3.7 Parametervoorstelling en vergelijking van een vlak >

Parametervoorstelling van een vlak

Gegeven is een lijn $k$ en een richtingsvector $\vec{q}$ van $k$ . Vanuit een punt $P$ van $k$ kun je elk ander punt van $k$ bereiken door $P$ over een veelvoud van $\vec{q}$ te verschuiven.
Dan is $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ , waarbij je voor $t$ alle mogelijke getallen neemt, een vectorvoorstelling van $k$ . Door de oorsprong $O$ over deze verzameling vectoren te verschuiven, krijg je de hele lijn $k$ . Bij elk punt van $k$ hoort precies één waarde van $t$ .
Om vanuit een punt van een vlak elk ander punt van dat vlak door schuiven te bereiken, heb je twee richtingsvectoren, onafhankelijk van elkaar (dus geen veelvoud van elkaar), nodig.

In de figuur is op de bekende manier een kubus in een assenstelsel getekend. Neem aan dat de ribben van de kubus $2$ zijn. $V$ is het vlak door de punten $O$ , $C$ en $E$ .
Twee richtingsvectoren van $V$ (onafhankelijk van elkaar) zijn: $\vec{r} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{s} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ .
Elk punt van $V$ kun je bereiken door $O$ te verschuiven over $p \cdot \vec{r} + q \cdot \vec{s}$ voor zekere getallen $p$ en $q$ .

Welke getallen moet je voor $p$ en $q$ nemen om in het midden van de kubus uit te komen?
En in het midden van het 'rechter' zijvlak?

Welke getallen moet je voor $p$ en $q$ nemen om in het midden van ribbe $E F$ uit te komen?

Het punt $(7, ‐ 10,7)$ ligt ook in $V$ .

Wat moet je voor $p$ en $q$ nemen om daar te komen?

We noemen $\vec{x} = p \cdot \vec{r} + q \cdot \vec{s}$ , waarbij $p$ en $q$ alle mogelijke waarden aannemen, een vectorvoor (vv) van $V$ (gegevens uit opgave 66).
De bij deze vectorvoorstelling horende parametervoorstelling (pv) van $V$ is: $(x, y, z) = (p, q, p)$ , ga dat na.

We gaan verder met opgave 66 en verschuiven $V$ over $\vec{k}$ , zie figuur. Je krijgt vlak $W$ . Lijn $A B$ ligt in vlak $W$ .
Een vv van $W$ is: $\vec{x} = \vec{k} + p \cdot \vec{r} + q \cdot \vec{s}$ .

Schrijf de bijbehorende pv van $W$ op.

$m$ is de lijn met pv $(x, y, z) = (t,2 - 2 t,2 t)$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m$ met de ribben van de kubus.

(hint)

Je krijgt drie vergelijkingen met drie onbekenden:

p

q

t

$m$ snijdt $W$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt met behulp van de pv's van $W$ en $m$ .

We gaan verder met opgave 66.
$U$ is het vlak met vv $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + p \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ .

Geef de bijbehorende pv van $U$ .

Welke hoekpunten van de kubus liggen in $U$ ?

Het snijpunt van lijn $O F$ met $U$ noemen we $S$ .

Teken $S$ op het werkblad.

Bereken de coördinaten van $S$ .

Vergelijkingen van vlakken

Vouw een vel papier dubbel. Open de vouw gedeeltelijk. Het vel papier kan nu op tafel gezet worden zonder dat het omvalt. De vouw staat loodrecht op het tafelblad. "De vouw staat in het lood."
Als een metselaar een muur gaat metselen, zet hij eerst wat palen recht omhoog: hij stelt profielen. Zo'n profiel staat pas recht als het vanuit twee onafhankelijke richtingen gezien recht staat. Dan staat het vanuit elke richting gezien recht.

Een lijn $n$ staat loodrecht op een vlak $V$ (maakt met elke lijn in $V$ een hoek van $90 °$ ) als hij loodrecht op twee niet-parallelle lijnen van $V$ staat.
$n$ heet een normaal van $V$ en een richtingsvector $\vec{n}$ van $n$ heet normaalvector van $V$ .

We kijken nog eens naar vlak $V$ van opgave 66.

Geef een normaalvector van $V$ .

