Gebroken lineaire functies

De algemene vorm van een gebroken lineaire functie is
$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

De grafiek is een hyperbool, behalve als $c = 0$
of als $a : c = b : d$ .

De horizontale asymptoot vind je door voor $x$ een groot getal in te vullen of een klein (erg groot negatief) getal.
De verticale asymptoot vind je door voor $x$ een zodanig getal in te vullen dat de noemer $0$ is.
Het domein is alles, behalve de waarde $x$ van de verticale asymptoot. Het bereik is alles, behalve de waarde $y$ van de horizontale asymptoot.

De grafiek van $y = \frac{1}{x}$ is de standaardhyperbool.
De $x$ -as is de horizontale asymptoot van de grafiek.
De $y$ -as is de verticale asymptoot van de grafiek.

De grafiek bij de functie $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ kun je krijgen uit de grafiek van de standaardhyperbool met een of meerdere transformaties. Daarvoor moet je de formule herschrijven naar een vorm met één variabele $x$ .

Voorbeeld:

$f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 3}$
De verticale asymptoot is als $2 x + 3 = 0$ , dus bij $x = ‐ 1 \frac{1}{2}$ .
De horizontale asymptoot:
vul $x = 1.000.000$ in, dan $y = \frac{3.999.999}{2.000.003} \approx \frac{4.000.000}{2.000.000} = 2$ , dus $y = 2$ .

Domein: alles, behalve $x = ‐ 1 \frac{1}{2}$ ; Bereik: alles, behalve $y = 2$ .

$f (x) = \frac{2 (2 x + 3) - 7}{2 x + 3} = \frac{2 (2 x + 3)}{2 x + 3} - \frac{7}{2 x + 3} = 2 - \frac{7}{2 x + 3}$
Je krijgt de grafiek van $f$ uit de standaardparabool door bijvoorbeeld achtereenvolgens de volgende transformaties uit te voeren:

$y$	$=$	$\frac{1}{x}$	$3$ naar links schuiven
$y$	$=$	$\frac{1}{x + 3}$	$V_{y -as, \frac{1}{2}}$
$y$	$=$	$\frac{1}{2 x + 3}$	$V_{x -as, ‐ 7}$
$y$	$=$	$\frac{‐ 7}{2 x + 3}$	$2$ omhoog schuiven
$y$	$=$	$2 - \frac{7}{2 x + 3}$

Kijk nog eens naar de transformaties bij de functie uit het bovenstaande voorbeeld: $f (x) = 2 - \frac{7}{2 x + 3}$ .
Je kunt de grafiek van deze functie krijgen uit de grafiek van $y = \frac{1}{x}$ door telkens de vermenigvuldiging en translatie om te draaien (zowel horizontaal als verticaal).

Welke horizontale vermenigvuldiging en translatie is dat dan? En welke verticale verschuiving en vermenigvuldiging? Laat de juistheid ook met de formule zien.

Je kunt $f$ herschrijven tot: $f (x) = 2 - \frac{3 \frac{1}{2}}{x + 1 \frac{1}{2}}$ . (Ga dat na!)
Hieruit volgt dat de grafiek van $f$ ook met slechts DRIE transformaties uit de grafiek van de standaardhyperbool kan ontstaan.

Welke transformatie is dan niet nodig? En welke transformatie wordt anders?

Bepaal bij de volgende functies achtereenvolgens:

de asymptoten
het domein en het bereik
een formule van de functie met slechts één $x$
een volgorde van transformaties waarmee de grafiek ontstaat uit de standaardhyperbool
de exacte coördinaten van de snijpunten met de coördinaatassen

$f (x) = \frac{12 x - 20}{3 x - 9}$

$g (x) = \frac{2 x}{\frac{1}{3} x - 1}$

$h (x) = \frac{3 x + 1}{1 - 2 x}$

Hiernaast zijn de punten getekend die voldoen aan het verband $(x + 3) (y - 2) = 6$ .
De bijbehorende grafiek is de grafiek van een functie $f$ .

De grafiek van $f$ lijkt een hyperbool.

