‐ \frac{1}{5}$ en $α = 102 °$ .

4

a

Dat is de hoek tussen de vlakken $\frac{x}{1} + \frac{z}{\sqrt{3}} = 1$ en $\frac{y}{1} + \frac{z}{\sqrt{3}} = 1$ , dus de hoek α van de vectoren $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \sqrt{3} \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \sqrt{3} \end{matrix})$ . Er geldt: $\cos (α) = \frac{0 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 0 + 1 \cdot 1}{2 \cdot 2} =$ $\frac{1}{4}$ , dus $α = 76 °$ .

b

Noem de hellingshoek β, dan is de hoek tussen de vectoren $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \tan β \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 1 \\ \tan β \\ 0 \end{matrix})$ $45 °$ , dus $\frac{1}{1 + \tan^{2} β} =$ $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ . Dus $β = \tan^{- 1} (\sqrt{2} - 1) \approx 23 °$ .

5

a

Een vergelijking van vlak $A C H$ is $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$ . Die kun je herschrijven als $4 x + 6 y + 3 z = 12$ , dus een normaalvector is $(\begin{array}{l} 4 \\ 6 \\ 3 \end{array})$ .

c

Noem die hoek α. Dan is de hoek tussen $\vec{n}$ en $\vec{C E}$ gelijk aan $90 ° - α$ .
$\vec{C E} = (\begin{matrix} 3 \\ ‐ 2 \\ 4 \end{matrix})$ , dus $| \vec{C E} \cdot \vec{n} | = | 3 \cdot 4 + ‐ 2 \cdot 6 + 4 \cdot 3 | = 12$ en $| \vec{C E} | \cdot | \vec{n} | = \sqrt{3^{2} + {(‐ 2)}^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 3^{2}} = \sqrt{29} \cdot \sqrt{61}$ , dus $\cos (α) = \frac{12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{61}}$ , dus $α = 73 °$ en de gevraagde hoek is $17 °$ .

c

$P = (4 t,6 t,3 t)$ voor die waarde van $t$ waarvoor $4 \cdot 4 t + 6 \cdot 6 t + 3 \cdot 3 t = 12 \Leftrightarrow t = \frac{12}{61}$ , dus $P = (\frac{48}{61}, \frac{72}{61}, \frac{36}{61})$ . De afstand is de lengte van $O P$ $= \frac{12}{61} \sqrt{61}$ .

d

Noem die hoek $γ$ , dan is $γ$ ook de hoek tussen normalen van die vlakken, dus tussen $(\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ . $\cos (γ) = \frac{6}{\sqrt{61}}$ , dus $γ = 40 °$ .

6

a

Het snijpunt van lijn $L R$ met de $x$ -as is $R_{s}$ en het snijpunt van lijn $L Q$ met de $y$ -as is $Q_{s}$ ,
De schaduw is driehoek $P Q_{s} R_{s}$ .

b

Uit gelijkvormigheid volgt: $S R_{s} = 3 \cdot R S = 9$ en $T Q_{s} = 2 \cdot T Q = 6$ .
Dus oppervlakte driehoek $P S R_{s} = 18$ , oppervlakte driehoek $P T Q_{s} = 18$ , oppervlakte vierhoek $O S P T = 24$ , oppervlakte driehoek $O R_{s} Q_{s} = 75$ . Dus oppervlakte schaduw is $15$ .

c

Teken een lijn door $U$ evenwijdig aan lijn $O P$ . Die snijdt de ribbe $R Q$ . Het snijpunt noemen we $V$ . Lijn $P V$ snijdt de $z$ -as in het gewenste punt $N$ .

e

Een vergelijking van vlak $P Q R$ is $3 x + 9 y - 12 z = 45$ . Het snijpunt van dit vlak met de $z$ -as is het gevraagde punt $N$ $(0,0,3 \frac{3}{4})$ .

7

a

De inhoud van piramide $O S R H$ is $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 6 = 9$ , dus de gevraagde inhoud is $6^{4} - 4 \cdot 9 = 180$ .

b

De doorsnede is vijfhoek $A B T R U$ , waarbij $U$ het snijpunt van de lijnen $B G$ en $C Q$ is en $T$ het snijpunt van de lijnen $O S$ en $A H$ is en

c

De driehoeken $T B C$ en $T G Q$ zijn gelijkvormig; de vergrotingsfactor is $2$ , dus $B T = \frac{2}{3} \cdot 6 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ .
De oppervlakte van rechthoek $A B T U = 4 \sqrt{2} \cdot 6 = 24 \sqrt{2}$ ; de oppervlakte van driehoek $R T U = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 6 = 6 \sqrt{2}$ , De oppervlakte van de doorsnede is $24 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} = 30 \sqrt{2}$ .

d

Het vlak snijdt de $x$ -as in $(12,0,0)$ , de $y$ -as in $(0,12,0)$ .

