12.10 Rekentechniek

Hoofdstukken > Examentraining

In deze paragraaf worden allerlei rekentechnieken herhaald.
Algebraïsch rekenen is het gereedschap dat je bij (bijna) elke examenopgave nodig hebt. Veel oefenen dus!

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$2 x - 4 = \frac{1}{2} x + \sqrt{2}$	$\frac{x}{x + 1} = ‐ 2$
$\frac{4 \frac{1}{2}}{\sqrt{x}} - 3 = 0$	$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} = \frac{x}{5} - \frac{1}{2}$

Schrijf de volgende formules van parabolen in de topvorm en geef de exacte coördinaten van de top.

$y = 4 x^{2} - 4 x - 1$	$y = ‐ x^{2} + 4 x - 7$
$y = ‐ \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + \frac{1}{2}$	$y = \frac{1}{3} x^{2} + 1 \frac{1}{3} x - 1$

Los exact op zonder gebruik te maken van de abc-formule:

$4 x^{2} + 20 x + 1 = 0$	$x^{2} - 4 \sqrt{2} x = 1$
$\frac{2}{x} + \frac{x}{2} = 3$	$\frac{1}{4} x^{2} - \sqrt{3} x + 3 = 0$

Voorbeeld:

Los exact op: $x^{2} = 2 x$ .
Een veel gemaakte fout is om links en rechts 'te delen door $x$ ', zodat je als antwoord krijgt $x = 2$ .
Dit is geen correcte werkwijze, want ook $x = 0$ is een oplossing van deze vergelijking en die ben je nu kwijtgeraakt!
Dus: je mag NIET zomaar delen door een factor waar de onbekende in voorkomt!
Beter is het om de vergelijking eerst op nul te herleiden en dan een factor buiten haakjes te halen:
$x^{2} - 2 x = 0$ $\to$ $x (x - 2) = 0$ $\to$ $x = 0$ of $x = 2$ .

Of:
Je deelt wel links en rechts door de gemeenschappelijke factor, maar je moet dan niet de oplossing vergeten waarvoor de factor waardoor je deelt nul is (als die er is).
Zie kader.

Voorbeeld:

Los exact op: $(x - 2) \sqrt{x + 6} = x (x - 2)$ .
Links en rechts staat de factor $x - 2$ , dus je krijgt dan:
$\sqrt{x + 6} = x$ of $x - 2 = 0$
$\to$ $x + 6 = x^{2}$ of $x = 2$
$\to$ $x^{2} - x - 6 = 0$ of $x = 2$
$\to$ $(x + 2) (x - 3) = 0$ of $x = 2$
$\to$ $x = ‐ 2$ (voldoet niet!) of $x = 3$ of $x = 2$
Dus er zijn twee oplossingen: $x = 2$ of $x = 3$ .

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$x^{3} - x = 0$	$x^{3} - 2 x^{2} = x^{2} + 18 x$
$x \sqrt{x - 1} = x (x - 1)$	$x (x - 2) (x + 2) = x + 2$
$\frac{1}{x} \cdot \log (3 x) = (2 x + 1) \cdot \log (3 x)$	$\frac{x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{x + 3}{2 x + 2}$

Voorbeeld:

De vergelijking $x + 2 \sqrt{x} = 3$ los je als volgt op.

$x + 2 \sqrt{x}$	$=$	$3$	de term met de wortel 'isoleren'
$x - 3$	$=$	$‐ 2 \sqrt{x}$	kwadrateren
$x^{2} - 6 x + 9$	$=$	$4 x$	op $0$ herleiden en ontbinden
$(x - 1) (x - 9)$	$=$	$0$	je vindt voorlopige oplossingen
$x = 1$	of	$x = 9$	$1$ en $9$ controleren in de oorspronkelijke vergelijking
Alleen $x = 1$ voldoet.

Dit is een algemene aanpak die meestal goed werkt bij dit type vergelijkingen met wortels. Zie kader.

De rechthoekige driehoek in de figuur heeft schuine zijde $17$ en omtrek $40$ .