Bewijs dat de grafiek inderdaad een hyperbool is door de formule te herleiden tot de vorm $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

Geef het domein en het bereik van de functie $f$ .

Het lijkt in de figuur of de lijn door de snijpunten van de grafiek met de coördinaatassen precies door het snijpunt van de asymptoten gaat.

Onderzoek of dit het geval is.

Los exact op: $f (x) \leq x$ .

Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder de grafiek van $f$ de $y$ -as snijdt.

Overlevingstijd
Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot $30$ °C ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen het te water raken en het bereiken van een lichaamstemperatuur van $30$ °C wordt de overlevingstijd genoemd.
Voor een persoon die te water is geraakt in gewone kleding en met een reddingsvest geldt de volgende formule:
$R = 15 + \frac{7,2}{0,0785 - 0,0034 T}$ met $R > 0$ en $T \geq 5,0$ .
Hierin is $R$ de overlevingstijd in minuten en $T$ de watertemperatuur in °C.

Bij een watertemperatuur van $20$ °C is de overlevingstijd groter dan bij een watertemperatuur van $10$ °C.

Bereken hoeveel keer zo groot.

Bereken op algebraïsche wijze de watertemperatuur waarbij de overlevingstijd $5,0$ uur is. Rond daarna je antwoord af op een geheel aantal graden.

In de figuur is de grafiek van $R$ als functie van $T$ geschetst. De grafiek heeft een verticale asymptoot.

Bereken de waarde van $T$ die bij de verticale asymptoot hoort en leg uit wat de betekenis van de verticale asymptoot is voor de situatie van de te water geraakte persoon.

Wortelfuncties

De functie $f (x) = \sqrt{x}$ is de standaard wortelfunctie en is gedefinieerd op domein $x \geq 0$ . Het bereik is $y \geq 0$ .
Het punt $(0,0)$ is een speciaal punt van de grafiek en wordt het randpunt (of beginpunt, of soms zelfs eindpunt) genoemd.
Zie de groene grafiek in de figuur.
De grafiek is het spiegelbeeld van de halve standaardparabool $y = x^{2}$ (voor $x \geq 0$ ), zie gestippelde grafiek, in de lijn $y = x$ .
(De functies $y = \sqrt{x}$ en $y = x^{2}$ zijn elkaars inverse voor $x \geq 0$ .)

Door combinaties van de vier transformaties (horizontaal en/of verticaal vermenigvuldigen en/of verschuiven) van de standaard wortelgrafiek krijg je wortelfuncties in de algemene vorm $y = a + b \sqrt{c x - d}$ .

Voorbeeld:

In de figuur hiernaast staat de grafiek van
$y = 1 + 2 \sqrt{6 - 2 x}$ getekend.
Deze grafiek krijg je bijvoorbeeld uit de grafiek van $y = \sqrt{x}$ als volgt:

$y$	$=$	$\sqrt{x}$	$V_{y -as, ‐ \frac{1}{2}}$
$y$	$=$	$\sqrt{‐ 2 x}$	$3$ naar rechts schuiven
$y$	$=$	$\sqrt{‐ 2 (x - 3)} = \sqrt{‐ 2 x + 6}$	$V_{x -as, 2}$
$y$	$=$	$2 \sqrt{6 - 2 x}$	$1$ omhoog schuiven
$y$	$=$	$1 + 2 \sqrt{6 - 2 x}$

Met deze transformaties in gedachten zie je direct:
het domein is

x \leq 3

en het bereik is

y \geq 1

Opmerking:

Je kunt het domein en bereik ook vinden door eerst het randpunt te berekenen: dat is als het deel onder het wortelteken gelijk is aan nul.
$6 - 2 x = 0$ $\to$ $x = 3$ $\to$ $y = 1$ , dus het randpunt is $(3,1)$ .
Gecombineerd met de schets van de functie geeft dit ook het domein en het bereik.

Bereken telkens het randpunt, het domein en het bereik.