Een vergelijking is dus $\frac{x}{12} + \frac{y}{12} + \frac{z}{c} = 1$ voor een of ander getal $c$ . Het punt $(6,3,6)$ voldoet, dus $c = 24$ . Een vergelijking is dus: $2 x + 2 y + z = 24$ .

e

Noem die hoek α, dan is α ook de hoek tussen de normaalvectoren $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ . We berekenen $\cos (α)$ met het inproduct. Je vindt: $\cos (α) = \frac{2}{3}$ , dus $α = 48 °$ .

f

Het middelpunt $M$ van de bol ligt op de lijn door de middens van het boven- en het grondvlak van de kubus. Zeg op hoogte $x$ .
De cirkel door de vier hoekpunten in het bovenvlak heeft straal $3$ , die door hoekpunten van het grondvalk heeft straal $3 \sqrt{2}$ .
Noem de straal van de bol $R$ , dan geldt: ${(6 - x)}^{2} + 3^{2} = R^{2}$ en $x^{2} + {(3 \sqrt{2})}^{2} = R^{2}$ , dus $x = 2 \frac{1}{4}$ , dus het middelpunt $M$ is $(3,3,2 \frac{1}{4})$ .

g

De achthoek op hoogte $h$ bestaat uit een vierkant van $6$ bij $6$ waaruit bij de hoekpunten rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden $\frac{1}{2} h$ zijn weggelaten. De oppervlakte is dus $36 - \frac{1}{2} h^{2}$ , dus $h = 4 \sqrt{3}$ .

8

Kies een assenstelsel zó, dat de drie ribben op de assen liggen. Het hoogste punt is dan de oorsprong $O$ . En vergelijking van het maaiveld is: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1$ oftewel: $20 x + 15 y + 12 z - 60 = 0$ . De afstand van $O$ tot het maaiveld is dan $\frac{| 20 \cdot 0 + 15 \cdot 0 + 12 \cdot 0 - 60 |}{\sqrt{20^{2} + 15^{2} + 12^{2}}} = \frac{60}{\sqrt{769}}$ .

9

a

De coördinaten van het snijpunt van de lijnen $O A$ en $B C$ zijn $(‐ 12,0,0)$ (met gelijkvormigheid). Een tweede punt van de snijlijn is $T$ , dus de snijlijn heeft pv: $(x, y, z) = (‐ 12 + 6 t,0,5 t)$ .

b

$P$ is het snijpunt van lijn $B T$ met het vlak $O$ door loodrecht op lijn $B T$ . Een vergelijking van $V$ is: $3 x + 3 y - 5 z = 0$ .
Een pv van lijn $B T$ is: $(x, y, z) = (0,0,10) + t (3,3, ‐ 5)$ . Je krijgt $P$ voor de waarde van $t$ waarvoor $3 \cdot 3 t + 3 \cdot 3 t - 5 \cdot (10 - 5 t) = 0$ , dus voor $t = \frac{50}{43}$ . Je vindt: $P = (\frac{150}{43}, \frac{150}{43}, \frac{180}{43})$ .

c

Dat punt noemen we $Q$ $= (0,4,0) + t \cdot (3,1,0)$ .
$Q$ is het snijpunt het vlak $W$ door $T$ loodrecht op lijn $B C$ . Een vergelijking van $W$ is $3 x + y = 0$ . Het snijpunt van lijn $B T$ met $W$ is $Q (1 \frac{1}{2},4 \frac{1}{2},0)$ .

10

a

Dat is een stompe hoek. Normaalvectoren van de vlakken $A B D$ en $B C D$ zijn $(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})$ . Noem de hoek α, dan $\cos (α) = \frac{9}{25}$ en $\cos (α) = 69 °$ , dus de gevraagde hoek is $111 °$ .

b

Druk de vlakken $A B D$ en $B C D$ 'plat'. De kortste weg is lijnstuk $A C$ . $M$ is het snijpunt van de lijnstukken $A C$ en $B D$ . Er geldt: $M A \cdot B D = A D \cdot A B$ , dus $M A = \frac{15}{34} \sqrt{34}$ en $A C = \frac{15}{17} \sqrt{34}$ .

c

Dat is het snijpunt met het vlak $V$ loodrecht op $B T$ .
Een pv van lijn $B T$ is $(x, y, z) = (0,0,4) + t (3,3, ‐ 4)$ , een vergelijking van $V$ is: $3 x + 3 y - 4 z = 9$ .
Het snijpunt krijg je voor $t = \frac{25}{34}$ , dus dit is: $(\frac{75}{34}, \frac{75}{34}, \frac{36}{34})$ .

d

Zie figuur. De kortste weg is lijnstuk $A E$ , waarbij $A E$ loodrecht op $D C$ staat.
Hoek $A D B$ noemen we γ. Dan $\cos (γ) = \frac{5}{\sqrt{34}}$ en $\sin γ = \frac{3}{\sqrt{34}}$ en , dus $\sin 2 γ = 2 \cdot \sin γ \cdot \cos (γ) = \frac{15}{17}$ en $A E = A D \cdot \sin 2 γ = \frac{75}{17}$ .

e

De gevraagde hoek is hoek $A M C$ , waarbij de punten $A$ , $M$ en $C$ in de 'ruimte' liggen. De zijden van driehoek $A M C$ zijn $\frac{15}{\sqrt{34}}$ , $\frac{15}{\sqrt{34}}$ en $3 \sqrt{2}$ . De gevraagde hoek is: $2 \cdot \sin^{- 1} (\frac{1 \frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{15}{\sqrt{34}}}) \approx 111 °$ .