en zijn de projecties van
en op lijn
. Dan is
.
De stelling van Pythagoras in driehoek geeft: .
Oppervlakte rechthoek ;
oppervlakte driehoeken en
samen is ; dus oppervlakte trapezium .
(Anders: .)
De stelling van Pythagoras in driehoek geeft:
.
In driehoek geldt dan:
, dus
hoek is recht.
Hoek noemen we α, dan , dus ; de gevraagde hoek is .
De stelling van Pythagoras in driehoek geeft:
, dus
.
Dan .
noemen we
, dan ook
en
.
De stelling van Pythagoras in geeft:
, dus
.
;
, dus
;
De hoogte van de driehoek is . De oppervlakte is dus .
Pas de stelling van Pythagoras toe in de gearceerde driehoek.
.
Hoek hoek (overstaande hoeken) en hoek hoek (Z-hoeken).
, dus en .
Neem als basis van driehoek de zijde , dan is de hoogte
en de oppervlakte van de driehoek
.
De oppervlakte van driehoek . De andere twee driehoeken hebben dan
oppervlakte .
sin | |||||
cos |
Noem die hoek β. Pas de cosinusregel in driehoek toe;
dit geeft
en
.
Pas de cosinusregel in driehoek toe:
, dus
.
Met de sinusregel: ;
Met de cosinusregel: , dus .
Neem als basis van de driehoek, dan is de hoogte van driehoek hetzelfde als de hoogte van driehoek . Die is . De oppervlakte van de driehoek is dan .
Noem en pas de cosinusregel toe in driehoek
:
geeft:
.
Hoek noemen we α.
De cosinusregel in driehoek geeft:
, dus
, dus de gevraagde hoek is
.
Spiegel driehoek in de bissectrice van hoek , dan ontstaat de gespiegelde driehoek uit driehoek door vanuit met te vermenigvuldigen.
De oppervlakte van driehoek is van de oppervlakte van driehoek . De stukken verhouden zich dus als .
De cosinusregel in driehoek geeft: .
Hoek noemen we
β. Pas de sinusregel in driehoek toe.
, dus
, dus
.
Uit de gelijkvormigheid volgt: hoek , dus hoek .
Er geldt: ,
en
.
De cosinusregel in driehoek geeft:
, dus
en .
, dus .
Het snijpunt van en noemen we
. Dan is driehoek rechthoekig (want lijn
is de middelloodlijn van lijn , dus
.
De driehoeken en
zijn gelijkvormig, want ze hebben beide een rechte hoek en hoek
gemeenschappelijk. Dus ,
dus .
Met de cosinusregel: , dus .
Het midden van noemen we .
Het middelpunt van de cirkel is
het snijpunt van de lijn door
loodrecht op lijn en de middelloodlijn van
.
Er geldt: hoek . Noem de straal van de cirkel
, dan is , dus
en
.
;
;
;
;
;
;
Noem het middelpunt ; dan en
;
Pytagoras in : ;
Evenzo in : ;
geeft de gevraagde formule.
Met je grafische rekenmachine de vergelijking oplossen geeft .
De lengte van de hengel boven de grond is cm,
dus geldt voor de hoogte van de punt van de hengel boven de oever:
cm boven de oever, dus
cm boven het water.
Cosinusregel: , ofwel cm.
Sinusregel: (want de hoek is stomp, dus voldoet niet).
Noem het snijpunt van het hoogtelijnstuk uit
, en
;
dan twee keer Pythagoras:
en
;
Gelijkstellen:
;
;
Oppervlakte =
.