$f (x) = ‐ 2 + 3 \sqrt{2 x - 4}$

$g (x) = 2 + \frac{3}{4} \sqrt{6 - x}$

$h (x) = 3 - \frac{1}{2} \sqrt{8 x + 12}$

Voorbeeld:

Vraag: Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van $y = 3 - 2 \sqrt{x + 4}$ en $y = x - 8$ .
Uitwerking:

$3 - 2 \sqrt{x + 4} = x - 8$	wortel isoleren
$‐ 2 \sqrt{x + 4} = x - 11$	kwadrateren
$4 (x + 4) = {(x - 11)}^{2} = x^{2} - 22 x + 121$	op nul herleiden
$x^{2} - 26 x + 105 = 0$	ontbinden (of abc-formule)
$(x - 5) (x - 21) = 0$	controleren door invullen!
$x = 5$ of $x = 21$	controleren door invullen!
alleen $x = 5$ voldoet $\to$ $y = ‐ 3$

Dus het snijpunt is

(5, ‐ 3)

In de figuur zijn de grafieken getekend van de functies
$f (x) = ‐ 1 + \sqrt{‐ 2 x + 12}$ en $g (x) = x - 2$ .
Punten $A$ en $B$ zijn de snijpunten van de grafieken van $f$ respectievelijk $g$ met de $x$ -as.

Bereken de coördinaten van het randpunt van de grafiek van $f$ .

Bereken exact de lengte van $A B$ .

Bereken exact voor welke waarden van $x$ geldt: $f (x) \leq g (x)$ .

Punt $P$ ligt op de grafiek van $f$ en punt $Q$ ligt op de grafiek van $g$ met dezelfde eerste coördinaat als $P$ .

Bereken de eerste coördinaat van $P$ (en $Q$ ) waarvoor geldt $P Q = 4$ . Rond je antwoord af op 2 decimalen.

Omdat $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ gelden voor het rekenen met wortelfuncties ook de rekenregels voor machten, ofwel:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Deze rekenregels voor wortels kun je soms handig gebruiken om formules te vereenvoudigen of anders te schrijven.

Gegeven zijn de functies $f (x) = 1 + 2 \sqrt{\frac{1}{4} x - 3}$ en
$g (x) = \sqrt{x - 12}$ .

Teken de grafieken van beide functies op de GR in één window. Wat valt je op?

Er geldt: $f (x) - g (x) = c$ .

Toon dit langs algebraïsche weg aan.

(hint)

Gebruik $2 = \sqrt{4}$ en een rekenregel voor wortels om de formule van $f$ anders te schrijven.

Met welke twee translaties krijg je de grafiek van $f$ uit de grafiek van $y = \sqrt{x}$ ?

Gegeven is het verband $3 y - 2 = \sqrt{x - 6}$ .

Herleid dit verband in de vorm $y = a + \sqrt{b x + c}$ . Geef de exacte waarden van $a$ , $b$ en $c$ .

Gegeven is het verband $T = 0,09 D^{2} + 12$ , met $D > 0$ .

Schrijf $D$ als functie van $T$ in de vorm $D = a \sqrt{T + b}$ .

Gegeven is het verband $y = 2 + \frac{2}{3} \sqrt{6 - x}$ .

Druk $x$ uit in $y$ . Schrijf de uitdrukking zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Functies schakelen

Voorbeeld:

Hiernaast zie je een blokkenfiguur opgebouwd uit $8$ kubusjes, elk met ribbe $r$ .
De totale oppervlakte noemen we $A$ en het volume $V$ .
Er geldt: $A = 34 \cdot r^{2}$ en $V = 8 \cdot r^{3}$ .
Als je $V$ kent, kun je $r$ uitrekenen en daarmee $A$ .
Je hebt de ketting $V \to r \to A$ om uit het volume de oppervlakte te berekenen.

Bekijk het voorbeeld hierboven met de blokkenfiguur.

Toon de juistheid van de formules voor $V$ en $A$ aan.

Bereken $r$ en vervolgens $A$ exact als $V = 16$ en daarna in 2 decimalen.

Schrijf $A$ als functie van $V$ in de vorm $A = b \cdot V^{c}$ . Geef hierbij de waarden van $b$ en $c$ exact.

Bereken $r$ en vervolgens $V$ exact als $A = 16$ en daarna in 2 decimalen.

