3.5  Coördinaten en vectoren in de ruimte >
Lijnen in de ruimte

Notaties en afspraken
In de figuur is een balk in een assenstelsel getekend. Dat assenstelsel is zó gekozen dat A ( 3,0,0 ) , C ( 0,4,0 ) en H ( 0,0,5 ) . Met A B bedoelen we ook in de ruimte de vector die punt A naar punt B schuift. De vector A G is de verschuiving: 3 eenheden in de negatieve x -richting, 4 eenheden in de positieve y -richting en 5 eenheden in de positieve z -richting. We noteren dat zó: A G = ( 3 4 5 ) We noemen ‐3 , 4 en 5 de kentallen van A G . Verder schrijven we voor de vector die O naar A verplaatst ook wel a .
Dan is bijvoorbeeld f = ( 3 4 5 ) .
Met vlak O E C bedoelen we het vlak door de punten O , E en C . Dat vlak loopt in alle richtingen oneindig ver door. In dat vlak ligt bijvoorbeeld het punt E , maar ook het punt ( 30,100,50 ) , ga dat na.

1

A B C D . E F G H is een kubus. Oppervlakkig gezien lijken de lijnen F P en A H evenwijdig te lopen. Dit kan natuurlijk niet. Met vectoren kun je dat laten zien. We kiezen een assenstelsel met D als oorsprong en A ( 6,0,0 ) , B ( 0,6,0 ) en H ( 0,0,6 ) . P is het punt ( 0,2,0 ) .

a

Geef de vectoren P F en A H .

b

Hoe kun je uit a concluderen dat de lijnen F P en A H niet evenwijdig lopen?

2

T . A B C D is een regelmatige vierzijdige piramide met A ( ‐4,4,0 ) , B ( 4,4,0 ) en T ( 0,0,8 ) .

a

Geef de coördinaten van C en D .

P ligt op ribbe B T zó, dat P T = 3 B P .

b

Bepaal met gelijkvormigheid de coördinaten van P .

Een andere manier om de coördinaten van P te vinden gaat als volgt.

c

Vul in: B T = ( ) , T P = 3 B P , dus: B P = ( ) .

Je komt dus vanuit B in P door 1 eenheid in de x -richting, 1 eenheid in de y -richting en 2 eenheden in de z -richting te gaan. Dus P = ( 4 + 1,4 + 1,0 + 2 ) = ( 3,3,2 ) .

Punt R verdeelt ribbe B T zó, dat B R : B T = 3 : 7 .

d

Bereken zoals in c. de coördinaten van R .

Opmerking:

Elk punt op lijn B T kan vanuit B bereikt worden door in de richting van B T te lopen of in tegengestelde richting. Elk punt van lijn B T heeft dus coördinaten van de vorm: ( 4 + 4 t ,4 + 4 t ,0 + 8 t ) , waarbij t een willekeurig getal voorstelt.
We schrijven in het vervolg ook: ( 4 4 t ,4 4 t ,0 + 8 t ) als ( 4,4,0 ) + t ( 4, 4,8 ) en als ( 4,4,0 ) + ( 4 t , 4 t ,8 t ) .

We noemen ( x , y , z ) = ( 4,4,0 ) + ( 4 t , 4 t ,8 t ) een parametervoorstelling (pv) van lijn B T .
Dit betekent: elke waarde van t die je invult, geeft een punt van lijn B T en omgekeerd krijg je elk punt van lijn B T door een waarde van t in te vullen.
( x y z ) = ( 4 4 0 ) + t ( 4 4 8 ) is een vectorvoorstelling van lijn B T . De vector ( 4 4 8 ) geeft de richting van lijn B T aan en heet daarom richtingsvector van lijn B T .
In plaats van ( 4 4 8 ) kun je natuurlijk ook ( 1 1 2 ) of ( 1 1 2 ) als richtingsvector nemen.
De variabele t noemen we de parameter.
We schrijven in plaats van ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 ) ook ( a 1 , a 2 , a 3 ) + ( b 1 , b 2 , b 3 ) en in plaats van ( k a 1 , k a 2 , k a 3 ) ook k ( a 1 , a 2 , a 3 ) .

Opmerking:

In het voorgaande theorieblok zijn vectoren opgeteld en met getallen vermenigvuldigd. Dit alles gaat volkomen analoog aan hetgeen we eerder in het hoofdstuk in twee dimensies gedaan hebben. We zullen niet steeds alles weer opnieuw voor vectoren in drie dimensies definiëren.
Er zijn meer pv's en vectorvoorstellingen te geven van eenzelfde lijn.

3

We gaan verder met opgave 52.

a

Welk punt op ribbe B T heeft gelijke y - en z -coördinaat?

b

Ga dat na.

c

Geef een pv van lijn A T .

4

A B C O . E F G H is de kubus met A ( 4,0,0 ) , C ( 0,4,0 ) en H ( 0,0,4 ) . P is een punt in het voorvlak van de kubus. Vlak B H P noemen we V .

a

Teken op het werkblad het snijpunt van vlak V met ribbe A E .

Lijn k gaat door P en is evenwijdig aan diagonaal B H .

b

Teken het snijpunt van k met de linker zijkant van de kubus. Licht je antwoord toe.

Veronderstel dat P het punt ( 4,1,2 ) is.

c

Bereken de coördinaten van het snijpunt uit b met behulp van een pv van k .

m is de lijn door P evenwijdig aan lijn A C .

d

Teken op het werkblad het snijpunt van m met de rechter zijkant van de kubus. Licht je antwoord toe.