Een van de rechthoekszijden noemen we $x$ .

Laat zien dat $x + \sqrt{289 - x^{2}} = 23$ .

Los de vergelijking in het vorige onderdeel exact op.

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$x = \sqrt{x + 2}$

$‐ x = \sqrt{x + 2}$

$x = \sqrt{x} + 2$

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$x - \sqrt{x} = 20$

$x - 3 \sqrt{x - 2} = 20$

Gegeven is de functie $f (x) = 5 - 4 \sqrt{1 - x}$ en de lijn met vergelijking $y = 2 x + 1 \frac{1}{2}$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn met de grafiek van $f$ .

Ongelijkheden

Voorbeeld:

Gegeven zijn de functie $f$ met $f (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ en de lijn $k$ met vergelijking $y = ‐ x + 4$ .
Vraag: voor welke $x$ geldt: $f (x) \leq ‐ x + 4$ ?

Aanpak: zie kader.

Gelijkheid oplossen:
$\frac{3 x}{x + 1} = ‐ x + 4$ $\to$ $3 x = (x + 1) (‐ x + 4) = ‐ x^{2} + 3 x + 4$
$\to$ $x^{2} = 4$ , dus $x = ‐ 2$ of $x = 2$ .
Schets met behulp van de GR:
Zie figuur.
Let met name ook op de verticale asymptoot $x = ‐ 1$ .
Juiste waarden van $x$ aangeven:
We moeten die waarden van $x$ hebben waarvoor de lijn onder de hyperbool ligt.
Zie in de figuur de gekleurde delen op de $x$ -as.
Antwoord geven: $x \leq ‐ 2$ of $‐ 1 < x \leq 2$ .

Let op: de waarde $x = ‐ 1$ behoort niet tot de oplossing, want dat is de verticale asymptoot.

Los de volgende ongelijkheden exact op.
Gebruik de stapsgewijze aanpak van hierboven.

$\frac{9}{x} \leq x$	$\sqrt{x + 1} + 5 > x$
$(x - 3) (x + 4) < x + 1$	$\frac{‐ 2}{x + 1} \leq ‐ x$

Substitutie

De oplossingen van de vergelijking $a^{2} - 3 a + 2 = 0$ zijn: $a = 1$ en $a = 2$ .
Kun je nu zonder veel te rekenen de oplossingen van de volgende vergelijkingen geven?

${(x + 5)}^{2} - 3 (x + 5) + 2 = 0$

(hint)

Substitueer in de vergelijking $a^{2} - 3 a + 2 = 0$ voor $a = x + 5$ ;
je krijgt dan de vergelijking ${(x + 5)}^{2} - 3 (x + 5) + 2 = 0$ .
Dus $x + 5 = 1$ of ... .

${(\frac{1}{x})}^{2} - 3 \cdot (\frac{1}{x}) + 2 = 0$

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 0$

$x^{4} - x^{2} = 6$

${(\log (x))}^{2} - 3 \log (x) + 2 = 0$

$2^{2 x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0$

Blijven oefenen!

Los exact op.

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 = 0$

(hint)

Substitueer $x^{2} = t$ .

$x^{6} - 7 x^{3} - 8 = 0$

$x^{5} - x^{3} - 2 x = 0$

Bereken exact voor welke $x$ geldt:

$x + \sqrt{x} = 6$

(hint)

Substitueer $a = \sqrt{x}$ .

${(x + 1)}^{3} - {(x + 1)}^{2} = 2 x + 2$

$\sqrt{x + 3} - \frac{125}{x + 3} = 0$

$\frac{1}{x + 3} + x + 3 = 2 \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} = 6$

$\log (x) - \frac{1}{\log (x)} = 0$

Stelsels vergelijkingen

Voorbeeld:

