De hoek van twee vlakken
1

Op de foto staat een huis met aangebouwde vleugel. De dakvlakken van het huis en van de vleugel hebben een hellingshoek van 45 ° . De nok van het garagedak staat loodrecht op die van het huis. Waar het dak van de vleugel overgaat in het dak van het huis is een goot gemaakt, een zogenaamde kilgoot.

a

Wat denk je, is de hellingshoek van de kilgoot ook 45 ° , is hij kleiner of is hij groter?

De kilgoot is een gevouwen rechthoekige plaat. De vouwhoek is de hoek van de twee dakvlakken.

b

Wat denk je, is de vouw 90 ° , is hij kleiner of is hij groter?

We kunnen de vragen in a en b vertalen naar een situatie in een kubus A B C D . E F G H . De dakvlakken zijn de vlakken B E H en B G H . De vouw in de kilgoot is de snijlijn van die vlakken.

c

Bereken de hellingshoek van de kilgoot in graden nauwkeurig. Het berekenen van de vouwhoek komt later wel.

2
a

Vouw een rechthoekig vel papier dubbel (de vouw evenwijdig aan een bladrand) en open de vouw weer gedeeltelijk: je hebt twee vlakken met de vouw als snijlijn. Kun je de hoek van beide vlakdelen aanwijzen? In welke richting moet je kijken om de hoek goed te zien?

b

Vouw een vel papier, maar nu zo’, dat de vouw niet evenwijdig met de bladrand is. Open de vouw gedeeltelijk. Kun je nu de hoek van beide vlakdelen aanwijzen? In welke richting moet je kijken om de hoek goed te zien?

3
a

Houd een boek schuin op tafel. Je geodriehoek past met de rechte hoek in de hoek tussen het boek en de tafel, dus met de ene zijde op tafel en de andere zijde tegen het boek. Hoe je het boek ook laat hellen, het past altijd.

b

We gaan de geodriehoek nu met een van de hoeken van 45 ° proberen te passen in de hoek die het boek metde tafel maakt. Kan dat ook altijd? Je kunt dus altijd wel een lijn in het ene vlak en een lijn inhet andere vlak vinden die een hoek van 45 ° met elkaar maken. En die een hoek van 90 ° met elkaar maken. De hoek van twee vlakken vind je dus niet door in beide vlakken een willekeurige lijn te nemen en de hoek tussen die lijnen te bekijken.

4

Met plakband zijn drie geodriehoeken met de korte zijden aan elkaar geplakt, zodat ze een driezijdige piramide vormen (het grondvlak is de tafel).

Hoe groot is, denk je, de hoek tussen twee geodriehoeken?
Als je het antwoord niet zeker weet, leg de constructie dan maar eens met één van de geodriehoeken op de tafel.

5

A B C D . T is een piramide waarvan alle ribben lengte 6 hebben.

In welke richting moet je kijken om de hoek van vlak A D T met het grondvlak goed te kunnen zien?
Teken die hoek op het werkblad.
Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

6

Een recht blok met een grondvlak van 2 bij 2 is schuin afgezaagd. Het zaagvlak snijdt de verticale ribben op hoogte 2 , 3 , 4 en 3 . We bekijken de hellingshoek van het zaagvlak ten opzicht van het grondvlak van het blok.

a

Teken die hoek op het werkblad.

b

Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

De hoek kun je ook goed als volgt zichtbaar maken. Zet het afgezaagde blok (met het grondvlak) op de tafel en houd een rechthoekig stuk karton op het schuine zaagvlak zó, dat een rand van het karton op de tafel rust. De hoek die het karton met de tafel maakt is de hellingshoek.

De hoek die twee snijdende vlakken V en W met elkaar maken is de hoek die je ziet als je in de richting van de snijlijnkijkt. Deze hoek noemen we ook wel de standhoek van V en W . De standhoek staat loodrecht op de snijlijn. Je kunt die hoek berekenen in een aanzicht in de richting van de snijlijn.

