$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1)-f(\mathrm{‐}1)}{1-\mathrm{‐}1}=\frac{\mathrm{‐}1-3}{2}=\mathrm{‐}2$.

Er geldt: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a)-f(\mathrm{‐}1)}{a-\mathrm{‐}1}=\frac{a^2-2a-3}{a+1}=1$ $\to$ $a^2-2a-3=a+1$ $\to$ $(a-4)(a+1)=0$ $\to$ $a=4$ (want $a=\mathrm{‐}1$ vervalt)

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1+c)-f(1-c)}{1+c-(1-c)}=\frac{c^2-1-(c^2-1)}{2c}=\frac{0}{2c}=0$
De lijn $x=1$ is symmetrieas van de grafiek van $f$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(q)-f(p)}{q-p}=\frac{q^2-2q-(p^2-2p)}{q-p}=\frac{q^2-p^2-2(q-p)}{q-p}=\frac{(q-p)(q+p)-2(q-p)}{q-p}=q+p-2$

Noem $a=x_A$, dan $x_B=a+10$; gebruik het resultaat van vraag d: $\text{rc}=a+10+a-2=\mathrm{‐}4$ $\to$ $a=\mathrm{‐}6$, dus $A(\mathrm{‐}\mathrm{6,48})$ en $B(\mathrm{4,8})$.

$\frac{\Delta N}{\Delta t}=\frac{15.864\cdot {\mathrm{1,00423}}^{15}-15.864\cdot {\mathrm{1,00423}}^{10}}{15-10}\approx \mathrm{70,6}$, dus de groeisnelheid is (ongeveer) $70.600$ inwoners per jaar.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{‐}\frac{1}{2}{a}^2+4a-(\mathrm{‐}2+8)}{a-2}=\frac{\mathrm{‐}\frac{1}{2}(a^2-8a+12)}{a-2}=\frac{\mathrm{‐}\frac{1}{2}(a-2)(a-6)}{a-2}=\mathrm{‐}\frac{1}{2}(a-6)$

$a=14$

$f(0)=\mathrm{‐}2+1+2+2=3$

Zie figuur voor twee mogelijke grafieken. Elke mogelijke grafiek door de zes aangegeven roosterpunten is correct.

In de figuur staan de twee mogelijkheden getekend met minimum bij $x=3$ en bij $x<3$. Evenzo is een grafiek te tekenen met minimum bij $x>3$.

Van $3$ tot en met $11$ een toename van $1-2-2+3+3+2-1+4=8$, dus $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{8}{8}=1$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Bijvoorbeeld $\left[\mathrm{3,7}\right]$; de toename is $1-2-2+3=0$. (Meerdere mogelijkheden!)

$\mathrm{0,8753}$; $\mathrm{0,8750}$; $\mathrm{0,875}$

Met de GR de helling bepalen bij $x=0$ geeft helling $\approx \mathrm{0,25}$, dus de hellingshoek is ${\tan }^{\mathrm{‐}1}(\mathrm{0,25})\approx 14°$; de hoek met de $y$-as is $90°-14°=76°$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{(p+\mathrm{0,01})}^2-(p+\mathrm{0,01})-(p^2-p)}{\mathrm{0,01}}=\frac{\mathrm{0,02}p-\mathrm{0,0099}}{\mathrm{0,01}}=2p-\mathrm{0,99}$;
$2p-\mathrm{0,999}$; de helling is $2p-1$

$\mathrm{0,54}$

Met de rekenmachine het punt bepalen met helling $=1$ geeft $x\approx \mathrm{3,91}$.

Met de rekenmachine $N\text{'}(20)\approx \mathrm{72,8618...}$, dus per dag is de groeisnelheid $\frac{\mathrm{72,8618...}\times 1000}{365}\approx 200$ inwoners.

$\frac{s(\mathrm{4,01})-s(4)}{\mathrm{0,01}}=\frac{\mathrm{1,33555...}-\frac{4}{3}}{\mathrm{0,01}}\approx \mathrm{0,22}$

$\left[\mathrm{4,11}\right]$

De helling van de raaklijn bepalen bij (ongeveer) 11 uur: de maximale helling is (ongeveer) $\mathrm{4,5}$ °C/uur.

De helling is nul bij $x=\mathrm{3,5}$ en $x=15$; de helling is maximaal bij (ongeveer) $x=11$; etc.

$f\text{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}=0$ $\to$ $2\sqrt{x}=x^2$ $\to$ $0=\sqrt{x}(x^{1\frac{1}{2}}-2)$ $\to$ ($x=0$ of) $x=2^{\frac{2}{3}}(=\sqrt[3]{x^2})$

$f_1$: geen extreme waarde;
$f_2$: minimum $0$ in randpunt $(\mathrm{0,0})$;
$f_3$: geen extreme waarde (ook geen beginpunt, want $f_3(0)$ bestaat niet);
$f_4$: geen extreme waarde;
$f_5$ en $f_6$: minimum $0$ in randpunt $(\mathrm{0,0})$;
$f_7\text{'}(x)=0$ geeft $x=5$, maar dit is geen minimum of maximum;
$f_8$: minimum $0$ in randpunt $(\frac{2}{5}\mathrm{,0})$;
$f_9$: minimum $1$ in randpunt $(\frac{1}{2}\mathrm{,1})$;
$f_{10}$: minimum $4$ in randpunt $(\mathrm{1,4})$.

