1

a

Domein: $x \geq 0$

b

De eerste top van $y = \sin (x)$ is bij $x = \frac{1}{2} π$ , dus geldt nu $\sqrt{x} = \frac{1}{2} π$
$\to$ $x = {(\frac{1}{2} π)}^{2} = \frac{1}{4} π^{2}$ .

c

$\sqrt{x} = 1 \frac{1}{2} π$ $\to$ $x = {(1 \frac{1}{2} π)}^{2} = 2 \frac{1}{4} π^{2}$

d

$\sin (\sqrt{x}) = 0$ $\to$ $\sqrt{x} = k \cdot π$ $\to$ $x = k^{2} \cdot π^{2}$ ;
Er moet gelden: ${(k + 1)}^{2} \cdot π^{2} - k^{2} \cdot π^{2} > 100$ $\to$ $k > \frac{1}{2} (\frac{100}{π^{2}} - 1) \approx 4,566$ , dus $k = 5$ . (Controle: $x_{6} - x_{5} = 36 π^{2} - 25 π^{2} \approx 108,6$ , dus klopt.)

2

a

De wortel bestaat niet als de uitkomst van de sinus negatief is.
Domein: $[0 + k \cdot 2 π, π + k \cdot 2 π]$ , met $k$ geheel.

b

Wat onder de wortel staat moet maximaal zijn, dus als $\sin (x) = 1$ $\to$ maximale waarde is $\sqrt{1} = 1$ .

c

$x = \frac{1}{2} π + k \cdot 2 π$

d

$\sqrt{\sin (x)} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ $\to$ $\sin (x) = {(\frac{1}{2} \sqrt{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ $\to$ $x = \frac{1}{6} π + k \cdot 2 π$ of $x = \frac{5}{6} π + k \cdot 2 π$ , dus $x = \frac{1}{6} π$ , $x = \frac{5}{6} π$ , $x = 2 \frac{1}{6} π$ , $x = 2 \frac{5}{6} π$ , $x = 4 \frac{1}{6} π$ , $x = 4 \frac{5}{6} π$ en $x = 6 \frac{1}{6} π$ .

3

a

$\cos (\frac{1}{2} π x) = 0$ $\to$ $\frac{1}{2} π x = \frac{1}{2} π + k \cdot π$ $\to$ $x = 1 + k \cdot 2$ , dus de grafiek is getekend op het interval $[‐ 1, 1]$ .

b

Voor de halve cirkel geldt $x^{2} + y^{2} = 1$ , dus $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ;
Op de GR: $y_{1} = \sqrt{\cos (\frac{1}{2} π x)}$ en $y_{2} = \sqrt{1 - x^{2}}$ invoeren en dan het maximum bepalen van $y_{3} = y_{2} - y_{1}$ : maximaal verschil is afgerond $0,044$ .

4

a

De maximale waarde is $1$ , als $\sin (x) = ‐ 1$ of $\sin (x) = 1$ ; bij $x = \frac{1}{2} π + k \cdot π$ .

b

De minimale waarde is $0$ , als $\sin (x) = 0$ ; bij $x = k \cdot π$ .

c

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$ $\to$ $\sin (x) = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{2}$ of $\sin (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
$\to$ $x = \frac{1}{4} π$ of $x = \frac{3}{4} π$ of $x = 1 \frac{1}{4} π$ of $x = 1 \frac{3}{4} π$

d

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$ $\to$ $\sin (x) = ‐ \frac{1}{2}$ of $\sin (x) = \frac{1}{2}$
$\to$ $x = \frac{1}{6} π$ of $x = \frac{5}{6} π$ of $x = 1 \frac{1}{6} π$ of $x = 1 \frac{5}{6} π$

e

Bijvoorbeeld: $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (x - \frac{1}{4} π))$

f

Bijvoorbeeld: $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (x - \frac{3}{4} π))$ of $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 (x + \frac{1}{4} π))$

g

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$ $\to$ $\cos (x) = ‐ \sqrt{\frac{1}{2}} = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{2}$ of $\cos (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
$\to$ $x = \frac{1}{4} π$ of $x = \frac{3}{4} π$ of $x = 1 \frac{1}{4} π$ of $x = 1 \frac{3}{4} π$

5

a

Minimale waarde: $y = 3 - 2 \sin (2 x)$ heeft minimale waarde $3 - 2 = 1$ , dus het minimum is $\sqrt{1} = 1$ ;
Maximale waarde: $y = 3 - 2 \sin (2 x)$ heeft maximale waarde $3 + 2 = 5$ , dus het maximum is $\sqrt{5}$ .

b

Minimale waarde als $2 x = \frac{1}{2} π + k \cdot 2 π$ , dus $x = \frac{1}{4} π$ en $x = 1 \frac{1}{4} π$ ;
Maximale waarde als $2 x = 1 \frac{1}{2} π + k \cdot 2 π$ , dus $x = \frac{3}{4} π$ en $x = 1 \frac{3}{4} π$

6

Het interval $[0, 20]$ wordt door het kwadrateren het interval $[0, 400]$ , dus gevraagd is het aantal nulpunten van $y = \sin (x)$ op het interval $[0, 400]$ : per periode van $2 π$ zitten twee nulpunten (en eentje extra); $\frac{400}{2 π} \approx 63,7$ , dus $128$ nulpunten.

