1

a

Voor de figuur, zie het volgende onderdeel.

$R$ , $S$ , $T$ en $U$ zijn de middens van opeenvolgend $A B$ , $B C$ , $C D$ en $D A$ ; $N$ is het midden van $E F$ .
Dan zijn de symmetrievlakken vlak $S U N$ en vlak $R T F E$ .

b

$M$ is het snijpunt van de lijnen $R T$ en $S U$ . De projectie van $E$ is $G$ , dat is het snijpunt van de lijn evenwijdig met lijn $M N$ met lijn $R T$ door $E$ .

c

figuur bij onderdeel c

In de figuur is symmetrievlak $R T F E$ getekend. $G$ is de projectie van $E$ op de zoldervloer. De gevraagde hoek is α.
Er geldt: $α = \tan^{‐ 1} (\frac{3}{2}) \approx 56 °$ .

d

Zie einde opgave.
$V$ is het snijpunt van de lijnen $E P$ en $A B$ . De projectie $W$ is het snijpunt van lijn $V G$ met de lijn door $P$ evenwijdig met lijn $E G$ .

e

Teken $X$ op $B C$ zó, dat $Q X$ evenwijdig is met $A B$ .
Teken $Y$ op $E F$ zó, dat $X Y$ evenwijdig is met $N S$ .
Teken het gevraagde punt $Z$ op $X Y$ zó, dat $Z Q$ evenwijdig is met $E G$ .

2

a

Teken het snijpunt $J$ van de lijnen $A P$ en $B F$ .
Teken het snijpunt $K$ van ribbe $B F$ met de lijn door $J$ evenwijdig met lijn $A H$ .
Het gevraagde punt $L$ is het snijpunt van lijn $H K$ en de lijn door $P$ evenwijdig met lijn $A H$ .

b

Teken het snijpunt $M$ van de lijnen $F P$ en $A B$ .
Het gevraagde punt $N$ is het snijpunt van lijn $D M$ en de lijn door $P$ evenwijdig met $D F$ .

3

a

Zie einde opgave.
Het punt van de knik noemen $K$ en de plaats van de lamp $Z$ . Het snijpunt van de lijnen $Z K$ en $M N$ is het punt dat de knik als schaduw heeft.

b

Lijnstuk $M N$ is de middenparallel in driehoek $A B K$ , dus $K$ is het eindpunt van de nok. $A K = \sqrt{3^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{61}$ .
Dus de knik is $2 \cdot ∠ Z K B = 2 \cdot \sin^{‐ 1} (\frac{Z B}{K B}) \approx 45,2 °$ .

c

Die blijft hetzelfde. De schaduw bestaat uit de snijlijnen van de twee dakvlakken met vlak $L M N$ , waarbij $L$ de plaats van de lamp is. In dit vlak ligt lijn $A B$ , onafhankelijk van de plaats van $L$ op $A B$ .

d

Noem de plaats van de lamp $L$ . Het gevraagde punt $X$ is het snijpunt van lijn $K L$ met lijn $M N$ . Dit ligt op $M N$ op $\frac{1}{4}$ deel van $N$ .

4

a

Teken het snijpunt $K$ van de lijnen $G M$ en $B C$ .
Teken het snijpunt $S$ van de lijnen $E B$ en $N K$ .
De schaduw is lijnstuk $N S$ .

b

Het snijpunt van lijn $G N$ met lijn $B C$ noemen we $T$ . Dan is $S$ het snijpunt van lijn $M T$ met lijnstuk $E B$ .
De driehoeken $T N B$ en $T C G$ zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor $2$ , dus $T B = 4$ .
De driehoeken $E M S$ en $B T S$ zijn gelijkvormig met vergrotingsfactor $\frac{T B}{E M} = 2$ , dus $E S : S B = 1 : 2$ .