Schrijf langs algebraïsche weg $V$ als functie van $A$ in de vorm $V = d \cdot A^{e}$ . Geef de waarden van $d$ en $e$ afgerond op 2 decimalen.

Hoe groter een zoogdier, hoe groter zijn hersenen. Er is een verband tussen het hersengewicht $H$ en lichaamsgewicht $G$ van een dier (beide in gram).
Voor kleine dieren geldt: $H = 0,12 G^{0,67}$ , met $H$ het hersengewicht en $G$ het lichaamsgewicht in gram.

Een muis heeft een gewicht van ongeveer $120$ gram.
Wat kunnen we aan hersengewicht van die muis verwachten? Geef je antwoord in twee decimalen.

Het verband tussen het skeletgewicht $S$ en het lichaamsgewicht $G$ beide in gram wordt gegeven door de formule $S = 0,06 G^{1,1}$ .

Een hert weegt ongeveer $150$ kg.
Hoeveel kg vlees (inclusief orgaanvlees) heeft het hert naar verwachting op zijn botten?

Als je het skeletgewicht kent, kun je daaruit het lichaamsgewicht 'terugrekenen' en daaruit het hersengewicht: $S \to G \to H$ .

Bereken het hersengewicht van een zoogdier met skeletgewicht $100$ gram.

Herschrijf de formule $S = 0,06 G^{1,1}$ tot een formule van de vorm $G = a \cdot S^{b}$ . Rond de constanten $a$ en $b$ af op vier decimalen.

Schrijf $H$ als functie van $S$ in de vorm $H = p \cdot S^{q}$ . Rond de constanten $p$ en $q$ af op twee decimalen.

Gegeven zijn de functies $f (x) = 10 x - x^{2}$ en $g (x) = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{x}$ .
We schakelen de functies na elkaar:

Dit geeft een nieuwe functie $h$ , dus $h (x) = g (f (x))$ ,
ofwel: $h (x) = 1 + \frac{1}{2} \sqrt{10 x - x^{2}}$ .
In de figuur is de grafiek van de functie $h$ getekend.

De grafiek heeft twee beginpunten (of eindpunten): $A$ en $B$ .

Bereken exact de afstand $A B$ .

De grafiek van $h$ heeft een maximum. Als je naar de grafiek kijkt, dan krijg je het vermoeden dat het maximum precies voor de waarde van $x$ midden tussen $A$ en $B$ wordt aangenomen.

Leg met behulp van de formules van de twee geschakelde functies uit dat dit inderdaad het geval is.
Wat zijn dus de coördinaten van de top van de grafiek?

Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van de grafiek van $h$ met de lijn $y = \frac{3}{8} x$ .

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{1}{1 - {(x - 2)}^{2}}$ .

De functie $f$ kun je beschouwen als een ketting van twee functies.

Welke twee functies zijn dat?

Bereken de vergelijkingen van de twee verticale asymptoten van de grafiek van $f$ .

De grafiek heeft boven de $x$ -as een (lokaal) minimum.

Bereken (zonder te differentiëren) voor welke waarde van $x$ dit minimum wordt aangenomen en bereken de coördinaten van deze top van de grafiek.

We bekijken voor elke waarde van $p$ de snijpunten van de grafiek van $f$ met de lijn $y = p$ .

Voor welke waarden van $p$ zijn er geen snijpunten? En wanneer precies één snijpunt? En twee snijpunten?

Bereken exact de waarde van $p$ als de afstand tussen de twee snijpunten met de grafiek van $f$ gelijk is aan $1$ .

Functies met een parameter en bundels grafieken

De formule $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ legt een bundel functies vast.
Of met andere notatie: $f_{a} (x) = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ .
Voor elk getal $a$ krijg je een exemplaar uit die bundel.
Bijvoorbeeld $f_{2}$ is de functie met $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 2$ .

Al die functies zijn “familie” van elkaar. In dit geval ontstaan de grafieken van de functies uit elkaar door horizontale verschuivingen, zie de figuur hiernaast.
De letter $a$ in de bijbehorende formule $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ is de parameter van de bundel.
De bijbehorende grafieken vormen een bundel grafieken.

