2.1  De projecties in richting van de assen >
1

De houten knoop
De houten knoop is een puzzel die bestaat uit drie stukken. Twee stukken hebben de vorm van de letter C en een stuk de vorm van de letter O.

Hoe je de knoop in elkaar moet zetten, zie je in de plaatjes hieronder.

  1. Kantel de O over een C.

  2. Schuif de tweede C bij de eerste C naar binnen.

  3. Schuif de tweede C samen met de O naar boven; schuif de O naar links.

a

Teken een bovenaanzicht van de knoop. Neem 1 2 cm als eenheid.

b

Bereken de inhoud van de knoop. Ga ervan uit dat hij massief is.

Als je de inhouden van de drie stukken waaruit de knoop bestaat bij elkaar telt, kom je erachter dat de knoop een holte heeft.

c

Wat is de inhoud van die holte?

2

Hiernaast zie een afbeelding van de Sint Petruskerk in Gulpen. De vier dakvlakken van de toren op de foto zijn ruiten. We nemen een toren met dezelfde vorm. Hij is vierkant: 8 bij 8 meter. De spits is 12 meter hoog (dat is het verticale hoogteverschil van de top en de laagste punten van de dakvlakken).

a

Teken het bovenaanzicht en het vooraanzicht van de torenspits op schaal 1 : 400 .

b

Teken in het bovenaanzicht de doorsneden van de spits op halve hoogte, op een kwart van de hoogte en op driekwart van de hoogte.

c

Bereken de oppervlakte van één dakvlak.

d

Bereken de inhoud van de torenspits.

(hint)

De inhoud van een piramide is 1 3  opp grondvlak   hoogte .

3

Drie vlakken snijden elkaar loodrecht in het punt O .

a

In hoeveel stukken wordt de ruimte verdeeld?

De drie snijlijnen zijn de x -as, de y -as en de z -as. Op deze assen is een schaalverdeling gekozen. Zo kan elk punt in de ruimte door een drietal getallen aangegeven worden.

b

Teken het punt ( 2,3, 4 ) op het werkblad.

Dit punt ligt in het stuk "vóór-rechts-onder".

c

In welk stuk ligt het punt ( 2,3,5 ) ? En ( 2, 3, 5 ) ?

We werken bij voorkeur in dat deel van de ruimte waar de coördinaten alle drie positief zijn: het positieve octant.

d

Welk stuk is dat?

e

Kun jij de term "octant" verklaren?

Gaat de bal in het doel? De hoofdtribune juicht: zij ziet de bal in het doel gaan; de F-side achter het doel joelt: de bal gaat meters naast.

Om ruimtelijke vormen te "kennen" is één aanzicht niet voldoende: een cirkel kan een aanzicht van een bol, een cilinder, een kegel of nog iets anders zijn. Een rechthoek kan een aanzicht van een cilinder zijn. We plaatsen een ruimtelijk voorwerp in een O x y z -assenstelsel, bij voorkeur in het positieve octant. Vervolgens bekijken we het voorwerp van voren (vanuit de positieve x -as), van opzij (de positieve y -as) en van boven (de positieve z -as). We noemen deze aanzichten de x-, y- en z-projectie.
De drie projecties tekenen we in een "drieluik".

Door de positieve x -assen aan elkaar te plakken vouw je het drieluik tot een ruimtelijk model van het positieve octant.

4

T . A B C D is een piramide. Pas op: de piramide is niet regelmatig. In een drieluik op het werkblad zijn de x -, y - en z -projecties getekend. Met de letters T x , T y en T z zijn de x -, y - en x -projectie van T aangegeven.

a

Zet bij de x - en y -projectie van de andere hoekpunten op het werkblad in het drieluik de juiste letters (met de juiste indices).

b

Geef de coördinaten van de hoekpunten.

c

Teken de piramide in het assenstelsel op het werkblad.

We doorsnijden de piramide met het vlak door de middens van de ribben T A , T B , T C en T D . De snijfiguur is een vierkant.

d

Kleur de projecties van de snijfiguur in het drieluik.

5

Kubus A B C D . E F G H heeft ribbe 5 .