7

V en W zijn twee vlakken die elkaar snijden onder een hoek van 45 ° .

a

Waar of niet waar? Geef commentaar op elk van de volgende beweringen.

  1. Er is een lijn in V en een lijn in W die elkaar snijden onder een hoek van 77 ° .

  2. Er is een lijn in V en een lijn in W die elkaar snijden onder een hoek van 45 ° .

  3. Er is een lijn in V en een lijn in W die elkaar snijden onder een hoek van 27 ° .

l is een lijn in V en m een lijn in W .

b

Hoe groot kan de hoek tussen l en m zijn?

8

In de figuur is kubus A B C D . E F G H getekend. De snijlijn van de vlakken A C H en A B G H is lijn A H .

a

Geef op het werkblad de standhoek van de twee vlakken aan.

b

Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

9

A B C D . E F G H is een kubus.

a

Geef op het werkblad de standhoek van vlak A F H en het grondvlak aan. Zie de figuur hieronder links.
Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

N is het midden van H D , M van F B , zie figuur 2.

b

Geef de standhoek van de vlakken A M G N en B F H D aan op het werkblad.
Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

10

A B C D . S T is een regelmatig achtvlak.

a

Geef op het werkblad de standhoek tussen de grensvlakken T A D en T B C aan. Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

b

Geef op het werkblad de standhoek van de grensvlakken T A D en T C D aan. Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

11
a

Bereken de hoek tussen twee grensvlakken van een regelmatig viervlak.

Met twee regelmatige viervlakken en een achtvlak met dezelfde ribbe kun je een scheef blok bouwen.

b

Wat zegt dit over je antwoorden op opgave 100b en opgave 101a?

Opmerking:

Voor de hoek tussen twee vlakken maken we een soortgelijke afspraak als bij de hoek van twee snijdende lijnen. Met die hoek bedoelen we de scherpe (eventueel rechte) hoek. In opgave 100b heb je als antwoord 109 ° gegeven. Het gaat hier ook niet om de hoek van twee (onbegrensde)vlakken, maar om de hoek tussen twee begrensde vlakdelen en die kan (net zoals de hoek tussen twee lijnstukken in bijvoorbeeld een driehoek) stomp zijn.

12

De vouw in de kilgoot
We komen terug op opgave opgave 41 en berekenen de hoek van de vlakdelen B E H en B G H in kubus A B C D . E F G H . Het punt P ligt op diagonaal B H zó, dat E P loodrecht op B H staat. Zeg dat de ribben van de kubus lengte 6 hebben.

a

Bereken dan B P .
Wat is dus de verhouding B P : H P ?

b

Bereken hoek E P G .

13
De drie geodriehoeken

We bekijken het bouwsel van opgave 43 nog eens. Het gaat dus over een driezijdige piramide waarvan de opstaande grensvlakken drie geodriehoeken zijn. De lange zijde van een geodriehoek is 16 cm. We hebben in opgave 43 gezien dat de hoek van twee opstaande grensvlakken 90 ° is.

a

Bereken exact de inhoud van de piramide; neem een geodriehoek als “grondvlak”.

b

Bereken met behulp van a exact hoever de top van de piramide boven de tafel komt.

c

Bereken de hoek die een geodriehoek met het vlak van de tafel maakt.

De hoek tussen een lijn en een vlak.
14

Op het werkblad staat (twee keer) een bovenaanzicht van een plein met een scheve toren. Anneke loopt in een kring om de toren.

a

Kleur de plaatsen op haar rondwandeling van waaruit ze niet ziet dat de toren scheef staat.

b

Kleur ook de plaatsen van waaruit ze goed ziet hoe scheef de toren staat.

De toren van Pisa staat 4 meter uit het lood. Hij is 54 m hoog (verticaal gemeten).

c

Hoeveel graden staat hij uit het lood? Hoe groot is de hoek die de toren met de begane grond maakt?

15

Leg een stuk papier op tafel. Zet de geodriehoek met de lange zijde op het papier, loodrecht op de tafel.

Waar of niet waar? Geef commentaar op de volgende beweringen.