Ga met het inproduct na: de vector uit onderdeel a staat loodrecht op $\vec{r} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{s} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ van opgave 66.

$\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ is een normaalvector van $V$ . Voor alle punten $X (x, y, z)$ met $\vec{n} \cdot \vec{x} = 0$ geldt: dat $\vec{n}$ en $\vec{x}$ loodrecht op elkaar staan, dus dat $X$ in $V$ ligt. Er geldt $\vec{n} \cdot \vec{x} = 0$ $\Leftrightarrow x - z = 0$ .
We zeggen $x - z = 0$ is een vergelijking van $V$ .
Het vlak $W$ uit opgave 67 krijg je door $V$ over de vector $\vec{k} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ te verschuiven.
Dus is $W$ evenwijdig met $V$ , heeft dus ook $\vec{n}$ als normaalvector. Er geldt: $X (x, y, z)$ in $W$ $\Leftrightarrow$ $(x - 4, y, z - 2)$ in $V$
$\Leftrightarrow (x - 4) - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - z = 2$ .
Dus $x - z = 2$ is een vergelijking van $W$ .

$A B C O . E F G H$ is een recht blok met $A (3,0,0)$ , $C (0,2,0)$ en $H (0,0,4)$ .
$V$ is het vlak door de punten $O$ , $P (3,0,1)$ en $R (0,2,2)$ .
$V$ snijdt de ribbe $B F$ in $Q$ .

Wat zijn de coördinaten van $Q$ ?

$\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ .

Toon aan dat $\vec{n}$ loodrecht op $\vec{p}$ en $\vec{r}$ staat.

Dus $\vec{n}$ is een normaalvector van $V$ , want $\vec{n}$ staat loodrecht op twee onafhankelijke richtingen van $V$ , dus ook $\vec{n} \cdot \vec{P Q} = 0$

Reken dat na.

Een vergelijking van $V$ is dus $\vec{n} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0$ ofwel $x + 3 y - 3 z = 0$ .
Het vlak $W$ krijg je door $V$ te verschuiven over $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .

Geef een vergelijking van $W$ .

(hint)

(x, y, z)

W

\Leftrightarrow (x, y, z - 1)

V

De punten $(x, y, z)$ die aan de vergelijking $a x + b y + c z = d$ voldoen vormen een vlak met normaalvector $\vec{n} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ .

$A B C O . E F G H$ is een kubus met ribben $2$ met $A (2,0,0)$ , $C (0,2,0)$ en $H (0,0,2)$ . $N$ is het midden van het bovenvlak van de kubus.
We bekijken de punten $X (x, y, z)$ met $\vec{n} \cdot \vec{x} = 2$ . Zij vormen een vlak $V$ .

Laat zien: $X$ ligt in $V$ $\Leftrightarrow x + y + 2 z = 2$ .

Zoek punten $(x, y, z)$ op de ribben van de kubus die aan de vergelijking $x + y + 2 z = 2$ voldoen en teken de doorsnede van $V$ met de kubus.

Bekijk de vergelijking $y + 2 z = 2$ .
Je kunt de vergelijking schrijven als $\vec{m} \cdot \vec{x} = 2$ voor zekere vector $\vec{m}$ .

Welke vector $\vec{m}$ ?

Dus de punten die aan de vergelijking $y + 2 z = 2$ voldoen vormen een vlak $W$ loodrecht op de vector $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ .
Het punt $B$ voldoet aan de vergelijking, ligt dus in $W$ .

Bereken de punten van $W$ die op de ribben van de kubus liggen en teken de doorsnede van $W$ met de kubus.

Hoe zie je aan de vergelijking $y + 2 z = 2$ dat het bijbehorende vlak evenwijdig is aan de $x$ -as?

Geef een pv $(x, y, z) = (\dots, \dots, \dots)$ van de snijlijn van de vlakken $V$ en $W$ en ga na dat de punten $(x, y, z) = (\dots, \dots, \dots)$ aan de gegeven vergelijkingen van $V$ en $W$ voldoen.

De punten $(x, y, z)$ met $a x + b y + c z = d$ , vormen een vlak. Als $a = 0$ (of $b = 0$ of $c = 0$ ), dan is het vlak evenwijdig met de $x$ -as (of de $y$ -as of de $z$ -as).