In het drieluik op het werkblad is de lengte van een zijvlaksdiagonaal afgerond op 7 .

a

Ga na dat dit maar weinig afwijkt van de werkelijke lengte.

b

Kleur in het drieluik de aanzichten van driehoek B E D en van lijn A G .

Driehoek B E D en lijn A G snijden elkaar in S . In één van de aanzichten kun je zien hoe hoog S boven het grondvlak van de kubus ligt.

c

Bereken deze hoogte (gebruik gelijkvormigheid).

d

Wat zijn de coördinaten van S ?

e

Teken S ook in het ruimtelijke plaatje van de kubus op het werkblad.

6

A B C O . T is een regelmatige piramide waarvan alle ribben lengte 6 hebben.

a

Bereken de hoogte van de piramide.

b

Teken de aanzichten van de piramide in een drieluik.

c

Teken ook een aanzicht van de piramide waarbij je kijkt in de richting van diagonaal A C .

d

Kleur in het geschikte aanzicht de hoek tussen een zijvlak van de piramide en het grondvlak. Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

e

Kleur in het geschikte aanzicht de hoek tussen een opstaande ribbe van de piramide en het grondvlak.
Bereken die hoek in graden nauwkeurig.

7

In Nederland heb je kunstmatig aangelegde skihellingen.

Snowworld Zoetermeer

We bekijken er een van 100 meter breed, die overal even steil is. De lengte langs de helling gemeten is 150 meter, het hoogteverschil is 25 meter.

a

Wat is de hellingshoek van de skihelling (in graden, in één decimaal nauwkeurig)?

Saskia durft niet zo goed en gaat diagonaalsgewijs naar beneden.

b

Wat is de hellingshoek van haar route in graden, in één decimaal nauwkeurig?

Stefan vindt dat nog te steil en gaat zigzaggend naar beneden, met een hellingshoek van 3,5 ° .

c

Hoeveel bochten maakt hij minstens?

De hoek van een lijn en een vlak

De hoek die een lijn en een vlak met elkaar maken (dit is de hellingshoek van de lijn ten opzichte van dat vlak) is de hoek tussen de lijn en de loodrechte projectie van die lijn op het vlak.

In opgave 6e heb je als hoek tussen een opstaande ribbe en het grondvlak de hoek tussen die opstaande ribbe en een diagonaal in het grondvlak genomen. (Een deel van) die diagonaal is de loodrechte projectie van de ribbe op het grondvlak.

8

ln het drieluik op het werkblad zie je de x -, y - en z -projectie van kubus A B C D . E F G H .
B D E G is een regelmatig viervlak met ribbe 6 .

a

Teken de drie projecties van het viervlak in de kubus op het werkblad.

Het vlak op halve hoogte verdeelt het viervlak in twee congruente stukken.

b

Kleur het snijvlak in de drie projecties.

Het viervlak krijg je door van de kubus vier piramides af te snijden.

c

Bereken de inhoud van het viervlak dat je overhoudt.

We halen het viervlak uit de kubus en plaatsen het op tafel.

d

Bereken de hoogte van het viervlak.

(hint)
Gebruik onderdeel c.
e

Bereken de hoek die een ribbe van het viervlak met een grensvlak van dat viervlak maakt in graden nauwkeurig.

9

Limonadepakje
Een Sunkist-drinkkarton heeft de vorm van een regelmatig viervlak A B C D . Door een gaatje G in grensvlak B C D steek je het rietje. We houden het drinkkarton met het grondvlak evenwijdig aan het O x y -vlak, met de ribbe A B evenwijdig aan de x -as.

Op het werkblad is de z -projectie van het viervlak getekend, en is een begin gemaakt met de x -projectie.

a

Welke ribbe is in werkelijkheid even lang als zijn x -projectie?

b

Maak de x -projectie af en teken de y -projectie.

De z -projectie van G is aangegeven.

c

Teken de x - en y -projectie van G.

10

A B C O . E F G H is een balk met O ( 0,0,0 ) , A ( 4,0,0 ) , C ( 0,4,0 ) en H ( 0,0,6 ) , met daarin een cilinder met als grondvlak de ingeschreven cirkel van vierkant A B C O en hoogte 6 .

a

Teken de x -, y - en z -projectie van de balk in een drieluik met daarin de projecties van de cilinder.