  1. Er is een lijn op papier die een hoek van 77 ° met een korte zijde van de geodriehoek maakt.

  2. Er is een lijn op papier die een hoek van 45 ° met een korte zijde van de geodriehoek maakt.

  3. Er is een lijn op papier die een hoek van 23 ° met een korte zijde van de geodriehoek maakt.

De lijn k snijdt het vlak V . De loodrechte projectie van k op V noemen we k . Onder de hoek die k maakt met V zullen we verstaan de hoek tussen k en k . Dat is de kleinste hoek die k maakt met lijnen in V .

16

In de figuur staat de kubus A B C D . E F G H . Het vlak door de punten A , B en G , in de figuur gekleurd, noemen we V .
We gaan de hoek α bepalen die zijvlaksdiagonaal E C maakt met V .
De projectie van E op V noemen we N .

a

Teken N op het werkblad en geef α aan.
Bereken α vervolgens in graden nauwkeurig.

β is de hoek die lichaamsdiagonaal E C met V maakt. Het snijpunt van lijn E G met V noemen we M .

b

Teken M en vervolgens β op het werkblad.
Bereken β in graden nauwkeurig.

17

A B C D . E F G H is een kubus met ribben van lengte 6 . M is het midden van ribbe F G . We bepalen de hoek die lijn A M maakt met vlak V , het vlak door de punten A , C en H .
We brengen een assenstelsel aan zó, dat D = ( 0,0,0 ) , A = ( 6,0,0 ) , C = ( 0,6,0 ) en H = ( 0,0,6 )

a

Geef een vergelijking van V .

De (loodrechte) projectie van M op V noemen we N .

b

Bereken de coördinaten van N .

(hint)
N is van de vorm ( 3 + t ,6 + t ,6 + t ) .
c

Bereken α, de hoek die lijn A M met vlak V maakt in graden nauwkeurig.

Hoeken berekenen met normalen

De hoek tussen twee vlakken is gelijk aan de hoek tussen normalen van die vlakken.

Als je in de richting van de snijlijn van de vlakken kijkt, zie je de rechter figuur. Je gaat eenvoudig na dat de hoek tussen V en W gelijk is aan de hoek tussen n V en n W , waarbij n V en n W normalen van V en W zijn.

Opmerking:

In hetgeen volgt, moet je nogal eens een normaalvector van een vlak bepalen. Tot nu toe hebbben we twee manieren gezien om die te vinden en in de volgende paragraaf volgt nog een derde manier. We herhalen die twee manieren nog eens.

  1. Je kent de snijpunten met de assen.
    Bijvoorbeeld:
    het vlak V snijdt de coördinaat-assen in ( 6,0,0 ) , ( 0,2,0 ) en ( 0,0,5 ) .
    Dan is x 6 + y 2 + z 5 = 1 oftewel 5 x + 15 y + 6 z = 30 een vergelijking van V , dus ( 5 15 6 ) is een normaalvector van V .
    Of:
    W snijdt de x -as in ( 6,0,0 ) , de z -as in ( 0,0,2 ) en de y -as niet, dan is x 6 + z 2 = 1 oftewel x + 3 z = 6 een vergelijking van W , dus ( 3 0 1 ) een normaalvector van W .

  2. Je kent een vectorvoorstelling van het vlak.
    Bijvoorbeeld een vectorvoorstelling van U is
    ( x y z ) = ( 3 1 2 ) + s ( 3 3 2 ) + t ( 3 4 1 ) .
    Richtingsvectoren van U zijn: s = ( 3 3 2 ) en t = ( 3 4 1 ) .
    Nu creëer je eerst een richtingsvector van U met een kental gelijk aan 0 , bijvoorbeeld: u = s + 2 t = ( 9 11 0 ) .
    Dan staat n = ( 11 9 a ) loodrecht op u voor elke a , want n u = 0 .
    Nu kies je het getal a zó, dat ook n s = 0 , dus a = 3 . Dan is n = ( 11 9 3 ) een normaalvector van U , want hij staat loodrecht op twee verschillende richtingen van U , namelijk op u en s .