$g\text{'}(x)=\mathrm{‐}\mathrm{0,03}{x}^2+\mathrm{0,2}x+1$;
$g\text{'}(0)=1$, dus de raaklijn in de oorsprong heeft vergelijking $y=x$;
Snijden: $\mathrm{‐}\mathrm{0,01}{x}^3+\mathrm{0,1}{x}^2+x=x$ $\to$ $x^2(x-10)=0$ $\to$ $x=0$ of $x=10$;
$g\text{'}(10)=0$, dus de raaklijn gaat door de top $(\mathrm{10,10})$.

$g\text{'}(x)=\mathrm{‐}\mathrm{0,03}{x}^2+\mathrm{0,2}x+1=1$ $\to$ $3x^2-10x=0$ ($x=0$ of) $x=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}$; $P(6\frac{2}{3}\mathrm{,8}\frac{4}{27})$

$N\text{'}=\mathrm{‐}300t^2+600t+900=0$ moet worden opgelost (dat mag met de GR): ($t=\mathrm{‐}1$ of) $t=3$, dus stijgend tot tijdstip $t=3$.

De waarde van $t$ waarvoor $N\text{'}=\mathrm{‐}300t^2+600t+900$ maximaal is moet bepaald worden (dat mag met de GR!): top bergparabool bij $t=\frac{\mathrm{‐}b}{2a}=\frac{\mathrm{‐}600}{\mathrm{‐}600}=1$

$f\text{'}(x)=g\text{'}(x)$ geeft $3x^2+6x+3=\mathrm{0,5}x+4$ $\to$ $(x+2)(3x-\mathrm{0,5})=0$ $\to$ $x=\mathrm{‐}2$ of $x=\frac{1}{6}$; $f(\mathrm{‐}2)=g(\mathrm{‐}2)=2$, dus ze raken elkaar in het punt $(\mathrm{‐}\mathrm{2,}2)$.

rc = $f\text{'}(\mathrm{‐}2)=g\text{'}(\mathrm{‐}2)=3$, dus raaklijn $y=3(x+2)+2=3x+8$.

De rc van de lijn is $\frac{1}{3}$, dus moet gelden $y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{3}$ $\to$ $\sqrt{x}=1\frac{1}{2}$ $\to$ $x=2\frac{1}{4}$, dus punt $(2\frac{1}{4}\mathrm{,1}\frac{1}{2})$.

Snijpunten: $\frac{1}{x}=\frac{1}{2}x$ $\to$ $x^2=2$ $\to$ $P(\mathrm{‐}\sqrt{2},\mathrm{‐}\frac{1}{2}\sqrt{2})$ en $Q(\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2})$;
Raaklijnen: $y=\mathrm{‐}\frac{1}{2}x-\sqrt{2}$ en $y=\mathrm{‐}\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$, dus $A(\mathrm{0,}\mathrm{‐}\sqrt{2})$ en $B(\mathrm{0,}\sqrt{2})$;
$AB=2\sqrt{2}$

$f_{\mathrm{‐}2}(x)=\mathrm{‐}2x^3-6x^2-2$; $f_{\mathrm{‐}2}\text{'}(x)=\mathrm{‐}6x^2-12x$; $f_{\mathrm{‐}2}\text{'}\text{'}(x)=\mathrm{‐}12x-12=0$ $\to$ $x=\mathrm{‐}1$; buigpunt $(\mathrm{‐}\mathrm{1,}\mathrm{‐}6)$; rc = $f_{\mathrm{‐}2}\text{'}(\mathrm{‐}1)=6$;
Buigraaklijn: $y=6(x+1)-6=6x$.

$f_a\text{'}(x)=3a{x}^2-12x$; $f_a\text{'}\text{'}(x)=6ax-12=0$ $\to$ $x=\frac{2}{a}$;
Invullen: $y=a\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^3-6\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^2+2a+2=2a+2-\frac{16}{a^2}$

$f_a\text{'}(x)=3a{x}^2-12x$, dus ${\text{rc}}_{\text{buigraaklijn}}=f_a\text{'}\left(\frac{2}{a}\right)=3a\cdot {\left(\frac{2}{a}\right)}^2-12\cdot \left(\frac{2}{a}\right)=\mathrm{‐}\frac{12}{a}$, dus $\mathrm{‐}\frac{12}{a}=\mathrm{‐}6$ $\to$ $a=2$; buigpunt $(\mathrm{1,2})$.

$f\text{'}(x)=3x^2-8x+1$ $\to$ $f\text{'}(1)=3-8+1=\mathrm{‐}4$, dus de hellingshoek van $f$ in het snijpunt is $\mathrm{‐}\mathrm{76,0}°$ (of $\mathrm{104,0}°$).
$g_1(x)=x^2+x+2$, dus $g_1\text{'}(x)=2x+1$ $\to$ $g_1\text{'}(1)=2+1=3$, dus de hellingshoek van $g_1$ in het snijpunt is $\mathrm{71,6}°$.
De hoek tussen de twee grafieken is $\mathrm{71,6}°+\mathrm{76,0}°=\mathrm{147,6}°$, dus afgerond $148°$.

$g_p(x)=p{x}^2+px-2p+4$ $\to$ $g_p\text{'}(x)=2px+p$;
Er moet gelden $f\text{'}(1)=g_p\text{'}(1)$, dus $\mathrm{‐}4=2p+p$ $\to$ $p=\mathrm{‐}\frac{4}{3}=\mathrm{‐}1\frac{1}{3}$