We kiezen een oorsprong in het vlak.
Als een punt in het vlak is, dan noemen we
de vector
plaatsvector van .
We noteren de plaatsvector van als .
In de figuur is de oorsprong. De plaatsvectoren van en zijn, net als in paragraaf Op zoek naar evenwicht, geschreven als en .
Verder is er nog een vector getekend.
Teken op het werkblad de punten met voor alle mogelijke getallen .
Teken op het werkblad de punten met voor alle mogelijke getallen .
Teken op het werkblad de punten met voor alle mogelijke getallen .
In onderdeel a krijg je de lijn door evenwijdig met de vector , in b de lijn door evenwijdig met de vector en in c de lijn door evenwijdig met de vector .
Door in alle mogelijke getallen voor in te vullen, krijg je de plaatsvectoren van alle punten op de lijn door evenwijdig met .
We noemen een vectorvoorstelling van .
We noemen in deze schrijfwijze de startvector en de richtingsvector van .
Het plaatje naast het theorieblok staat ook op het werkblad.
Teken op het werkblad de lijnen met vectorvoorstelling:
|
|
|
|
Welke vectorvoorstellingen uit a zijn een vectorvoorstelling van ? Hoe komt het dat je in die gevallen dezelfde lijn krijgt (terwijl de vectorvoorstelling er anders uitziet)?
Een richtingsvector van lijn in de figuur is .
Dus is een vectorvoorstelling van lijn .
Ga dat na.
Waar liggen de punten met als je voor alleen getallen neemt met ? En als je voor alleen getallen neemt met ?
Van welke lijn is een vectorvoorstelling?
Door de regels voor het rekenen met vectoren te gebruiken, kun je herschrijven als: , ofwel , met .
Ga dat na.
Een vectorvoorstelling van lijn is:
ook wel:
, met .
In het vervolg werken we in een rooster, met daarin een -as en -as. Elk punt in het vlak kan worden aangeven door een tweetal getallen (een getallenpaar).
Het getekende punt in het rooster heeft eerste coördinaat en tweede coördinaat ; we noteren het als .
Een vector geven we ook met een getallenpaar, maar dan verticaal genoteerd. Zo geven
we de getekende vector aan met . De getallen en noemen we de kentallen van de vector.
De plaatsvector van het punt is .
In het rooster is een aantal vectoren getekend. Verder is een roosterhokje oker gemaakt.
Geef de kentallen van de vier vectoren en bereken van elke vector de exacte lengte.
Het oker hokje wordt verplaatst over vectoren van de vorm , waarbij en gehele getallen zijn.
Geef op het werkblad met oker aan welke hokjes bereikt worden.
Ontbind de vectoren en in componenten in de richtingen van en en geef de getallen en zó dat , respectievelijk .
Je kunt het werkblad gebruiken.
en
Teken de vectoren , en .
Wat zijn de kentallen van ?
Teken .
Wat zijn de kentallen van ?
Als en ,
dan
.
Als je een vector met een getal vermenigvuldigt, moet je beide kentallen met dat getal
vermenigvuldigen.
Als je twee vectoren optelt, moet je de kentallen plaatsgewijs optellen.
In formules:
Als en en een getal, dan:
en .
Op tijdstip wordt vanuit het punt een kogel afgeschoten.
De kogel beweegt in een rechte lijn, per seconde eenheden in de -richting en eenheden in de -richting.
Na seconden is de kogel in .
Er geldt: , dus .
Ga dat na.
Ergens tussen en komt de kogel tegen de wand (de lijn ).
Na hoeveel seconden precies? In welk punt?
Het antwoord op b kun je ook als volgt vinden.
De kogel komt op de wand als zijn eerste coördinaat is, dus , dus . Het punt waar de kogel zich dan bevindt, vind je door in te vullen in .
Je vindt het punt .
We noemen of een parametervoorstelling (pv) van de lijn waarlangs de kogel uit de vorige opgave beweegt. We noemen de parameter.
We schrijven de pv ook wel als: .
Voor elke waarde van krijg je een punt van de lijn en bij elk punt van de lijn is er een waarde van te vinden waarvoor je dat punt krijgt.
Teken in een rooster de punten en .
Geef een pv van de lijn .
Het punt ligt op lijn .
Hoe zie je dat met behulp van de pv van lijn ?
Een punt van de lijn is . Als je in b een andere pv hebt gegeven, controleer dan dat deze pv ook goed is.
Voor welke waarde van is een punt van de -as? En voor welke waarde van een punt van de -as?
Wat zijn dus de coördinaten van de snijpunten van lijn met de -as en de -as?
is de lijn met pv en de lijn met pv .
Teken de lijnen en in een rooster, door eerst wat punten van die lijnen te berekenen.
De lijnen en zijn evenwijdig. Dit kun je aan de pv van die lijnen zien.
Hoe?
Geef een pv van de lijn door evenwijdig aan en .
Teken de lijn met pv .
De lijn die je in d getekend hebt is . Verschillende pv's kunnen dus dezelfde lijn voorstellen.
We zeggen dat twee vectoren, beide niet , (onderling) afhankelijk zijn als ze dezelfde of tegengestelde richting hebben, oftewel veelvouden van elkaar zijn.
In het plaatje zijn en afhankelijk, en niet.
Voor welk getal zijn de vectoren en afhankelijk?
Voor welk getal zijn de vectoren en afhankelijk?
Voor welk getal zijn de vectoren en afhankelijk?
Voor welk getal zijn de vectoren en afhankelijk?
Zie figuur.
Een pv van de lijn door en vind je zo.
Een richtingsvector is .
Een vectorvoorstelling is: .
Een pv is dan: ofwel: .
Gegeven is lijn met pv .
Een pv van de lijn door evenwijdig met is:
.
Je kunt voor en dezelfde richtingsvectoren nemen.
Lijn snijdt de -as in en de -as in .
Geef een pv van .
gaat door en is evenwijdig met .
Geef een pv van .
Bereken de coördinaten van de snijpunten van met de -as en de -as.
In een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor, dus geldt het volgende.
is plaatsvector van het midden van .
Het midden van lijnstuk met en is het punt .
Een lijn in een driehoek die een hoekpunt met het midden van de tegenoverliggende
zijde verbindt, noemen we een
zwaartelijn van de driehoek.
In de figuur is driehoek getekend.
is het midden van .
Lijn is
zwaartelijn uit C van driehoek
.
Gegeven zijn de punten , en .
Geef een pv van de zwaartelijn uit van driehoek .
Gegeven is driehoek en
de lijn met vv
.
Toon aan dat deze lijn een zwaartelijn van driehoek is.
Geef een vv van de andere zwaartelijnen van driehoek .
Toon aan dat het punt met plaatsvector op alle drie de zwaartelijnen van driehoek ligt.
De zwaartelijnen van driehoek gaan dus door één punt, het zwaartepunt van de driehoek.
Toon aan dat het zwaartepunt een zwaartelijn verdeelt in de verhouding .
De zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, het zwaartepunt van de driehoek.
Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in de verhouding .