Bereken exact de getallen $a$ en $b$ waarvoor geldt:
${\begin{matrix} 2 a + 5 b = 13 \\ ‐ a + 3 b = 10 \end{matrix}$ .
Je hebt twee vergelijkingen met twee onbekenden. Dan moet je de formules zodanig proberen te combineren zodat je een van de twee variabelen kwijt raakt. Een manier om dit te doen is door beide vergelijkingen om te schrijven in de vorm $a = ...$ (of in de vorm $b = ...$ ) en ze dan aan elkaar gelijk te stellen. Dat is een correcte werkwijze, maar levert in veel gevallen lastig rekenwerk met breuken op.
Vaak is het handiger om één van de vergelijkingen om te schrijven naar $a = ...$ (of in de vorm $b = ...$ ) en die dan in de andere vergelijking in te vullen (te substitueren).
In dit voorbeeld kun je de onderste vergelijking eenvoudig omschrijven tot $a = 3 b - 10$ .
Die vul je dan in de eerste vergelijking in: $2 (3 b - 10) + 5 b = 13$ $\to$ $6 b - 20 + 5 b = 13$ $\to$ $11 b = 33$ $\to$ $b = 3$ .
Dit weer invullen in $a = 10 - 3 b$ geeft $a = ‐ 1$ .

Opmerking:

Kies de vergelijking die je omschrijft en bij de andere gaat invullen slim, zodat je geen breuken krijgt (als dat kan).
En anders vermenigvuldig je beide vergelijkingen zodanig dat de coëfficiënten voor een van beide variabelen gelijk wordt. In het voorbeeld kun je de eerste vergelijking met $3$ en de tweede met $5$ vermenigvuldigen, zodat je in beide gevallen $15 b$ krijgt: ${\begin{matrix} 6 a + 15 b = 39 \\ ‐ 5 a + 15 b = 50 \end{matrix}$ .
Allebei omschrijven naar $15 b = ...$ en dan gelijkstellen geeft dan ook de oplossing.

Bereken exact de waarden van $x$ en $y$ in de volgende stelsels.

${\begin{matrix} 3 x + 5 y = 8 \\ ‐ x + 6 y = 5 \end{matrix}$	${\begin{matrix} 2 x - 4 y = 3 \\ 4 x - 2 y = 3 \end{matrix}$
${\begin{matrix} x - 3 y = 7 \\ ‐ 5 x + 2 y = 4 \end{matrix}$	${\begin{matrix} 7 x + 5 y = 1 \\ 3 x - 4 y = 25 \end{matrix}$

In de figuur hiernaast ze je grafieken getekend van twee functies $f$ en $g$ . Op de grafieken zijn roosterpunten aangegeven.
Er geldt: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ en $g (x) = \frac{p}{q + x^{2}}$ .

Bereken exact de waarden van $a$ , $b$ , $c$ , $p$ en $q$ .

Bereken exact de waarden van $x$ en $y$ in de volgende stelsels.

${\begin{matrix} \sqrt{x} + y = 11 \\ ‐ x + y = 5 \end{matrix}$

${\begin{matrix} x^{2} + y = 5 \\ x + \sqrt{y} = 1 \end{matrix}$

Bordjesmethode

Voorbeeld:

Als in een vergelijking de onbekende maar één keer voorkomt, dan kun je de vergelijking stapsgewijs oplossen door de vergelijking uit te kleden tot je bij die onbekende komt. In de onderbouw wordt deze aanpak meestal de bordjesmethode genoemd.
Los exact op: $6 - \frac{12}{\sqrt{x^{2} - 7}} = 2$ .
Ga elke stap na:
$\frac{12}{\sqrt{x^{2} - 7}} = 4$ $\to$ $\sqrt{x^{2} - 7} = 3$ $\to$ $x^{2} - 7 = 9$ $\to$ $x^{2} = 16$
Dus: $x = ‐ 4$ of $x = 4$ .

Los de volgende vergelijkingen exact op.