In opgave 67 heb je het snijpunt van lijn $m$ met pv
$(x, y, z) = (t,2 - 2 t,2 t)$ met een vlak $W$ berekend. Omdat $W$ in vectorvoorstelling gegeven was, kwam dat neer op het oplossen van een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden. Als je een vergelijking van $W$ hebt, gaat het veel gemakkelijker, zoals je in onderstaand voorbeeld kunt zien.

Voorbeeld:

Gegeven is een vlak $W$ met vergelijking $x - z = 2$ en een lijn $m$ met pv $(x, y, z) = (t,2 - 2 t,2 t)$ . Het snijpunt van het vlak met de lijn vind je voor die waarde van $t$ waarvoor ( $(t,2 - 2 t,2 t)$ invullen in $x - z = 2$ ):
$t - 2 t = 2 \Leftrightarrow t = ‐ 2$ . Het snijpunt is dus $(‐ 2,6, ‐ 4)$ .

Gegeven is het vlak met vergelijking $x + 2 y + 3 z = 10$ en de lijn met pv $(x, y, z) = (t,2 - 2 t,2 t)$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt van het vlak met de lijn.

Opmerking:

In opgave 71 heb je punten op de ribben van een kubus moeten aangeven die aan een bepaalde vergelijking voldoen. Buiten de kubus liggen natuurlijk ook nog punten die aan die vergelijking voldoen.
De ligging van een vlak in een assenstelsel kan vaak goed geïllustreerd worden door de snijpunten met coördinaat- assen te bepalen en deze te verbinden.
Dat bekijken we in het volgende.

Een vlak en zijn snijpunten met de coördinaat-assen

$A B C O . E F G H$ in de figuur is een kubus met ribben $4$ en $V$ is het vlak met vergelijking $x + y + z = 6$ .

Bepaal de coördinaten van de snijpunten van $V$ met de coördinaat-assen en teken die punten op het werkblad.
Verbind de drie snijpunten met elkaar.

Bepaal coördinaten van de snijpunten van $V$ met de ribben van de kubus.

Volgens de stelling hierboven is $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ normaalvector van $V$ , dus ook $\vec{O F}$ . We willen dat ook 'meetkundig' inzien. Daarvoor moeten we laten zien dat lijn $O F$ loodrecht op twee niet-evenwijdige lijnen van $V$ staat.

Geef een meetkundig argument waarom de lijnen $O F$ en $B G$ loodrecht op elkaar staan.

Omdat lijn $B G$ loodrecht op vlak $O C F E$ staat, staat lijn $O F$ ook loodrecht op lijn $B G$ .

Het midden van van diagonaal $E G$ noemen we $N$ .
Omdat lijn $O F$ loodrecht op $V$ staat, moet lijn $O F$ ook loodrecht op lijn $B N$ staan.

Kun jij dat meetkundig inzien in rechthoek $O B F H$ ?

We gaan verder met de kubus van de vorige opgave. $U$ is het vlak met vergelijking $x + y + 2 z = 6$ .

Bepaal de coördinaten van de snijpunten van $U$ met de coördinaat-assen en teken die punten op het werkblad.
Verbind de drie snijpunten met elkaar.

Bepaal de snijpunten van $U$ met de ribben van de kubus.

Geef een normaalvector van $U$ .

$M$ is het midden van ribbe $B F$ en $N$ het midden van $E G$ zoals in de vorige opgave. Dan is $\vec{O N}$ ook een normaalvector van $U$ , het is namelijk een veelvoud van de vector die je in c gegeven hebt. We willen weer meetkundig zien dat $O N$ loodrecht op $U$ staat.

Waarom staat $O N$ loodrecht op $E G$ ?

Hoe zie je in rechthoek $O B F H$ dat $O N$ loodrecht op $M N$ staat?

De kortste verbinding van een punt $P$ met een vlak $V$ is het loodrecht verbindingslijnstuk, dus de lengte van lijnstuk $P Q$ , waarbij lijn $P Q$ normaal is van $V$ en $Q$ in $V$ ligt.

We gaan verder met de voorgaande opgave.

De vlakken $U$ en $B E G$ zijn evenwijdig.

Waarom?