Lijnstuk O F snijdt de cilinder in de punten P en Q .

b

Teken P x , P y , P z , Q x , Q y en Q z .

c

Welk percentage (in één decimaal) van lijnstuk O F zit binnen de cilinder?

V is het vlak door G , H en de middens van de ribben A E en B F . Dit vlak doorsnijdt de cilinder volgens een ellips.

d

Bepaal de lengte van de lange en de korte as van de ellips.

11

O A B C . D E F G is een kubus met O ( 0,0,0 ) , A ( 4,0,0 ) , C ( 0,4,0 ) en G ( 0,0,4 ) . In de kubus zit een bol met straal 2 . We doorsnijden de kubus-met-bol met horizontale vlak V op hoogte 1 .

a

Teken in een drieluik de kubus met bol in de x -, y - en z -projectie.
Kleur de projecties van de snijcirkel.

b

Bereken de straal van de snijcirkel.

12

Een lampenkap ligt op zijn zij op tafel. Hij heeft de vorm van een afgeknotte piramide. De randen zijn vierkanten van 8 bij 8 en 20 bij 20 cm. De lampenkap is 8 cm hoog.

a

Hoe groot is de hoek die het vierkante grondvlak van de lampenkap maakt met de tafel?

Na keuze van een assenstelsel kunnen we de situatie in een drieluik tekenen. Op het werkblad zie je de y -projectie.

b

Teken de x - en de z -projectie van de lampenkap.

c

Bereken de inhoud van de ruimte binnen de lampenkap.

13

Huis met aanbouw
Op het werkblad zie je twee projecties (aanzichten) van een huis dat een architect voor zijn bouwheer getekend heeft.

a

Teken de z -projectie.

De bouwheer wil ook een ruimtelijk plaatje van zijn toekomstige huis. De architect heeft dat bijna af.

b

Teken op het werkblad het punt waar de nok van de aanbouw door het dakvlak van de hoofdvleugel gaat. Maak het ruimtelijke plaatje af.

14

P , Q en R zijn middens van ribben van kubus A B C O . E F G H .

a

Teken in een drieluik de x -, y - en z -projectie van de kubus met daarin de projecties van de lijnen P G en Q R .
Kies als ribbe 6 cm.

In de ruimtelijke tekening lijken de lijnen P G en Q R elkaar te snijden.

b

Hoe kun je in de projecties zien dat dit niet zo is?

Een mier loopt over ribbe B C . Vanuit R wordt het zicht op punt Q niet belemmerd door lijn P G . X is het punt van ribbe B C van waaruit het zicht op punt Q wel door lijn P G belemmerd wordt: dus lijn X Q en lijn P G snijden elkaar. Het snijpunt noemen we S . Eén van de drie projecties van lijn X Q hangt niet van de plaats van X op ribbe B C af. Dit legt twee coördinaten van S vast.

c

Bepaal nu de plaats van X op ribbe B C .

Opmerking:

De lijnen Q R en P G zijn niet evenwijdig; ze snijden elkaar ook niet. We noemen de lijnen Q R en P G kruisende lijnen.

15

Bekijk de reformladder.

a

Is het mogelijk de bomen 1 en 2 in één lijn te zien?

b

En de bomen 1 en 3?

c

En de bomen 1 en 4?

d

Is het mogelijk sport 5 en 6 in één lijn te zien?

e

Kun je elk tweetal sporten in één lijn zien?

Opmerking:
  1. Je kunt twee lijnstukken in één lijn zien als die twee lijnstukken in één vlak liggen. Twee lijnen liggen in één vlak als ze elkaar snijden of als ze evenwijdig zijn.

  2. Een vlak is onbegrensd. Een vlakdeel kan wel begrensd zijn. Zo is het voorvlak van een kubus een vlakdeel, en geen vlak.
    Een lijn is aan beide kanten onbegrensd. Een lijnstuk is wel begrensd. Zo is een ribbe van een kubus een lijnstuk, en geen lijn.