${(2 x - 10)}^{3} = ‐ 125$	$2 - \frac{1}{3} \sqrt{x + 4} = 0$
$2 \cdot 3^{\sqrt{x}} = 162$	$\sqrt[3]{4 x^{2}} = \frac{9}{4}$
$1 - \sqrt{\frac{1}{3^{x}}} = \frac{8}{9}$	$2 + 3 \cdot {}^{2} \log (x + 1) = ‐ 1$

Exponenten en logaritmen

Voor het oplossen van vergelijkingen (en ongelijkheden) met exponenten en logaritmen, moet je vaak de rekenregels voor exponenten en logaritmen gebruiken.
Daarnaast is het soms handig om toe te werken naar een vorm waarbij links en rechts één logaritme staat, of links en rechts een macht met hetzelfde grondtal. Zie kader.
Opmerking: denk ook aan de substitutie-methode.

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$0,1 \cdot 10^{x} = 10 \cdot {(\sqrt{10})}^{x}$	$\frac{\sqrt{3}}{9^{x}} = \frac{1}{3} \sqrt{3^{x}}$
$\sqrt[3]{‐ \frac{2^{x}}{4}} = ‐ 2^{x}$	$\sqrt{2^{x}} = 2^{\sqrt{x}}$

$2^{x} + 2^{‐ x} = 2 \frac{1}{2}$

$2^{x} + 2^{‐ x + 1} = 3$

$4^{x} + 16 = 10 \cdot 2^{x}$

$\sqrt{3} \cdot 6^{x} = 81 \cdot 2^{x}$

(hint)

Deel links en rechts door $2^{x}$ .

${}^{5} \log (x + 1) = 2 + {}^{5} \log (x - 1)$
${}^{5} \log (x + 1) = 5 \cdot {}^{5} \log (x - 1)$
$\frac{1}{log (x)} + log (x) = 2 \frac{1}{2}$
$2 \cdot log (x) - log (x + 4) = log (2 x - 6)$
$2 \cdot log (x) - log (x + 1) = log (x - 2)$

Los de volgende ongelijkheden in $x$ exact op.

$3^{5 - 2 x} \geq 3 \sqrt{3}$	$\frac{1}{4} \cdot 2^{x} > \sqrt[3]{4}$
$100 \cdot {0,1}^{x} < \sqrt{10^{x}}$	$x \leq \frac{64}{\sqrt{x}}$
$\sqrt[3]{x} > \frac{1}{2} x$	$\frac{4}{x + 1} + \frac{4}{x - 1} \geq x$ (hint) Maak een goede schets en merk op dat er twee verticale asymptoten zijn.
$\log (x + \frac{1}{3}) \geq 1 - \log (x)$	$\log (x + 2) \geq \log (2 - x)$

Goniometrie

Los de volgende vergelijkingen exact op voor $0 \leq x \leq 2 π$ .

$2 \sin (2 x) = ‐ 1$	$2 \sqrt{2} - 3 \sin (π x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
$\sin (3 x - \frac{1}{3} π) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\cos^{2} (2 x) = \frac{3}{4}$

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. Rond in je antwoorden af op 3 decimalen.

$1 - 2 \sin (0,4 x - 1) = 0,2$ voor $‐ 10 \leq x \leq 10$
$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{10} x + 1) + 3 = 2 \frac{4}{5}$ voor $0 \leq x \leq 100$

Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op. Rond in je antwoorden af op 3 decimalen.

$\sin (2 x) > 0,3$ voor $0 < x < 5$
$2 \cos (x + 1) > 0,3$ voor $0 < x < 8$

Breuken (als toetje)

Schrijf de formule $y = \frac{4 x + 3}{2 x - 1}$ langs algebraïsche weg in de vorm $y = a + \frac{b}{2 x - 1}$ .
Bereken daarna de afgeleide (zonder de quotiëntregel te gebruiken).

Schrijf de formule $y = \frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}$ langs algebraïsche weg in de vorm $y = \frac{a}{x^{2} + b}$ .

Bereken exact voor welke waarde van $x$ geldt $f' (x) = 0$ .
(Je mag de quotiëntregel niet gebruiken.)

$f (x) = \frac{x^{2} + 6}{2 x}$

$f (x) = \frac{x - 3}{2 x^{2}}$

Succes met het examen!