Bepaal het kortste verbindingslijnstuk van $O$ met vlak $E G M$ en bereken de afstand van $O$ tot vlak $E G M$ exact.

Het kortste verbindinglijnstuk van $O$ tot vlak $A C H$ ligt in rechthoek $O B F H$ .

Laat dat meetkundig zien.

(hint)

Elke lijn in rechthoek

O B F H

staat loodrecht op lijn

A C

Bereken de afstand van $O$ tot vlak $A C H$ in die rechthoek.

We bekijken de vergelijking $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1$ . Dit is de vergelijking van een vlak $V$ , want het is een lineaire vergelijking.

Laat zien dat de punten $A$ , $C$ en $H$ in $V$ liggen.

Door de vergelijking te schrijven in de vorm $a x + b y + c z = d$ , kun je een normaalvector van vlak $V$ vinden.

Doe dat.

We bekijken het vlak $W$ met vergelijking $\frac{x}{3} + \frac{z}{5} = 1$ .

Bepaal de snijpunten van dit vlak met de coördinaatassen. (Dat zijn er maar twee.)

Een punt ligt in $W$ . Als je zijn $y$ -coördinaat verandert, dan blijft het punt in $W$ .

Leg uit hoe dat komt.

$W$ is dus evenwijdig met de $y$ -as en snijdt de andere coördinaat-assen in $(3,0,0)$ en $(0,0,5)$ , het is dus vlak $A B H$ .

Bepaal een normaalvector van vlak $A B H$ .

In het volgende zijn $a$ , $b$ en $c$ getallen niet gelijk aan $0$ .

Het vlak dat de coördinaatassen snijdt in $(a,0,0)$ , $(0, b,0)$ en $(0,0, c)$ heeft vergelijking $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
Het vlak evenwijdig met de $x$ -as, dat de $y$ -as snijdt in $(0, b,0)$ en de $z$ -as in $(0,0, c)$ , heeft vergelijking $\frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
Het vlak evenwijdig met het $O x y$ -vlak dat de $z$ -as in $(0,0, c)$ snijdt heeft vergelijking $\frac{z}{c} = 1$ .

We gaan verder met het blok uit opgave 76.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van vlak $B E G$ met coördinaatassen.

Geef een vergelijking van vlak $B E G$ en bepaal daarmee een normaalvector van vlak $B E G$ .

Geef een vergelijking van vlak $B E H$ en een normaalvector van vlak $B E H$ .

Geef een vergelijking van het vlak door $O$ evenwijdig aan $B E H$ .

Kubus $A B C O . E F G H$ heeft ribbe $3$ . $A$ , $C$ en $H$ liggen op de coördinaatassen.
$V$ is het vlak met vergelijking $2 x + y + z = 4$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $V$ met de coördinaatassen en teken $V$ op het werkblad.

$V$ snijdt ribbe $H G$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

(hint)

Het snijpunt heeft coördinaten

(0, t,3)

voor zekere waarde van

t

Bereken de coördinaten van de andere snijpunten van $V$ met ribben van de kubus.

$V$ `zaagt´ de kubus als het ware in twee stukken.

Kleur het zaagvlak.

Opmerking:

Als je een vergelijking van een vlak hebt, kun je daar vaak een mooi ruimtelijk plaatje bij maken, door in ieder geval de snijpunten van dat vlak met de coördinaat-assen te tekenen. In figuur 1 is het vlak met vergelijking $x + y = 3$ getekend (dat is evenwijdig met de $z$ -as) en in figuur 2 het vlak met vergelijking $3 x + 4 y + 6 z = 12$ .

Bepaal de snijpunten van de volgende vlakken met de coördinaatassen en maak van elk vlak een plaatje zoals in de voorgaande opmerking.

$2 x + 3 y + 12 z = 6$	$2 x + 3 y = 6$	$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1$
$x + 3 z = 3$	$x - y = 0$	$2 x = 6$

$T . A B C D$ is een regelmatige vierzijdige piramide met: $A (3, ‐ 3,0)$ , $B (3,3,0)$ , $C (‐ 3, 3,0)$ , $D (‐ 3, ‐ 3,0)$ en $T (0,0,6)$ . $V$ is het vlak met vergelijking $y + z = 3$ .
$V$ snijdt ribbe $A T$ van de piramide.