(hint)
Teken de doorsnede van vlak A C P met de bovenkant van de kubus. De bovenkant van de kubus wordt gesneden volgens een lijn evenwijdig aan A C .
e

Bereken de coördinaten van het snijpunt uit d.

Opmerking:

Een lantaarnpaal met lichtpunt in L werpt een schaduw van een stok op de grond.
Hieronder zie je hoe je die schaduw kunt vinden.

De schaduw van de top van de stok ligt op de lijn door de voet van de lantaarnpaal en de voet van de stok. Er is aangenomen dat de stok en de lantaarnpaal in één vlak liggen.

5

Op het werkblad is een tafel getekend met ijzeren frame en glazen blad. Het blad is 80 bij 120 cm en heeft hoogte 40 cm boven de vloer. A , B , C en D zijn de hoekpunten van het blad. Midden boven lijnstuk A B hangt een lichtpunt op hoogte 120 cm boven de vloer.

a

Teken op het werkblad de schaduw van het tafelframe op de vloer.

b

Bereken de afmetingen van de schaduw van het blad.

We voeren coördinaten in: het lichtpunt hangt in L ( 0,0,12 ) , A = ( 4,0,4 ) en C = ( 4,12,4 ) .

c

Bereken met behulp van een pv van lijn L C de coördinaten van de schaduw van C .

Op tafel ligt een muntstuk met een straal van 1 cm en middelpunt ( 2,3,4 ) .

d

Beschrijf de schaduw van het muntstuk zo volledig mogelijk. Licht je antwoord toe.

De volgende opgaven heb je voor een deel ook in het hoofdstuk Ruimtelijke figuren in het plat gemaakt. De berekeningen die je daar uitgevoerd hebt, kun je ook met parametervoorstellingen uitvoeren.

6

O A B C . D E F G is een recht blok met A ( 40,0,0 ) , B ( 0,30,0 ) en D ( 0,0,40 ) . In het blok zit een kegel met top T ( 20,15,40 ) . De grondcirkel van de kegel ligt in het O x y -vlak en heeft straal 15 . Lijn O F snijdt de kegel in twee punten S en U . Het punt dat het dichtst bij O ligt is S .

a

Teken S en U op het werkblad.

(hint)
De snijpunten liggen in vlak O B F D .

b

Teken rechthoek O B F D op schaal met daarin de doorsnede van de kegel en geef de punten S en U erin aan.

c

Bereken de hoogte van S en van U met gelijkvormigheid.

We kunnen de coördinaten van S (en U ) ook met behulp van parametervoorstellingen van lijnen berekenen.
Lijn O B snijdt de grondcirkel van de kegel in P en Q ( P ligt het dichtst bij O ).

d

Bereken de coördinaten van P .

e

Geef een parametervoorstelling van lijn T P .

Alle punten van lijn O F hebben twee coördinaten gelijk.

f

Welke en waarom?
Hoe kun je de coördinaten van S nu met behulp van de pv in d berekenen?
Klopt het met de hoogte die je in b berekend hebt?

7

T . O A B C is een regelmatige vierzijdige piramide met A ( 4,0,0 ) , C ( 0,4,0 ) en T ( 2,2,6 ) . M is het midden van ribbe A T en N van ribbe C T . In B schijnt een lampje.

a

Teken de schaduw van lijnstuk M N op de zijvlakken O A T en O C T van de piramide.

(hint)
Teken de lijn door B en M N

Het zal je niet meevallen de hoogte van de knik van de schaduw met gelijkvormigheid te berekenen. Gemakkelijker gaat dat met een parametervoorstelling.

b

Geef een pv van lijn O T , gebruik als parameter de variabele t .
Geef ook een pv van de lijn door B en het midden van M N , gebruik als parameter de variabele s .

c

Wat moet je voor s en t nemen om in beide pv's hetzelfde punt te krijgen?

d

Op welke hoogte bevindt de knik van de schaduw zich?

8

T . A B C O is een regelmatige vierzijdige piramide met A ( 6,0,0 ) , C ( 0,6,0 ) en T ( 3,3,6 ) . In het grondvlak van de piramide ligt het punt P ( 4,5,0 ) .

a

Teken de snijlijn van vlak T A P met de rechter zijkant van de piramide.

b

Teken het snijpunt van de lijn door P evenwijdig aan lijn T A met de rechter zijkant van de piramide.

S is het snijpunt van vlak T B C met de z -as.

c

Teken S op het werkblad.

d

Bereken de coördinaten van S .

9

In een woestijnachtig oorlogsgebied stijgen jagers op om de vijandelijke stellingen te bestoken.

Luchtafweergeschut probeert de jagers neer te halen. In een assenstelsel kunnen we de situatie als volgt beschrijven. In punt ( 4,12,0 ) starten de jagers in de richting ( 0,‐7,1 ) . In punt ( 8,2,0 ) worden raketten afgeschoten in de richting ( ‐4,1,1 ) .

a

Maak een tekening van de situatie in een assenstelsel.

b

Ga na dat de baan van de jagers en de baan van de raketten elkaar niet snijden.

Het afweergeschut kan niet horizontaal gedraaid worden, maar wel verticaal.

c

Wat moet de afvuurrichting (geef een vector) worden opdat de banen elkaar wel snijden?

Opmerking:

Als je het snijpunt van twee lijnen waarvan je pv’s hebt, wil berekenen, moet je verschillende variabelen voor de parameters nemen. Zie bijvoorbeeld opgave 57b. Als je dezelfde variabelen voor de parameters neemt, ga je er vanuit dat je op hetzelfde moment in het snijpunt bent.