Voorbeeld:

A B C O . E F G H is een kubus, met A ( 1,0,0 ) C ( 0,1,0 ) en H ( 0,0,1 ) . De hoek tussen de vlakken B C H E en A B H G bepaal je met normalen als volgt.
Een normaal van vlak B C H E heeft richtingsvector g = ( 0 1 1 ) en een normaal van vlak A B H G heeft richtingsvector e = ( 1 0 1 ) . Noem de hoek tussen deze vectoren α, dan cos α = g e 2 2 = 1 2 , dus α = 60 ° .

18

De kubus is als in het voorbeeld. In opgave 47 heb je de hoek tussen de vlakken A B H G en A C H berekend, zie figuur 1.

a

Doe dat nu nog eens, zoals in het voorbeeld.

(hint)
Een normaalvector van vlak A C H vind je door eerst een vergelijking te geven.

Vlak A B H G A B H G wordt om lijn H G gedraaid totdat het door het midden M van ribbe E A gaat, zie figuur 2.

b

Bereken de hoek die de twee vlakken nu maken in graden nauwkeurig.

Opmerking:

Merk op dat dit rekenwerk de zaak sterk vereenvoudigt. In opgave 58b moet je alleen al om de snijlijn van de vlakken te bepalen goed nadenken, als je de standhoek wilt bepalen.

19

A B C O . T is een piramide met A ( 6,0,0 ) , B ( 6,6,0 ) , C ( 0,4,0 ) , en T ( 0,0,10 ) .

a

Bereken de volgende hoeken met het inproduct in graden nauwkeurig: hoek A B C , hoek B T C , de hoek tussen de lijnen B T en O C .

b

Bereken hoeveel graden (in één decimaal nauwkeurig) lijn B T uit het lood staat ten opzichte van vlak A B C .

c

Bereken de hoek tussen de vlakken T A B en T B C in graden nauwkeurig.

In de figuur is lijn m de projectie van lijn k op vlak k ; de hoek die lijn k met vlak V maakt is α. β is de hoek die k uit het lood staat. Er geldt: α + β = 90 ° .

V is een vlak met normaal n . De hoek die een lijn k met de normaal maakt is samen met de hoek die hij met V maakt 90 ° .

Voorbeeld:

In de figuur is een recht blok A B C O . E F G H getekend met A ( 7,0,0 ) , C ( 0,7,0 ) en H ( 0,0,4 ) . De hoek die lijn G H met vlak A C H maakt kun je als volgt met het inproduct berekenen.
Vlak A C H heeft vergelijking x 7 + y 7 + z 4 = 1 , dus een normaalvector van dat vlak is n = ( 4 4 7 ) . Een richtingsvector van lijn G H is y = ( 0 1 0 ) . De hoek die lijn G H ten opzichte van vlak A C H uit het lood staat noemen we β, dan
| n y | = | n | | y | cos β , dus β = 64 ° en de hoek die lijn G H met vlak A C H maakt is 90 ° β = 26 ° .

20

Het blok is als in het voorbeeld.

Bereken de hoek die lijn E C met vlak A F H maakt in graden nauwkeurig.

21

Gegeven zijn de punten A ( 6,0,0 ) , B ( 4,3,2 ) en C ( 0,0,6 ) .

a

Geef een vergelijking van vlak O A B en van vlak O B C .

b

Bereken de hoek die lijn B C met vlak O A B maakt in graden nauwkeurig.

c

Bereken de hoek die de vlakken O A B en O B C maken in graden nauwkeurig.

22

We gaan de inhoud van het viervlak O A B C uit de voorgaande opgave berekenen.

a

Bereken de afstand van C tot vlak O A B .

α is hoek A O B .

b

Toon aan: sin α = 13 29 .

(hint)
Bereken met het inproduct eerst cos α ; de oppervlakte kun je dan berekenen met met O A O B sin α .

De oppervlakte van driehoek O A B is gelijk aan 3 13 .

c

Toon dat aan.

d

Bereken de inhoud van viervlak O A B C exact.