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

Vlak $U$ heeft vergelijking $2 x + 3 y + 4 z = 6$ , vlak $V$ heeft vergelijking $4 x + 6 y + 8 z = 17$ .

Herschrijf de gegeven vergelijking van $V$ tot
$2 x + 3 y + 4 z = \dots$ .
Welk getal moet er ingevuld worden?

Hoe zie je aan de vergelijkingen van $U$ en $V$ dat ze geen gemeenschappelijke punten hebben?

Dus zijn $U$ en $V$ evenwijdig.

$W$ is het vlak met vergelijking $x + a y + b z = 20$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .
Vlak $U$ is evenwijdig met vlak $W$ .

Welke zijn de getallen $a$ en $b$ ?

Kogel door de tent
Een dakdeel van een tent ligt in het vlak dat de coördinaatassen snijdt in $(3,0,0)$ , $(0,3,0)$ en $(0,0,4)$ .

figuur 1

figuur 2

Geef een vergelijking van dat vlak.

Vanuit de oorsprong $O (0,0,0)$ in de tent wordt een kogel afgevuurd in de richting $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Bereken de coördinaten van het punt waar de kogel de tent verlaat.

Hieronder zijn twee vlakken getekend.

Beide vlakken snijden de kubus in middens van ribben. De getekende kubus heeft ribben van lengte $6$ .

Geef van elk van de twee vlakken een vergelijking.

De twee vlakken snijden de kubus in drie stukken.

Bereken de inhoud van het deel waarin het punt $(6,0,0)$ ligt.

Het is niet altijd eenvoudig om de snijpunten van een vlak met de coördinaatassen te bepalen. Daarom bekijken we in de volgende opgaven een andere manier om een vergelijking van een vlak te vinden.

Vergelijking van een vlak met behulp van een pv

Voorbeeld:

$V$ is het vlak door $A (2,3,1)$ , $B (4,3,2)$ en $C (0,0,3)$ . We zoeken een normaalvector $\vec{n}$ van $V$ .
Onafhankelijke richtingen in $V$ zijn: $\vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{A C} = (\begin{matrix} ‐2 \\ ‐3 \\ 2 \end{matrix})$ Voor elk getal $b$ staat de vector $\vec{n} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ b \\ ‐ 2 \end{matrix})$ loodrecht op $\vec{A B}$ . We zoeken een getal $b$ zo dat $\vec{n}$ ook loodrecht staat op $\vec{A C}$ .
$\vec{n} \cdot \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow ‐ 2 \cdot 1 + ‐ 3 \cdot b + 2 \cdot ‐ 2 = 0$ .
Dus $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ is normaalvector van $V$ .
Een vergelijking van $V$ is dus van de vorm: $x - 2 y - 2 z = d$ , voor een of ander getal $d$ dat je kunt vinden door de coördinaten van een punt van $V$ , bijvoorbeeld $A$ in de vergelijking in te vullen. Je vindt dan $x - 2 y - 2 z = ‐ 6$ als vergelijking van $V$ .

Stel van de volgende vlakken een vergelijking op.

het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(1,4,5)$ en $(2,6,0)$
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(2,4,5)$ en $(2,4,0)$ .
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(2,4,5)$ en $(‐4,1,3)$ .
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(4,2,3)$ en $(2,6,0)$ .

Om een normaalvector te vinden gebruiken we een richting van het vlak die een kental $0$ heeft. Soms kost het moeite zo’n richting te vinden, maar het kan altijd. Hoe je dat moet doen, zie je in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld:

$V$ is het vlak door $A (1,2,3)$ , $B (3,1,4)$ en $C (0,4,5)$ . Richtingen in $V$ zijn: $\vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{A C} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})$ . Bij deze twee richtingen maken we een nieuwe richting van vlak $V$ : $\vec{A B} + 2 \cdot \vec{A C} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$ . Voor elk getal $a$ staat $\vec{n} = (\begin{matrix} a \\ 5 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ loodrecht op $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$ . We zoeken een getal $a$ zo dat $\vec{n}$ ook loodrecht staat op $\vec{A B}$ (of $\vec{A C}$ ).
$\vec{A B} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow a = 4$ , een vergelijking van $V$ is dus: $4 x + 5 y - 3 z = d$ . Het punt $(1,2,3)$ ligt in $V$ , dit geeft $d = 5$ .
Een vergelijking van $V$ is dus: $4 x + 5 y - 3 z = 5$ .