5

a

Zie einde opgave.
$M$ is het midden van ribbe $A E$ . De schaduw bestaat uit de lijnstukken $M N$ en $M H$ .

b

De schaduw op de voorkant van de kubus is de snijlijn van vlak $G H N$ met de kubus. Bekijk de volgende drie vlakken: de voorkant van de kubus, de achterkant en vlak $G H N$ . Dit is het geval: twee evenwijdige vlakken gesneden door en derde. De snijlijnen zijn evenwijdig.

c

$P$ is het snijpunt van de lijnen $B C$ en $G N$ en $Q$ van de lijnen $A D$ en $H M$ . De schaduw is de halve lijn met beginpunt $P$ door $Q$ .
Bekijk de volgende drie vlakken: de tafel, de voorkant van de kubus en vlak $G H N$ . Dat zijn drie vlakken met drie evenwijdige snijlijnen. De snijlijn van vlak $G H N$ met de tafel is de schaduw van $G H$ .

opgave 51a

opgave 51c

6

a

Zie einde opgave.
$P$ is het snijpunt van de lijnen $B D$ en $H N$ .

b

Breng door lijn $D F$ het 'hulpvlak' $B F H D$ aan. Dit vlak snijdt vlak $B E G$ volgens lijn $B M$ , waarbij $M$ het midden van het bovenvlak van de kubus is. Het gevraagde punt $Q$ is het snijpunt van de lijnen $Q M$ en $D F$ .

opgave 52a

opgave 52b

7

We brengen een vlak $V$ door $A$ en de as van de cilinder aan. Het middelpunt van de grondcirkel is $M$ . Lijn Am snijdt de grondcirkel ook in $C$ . $V$ snijdt de cilindermantel in de lijnen door $A$ en $C$ evenwijdig met de as van de cilinder. Het gevraagde punt $D$ is het snijpunt van lijn $A B$ met de lijn door $C$ evenwijdig met de as van de cilinder.

8

Neem als hulpvlak bijvoorbeeld vlak $A D M$ . Dat snijdt vlak $B C H E$ volgens lijn $H B$ . Het gevraagde punt $P$ is het snijpunt van de lijnen $H B$ en $A M$ .

9

De hoekpunten van het grondvlak noemen we $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ en de top $T$ . Het hulpvlak is steeds $A B T$ .
In het eerste geval is de snijlijn met het grondvlak lijn $S Q$ . Het gevraagde punt $C$ is het snijpunt met deze snijlijn en lijn $A B$ .
In het tweede geval snijdt het hulpvlak ribbe $Q R$ in $U$ en is de snijlijn met het grondvlak $S U$ . Het gevraagde punt $C$ is het snijpunt met deze snijlijn en lijn $A B$ .
In het derde geval snijdt het hulpvlak de ribben in het grondvlak in $V$ en $W$ en is de snijlijn met het grondvlak $V W$ . Het gevraagde punt $C$ is het snijpunt met deze snijlijn en lijn $A B$ .

opgave 55a

opgave 55b

opgave 55

10

De top van de kegel noemen we $T$ . Neem als hulpvlak vlak $A B T$ . Dat snijdt de grondcirkel in $C$ en $D$ . Het gevraagde punt $S$ is het snijpunt van de lijnen $T D$ en $A B$ .

11

Neem als hulpvlak $V$ het vlak door $A$ en $C$ evenwijdig aan de as van de cilinder. $V$ snijdt de grondcirkel in $B$ en $D$ . Het gevraagde punt $S$ is het snijpunt van lijn $A C$ en de lijn door $D$ evenwijdig aan de as van de cilinder.

12

a

Zie einde opgave.
De schaduw $S^{'}$ van $S$ is het snijpunt van de lijnen $A^{'} B^{'}$ en $L S$ .

b

Teken het snijpunt $E$ van de lijnen $A B$ en $C D$ . De schaduw $E^{'}$ van $E$ is het snijpunt van de lijnen $A^{'} B^{'}$ en $L E$ . De schaduw $D^{'}$ van $D$ is het snijpunt van de lijnen $L D$ en $C^{'} D^{'}$ .

13

a

Lijnen met dezelfde pijlen zijn evenwijdig, evenals de stippellijn.

b

Onder een hoek van $45 °$ .