Speciaal geval: de bundel grafieken $y = 3 + a (x - 2)$ wordt vanwege de vorm ook wel een lijnenwaaier genoemd. Een lijnenwaaier is dus een bundel rechte lijnen met verschillende richtingscoëfficiënten door een vast punt. In dit geval is dat het punt $(2,3)$ .

Gegeven is de familie wortelfuncties $f_{p} (x) = p - \sqrt{x + p}$ .

Bereken exact voor welke waarden van $p$ de oorsprong op de grafiek van $f_{p}$ ligt.

Bereken exact voor welke waarde van $p$ de grafiek door het punt $(0,2)$ gaat.

De randpunten van alle grafieken uit de bundel liggen op een rechte lijn.

Geef een formule van deze lijn. Toon de juistheid aan.

Voor een waarde van $p$ is het domein van $f_{p}$ : $x \geq 3$ .

Wat is voor deze waarde van $p$ het bereik van de functie?

Gegeven is de bundel parabolen met $y = x^{2} + 4 x + p$ .
Voor een waarde van $p$ uit de bundel raakt de grafiek de $x$ -as.

Bereken (zonder te differentiëren) exact deze waarde van $p$ .

Voor een waarde van $p$ heeft de grafiek twee snijpunten met de $x$ -as op afstand $6$ van elkaar.

Bereken exact deze waarde van $p$ .

De grafieken van $f_{p} (x) = \sqrt{p x - 4 p}$ gaan voor alle waarden van $p$ allemaal door hetzelfde punt.

Bepaal de coördinaten van dat punt en bewijs dat inderdaad alle grafieken van $f_{p}$ door dat punt gaan.

Gegeven is de lijnenwaaier $k_{a}$ met vergelijking $a x + 3 y = 12$ .
Lijn $m$ heeft vergelijking $2 x - 5 y = 20$ .

Er is een punt dat ligt op lijn $k_{a}$ voor elke waarde van $a$ . Welk punt is dat?

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de lijn $k_{a}$ evenwijdig is aan lijn $m$ .

We bekijken de familie functies $f_{a}$ met $f_{a} (x) = x^{2} - a x$ , voor alle mogelijke waarden van $a$ .
De grafiek van $f_{a}$ is een parabool. Hiernaast zijn enkele van die parabolen getekend.

Druk de coördinaten van de top van de grafiek van $f_{a}$ in $a$ uit.

In de figuur zijn de toppen van de getekende parabolen weergegeven. Zij liggen op een parabool $p$ .

Geef een formule van $p$ en toon aan dat de toppen op $p$ liggen.

Twee leden van de familie zijn de functies $f$ en $g$ met
$f (x) = x^{2} - 2 x$ en $g (x) = x^{2} - 4 x$ .
De grafiek van $g$ ontstaat uit die van $f$ door een horizontale vermenigvuldiging gevolgd door een verticale vermenigvuldiging.

Toon dat aan.

Gegeven is de familie hyperbolen door $h_{a} (x) = \frac{1}{2} a + \frac{2}{2 x - a}$ .
In de figuur is de grafiek getekend van $h_{4}$ .

Druk de vergelijkingen van de asymptoten van de grafiek van $h_{a}$ uit in $a$ .

Bereken algebraïsch voor welke waarden van $a$ de grafiek van $h_{a}$ door de oorsprong gaat.

Bereken exact de coördinaten van de getekende grafiek van $h_{4}$ met de coördinaatassen.

Voor alle waarden van $a \neq 0$ is $P$ het snijpunt met de $x$ -as en $Q$ het snijpunt van de grafiek van $h_{a}$ met de $y$ -as.
Voor de eerste coördinaat van $P$ geldt: $x = \frac{a^{2} - 4}{2 a}$ .

Toon dit aan.

Bewijs dat $O P = O Q$ .

De functie $g$ is gegeven door $g (x) = \frac{3 x - 8}{x - 3}$ .
De grafiek van functie $g$ zit in de familie $h_{a}$ .

Bepaal de waarde van $a$ en toon aan dat deze waarde van $a$ de functie $g$ geeft.