Stel van de volgende vlakken een vergelijking op.

het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(2,1,‐3)$ en $(7,0,5)$
het vlak door de punten $(3,0,0)$ , $(0,‐2,1)$ en $(5,2,2)$ .
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(1,0,0)$ en $(4,1,1)$ .
het vlak door de punten $(1,1,3)$ , $(3,5,5)$ en $(0,‐1,2)$ .

De afstand van een punt tot een vlak berekenen

Voorbeeld:

In de figuur is een recht blok getekend, met $A (7,0,0)$ , $C (0,7,0)$ en $H (0,0,4)$
We bepalen de loodrechte projectie $Q$ van $O$ op vlak $A C H$ .
Een vergelijking van vlak $A C H$ is $\frac{x}{7} + \frac{y}{7} + \frac{z}{4} = 1$ . Deze vergelijking is te schrijven als $4 x + 4 y + 7 z - 28 = 0$ .
Dus de lijn door $O$ loodrecht op vlak $A C H$ heeft pv $(x, y, z) = (4 t,4 t,7 t)$ . Het snijpunt van deze lijn met vlak $A C H$ krijg je voor die waarde van waarvoor $4 \cdot 4 t + 4 \cdot 4 t + 7 \cdot 7 t = 28 \Leftrightarrow t = \frac{28}{81}$ , dus $Q$ is het punt $(\frac{112}{81}, \frac{112}{81}, \frac{567}{81})$ .
De afstand van $O$ tot vlak $A C H$ is de lengte van $O Q = \frac{28}{81} \cdot 9 = \frac{28}{9} = 3 \frac{1}{9}$ .

Gegeven is het vlak $V$ met vergelijking $2 x - 3 y + 4 z = 37$ en het punt $P (1,2,3)$ .
De loodrechte projectie van $P$ op $V$ noemen we $Q$ .

Bereken de coördinaten van $Q$ .

Bereken de afstand van $P$ tot $V$ .

Bereken de afstand van

$O (0,0,0)$ tot het vlak met vergelijking $x + 2 y + 3 z = 10$ ,
$A (1,2,3)$ tot het vlak met vergelijking $x + 2 y - 3 z = 12$ ,
$A (1,2,3)$ tot het vlak door de punten $(2,2,‐3)$ , $(0,6,0)$ en $(6,3,0)$ .

Het blok in de figuur is in een assenstelsel getekend. Het is $4$ hoog, $2$ breed en $3$ diep.

Geef een vergelijking van vlak $A C H$ .

De hoek tussen de vectoren $\vec{H A}$ en $\vec{H C}$ noemen we $α$ .

Toon aan dat $\cos (α) = \frac{8}{5 \sqrt{5}}$ .

Toon aan dat $\sin (α) = \frac{\sqrt{61}}{5 \sqrt{5}}$ .

(hint)

Gebruik

\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1

Bereken de oppervlakte van driehoek $A C H$ exact.

(hint)

Gebruik: de oppervlakte van driehoek $A B C = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin (∠ C A B)$ .

De inhoud van piramide $O A C H$ is: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4$ .

Leg dat uit.

In onderdeel d heb je de oppervlakte van driehoek $A C H$ berekend. Met dit antwoord en de inhoud van piramide $O A C H$ kun je de afstand van $O$ tot vlak $A C H$ berekenen.

Hoe? Wat vind je voor die afstand?

We werken met hetzelfde blok als in de vorige opgave.

Bereken de inhoud van de piramide $A C H F$ .

In opgave 32 is een kubus in drie stukken gezaagd. In die opgave hebben we de inhoud van het middelste stuk uitgerekend. We willen nu weten hoe 'dik' dat stuk is. Dat is de afstand van het vlak met vergelijking $x + y + z = 3$ tot het vlak met vergelijking $x + y + z = 9$

Bereken die afstand.

In het niet gekozen ontwerp voor het architectuurinstituut van Rem Koolhaas is de schoorsteen een normaal van het dakvlak.