7

a

Er is een verticale asymptoot als de noemer nul is, dus als $\sin (x) = 0$
$\to$ $x = k \cdot π$ ( $k$ geheel)

b

Minimum: als $\sin (x) = 1$ , dus $(\frac{1}{2} π,1)$ ;
Maximum: als $\sin (x) = ‐ 1$ , dus $(1 \frac{1}{2} π, ‐ 1)$

c

Formule lijn: $y = ‐ \frac{2}{π} (x - \frac{1}{2} π) + 1 = ‐ \frac{2}{π} x + 2$ , dus de coördinaten zijn $(0,2)$ ;
Anders: tussen de toppen $π$ naar rechts en $2$ naar beneden; dus $\frac{1}{2} π$ naar links geeft $1$ omhoog $\to$ $(0,2)$ .

d

$\frac{1}{\sin (x)} = ‐ 2$ $\to$ $\sin (x) = ‐ \frac{1}{2}$ $\to$ $x = 1 \frac{1}{6} π$ of $x = 1 \frac{5}{6} π$ , dus $A B = \frac{4}{6} π = \frac{2}{3} π$

e

Verschuiving $\frac{1}{2} π$ naar links; asymptoten: $y = \frac{1}{2} π + k \cdot π$ ( $k$ geheel).

f

Minimum als $\sin (x)$ maximaal is, dus bij $x = \frac{1}{2} π$ $\to$ $(\frac{1}{2} π,1)$ ; Maximum als $\sin (x)$ minimaal is, dus bij $x = 1 \frac{1}{2} π$ $\to$ $(1 \frac{1}{2} π, ‐ 3)$ .

8

a

Toppen van $y = 3 + 2 \cos (x)$ zijn $(0,5)$ en $(π,1)$ ;
Dus: top (minimum) in $(0, 2)$ en $(2 π,2)$ ; top (maximum) in $(π,10)$

b

$a$ positief: $\frac{10}{3 - a} = 20$ $\to$ $a = 2 \frac{1}{2}$ ; $a$ negatief: $\frac{10}{3 + a} = 20$ $\to$ $a = ‐ 2 \frac{1}{2}$ ;
De minimale waarde is in beide gevallen $\frac{10}{3 + 2 \frac{1}{2}} = \frac{20}{11} = 1 \frac{9}{11}$

c

Nee, want de uitkomst van de breuk kan nooit nul zijn.

d

Voor $a \geq 3$ of $a \leq ‐ 3$ , want dan wordt de noemer nul voor waarden van $x$ .

9

a

b

Voor punten op de eenheidscirkel geldt $y = \sin (t)$ en $x = \cos (t)$ , dus $y = 2 x$ wordt dan
$\sin (t) = 2 \cdot \cos (t)$ .

c

$x^{2} + {(2 x)}^{2} = 1$ $\to$ $x^{2} = \frac{1}{5}$ $\to$ $x = ‐ \sqrt{\frac{1}{5}} = ‐ \frac{1}{5} \sqrt{5}$ of $x = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ ;
coördinaten: $(\frac{1}{5} \sqrt{5}, \frac{2}{5} \sqrt{5})$ en $(‐ \frac{1}{5} \sqrt{5}, ‐ \frac{2}{5} \sqrt{5})$

d

$\cos (t) = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ $\to$ $t \approx 1,107$ ;
$\cos (t) = ‐ \frac{1}{5} \sqrt{5}$ $\to$ $t \approx 2,034...$ , maar deze voldoet niet ( $\sin (t)$ klopt niet), dus $t = 2 π - 2,034... \approx 4,249$

e

Eenheidscirkel snijden met de lijn $y = \frac{1}{2} x$ geeft $x^{2} = \frac{4}{5}$ , dus $x = \pm \frac{2}{5} \sqrt{5}$ ;
coördinaten $(\frac{2}{5} \sqrt{5}, \frac{1}{5} \sqrt{5})$ en $(‐ \frac{2}{5} \sqrt{5}, ‐ \frac{1}{5} \sqrt{5})$ ; $t \approx 0,464$ en $t \approx 3,605$

10

a

noemer nul: $\cos (x) = 0$ $\to$ $x = \frac{1}{2} π + k \cdot π$ ( $k$ geheel)

b

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$ $\to$ $\sin (x) = 0$ $\to$ $x = k \cdot π$ ( $k$ geheel)

c

Dan moet op de eenheidscirkel de $x$ - en $y$ -coördinaat gelijk zijn, dus snijpunt van de eenheidscirkel met de lijn $y = x$ .
$x^{2} + x^{2} = 1$ $\to$ $x^{2} = \frac{1}{2}$ , dus $x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2}$ ;
$\cos (x) = \sin (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ geeft $x = \frac{1}{4} π$ ;
$\cos (x) = \sin (x) = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{2}$ geeft $x = 1 \frac{1}{4} π$

d

$\cos (x) = ‐ \sin (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ geeft $x = 1 \frac{3}{4} π$ ;
$\cos (x) = ‐ \sin (x) = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{2}$ geeft $x = \frac{3}{4} π$

11

a

$\sin (α) = \frac{a}{c}$ , $\cos (α) = \frac{b}{c}$ en $\tan (α) = \frac{a}{b}$

b

$\frac{\sin (α)}{\cos (α)} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = \tan (α)$

c

α	$0$	$\frac{1}{6} π$	$\frac{1}{4} π$	$\frac{1}{3} π$	$\frac{1}{2} π$	$\frac{2}{3} π$	$\frac{3}{4} π$	$\frac{5}{6} π$	$π$
sin(α)	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
cos(α)	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$‐ \frac{1}{2}$	$‐ \frac{1}{2} \sqrt{2}$	$‐ \frac{1}{2} \sqrt{3}$	$‐ 1$
tan(α)	$0$	$\frac{1}{3} \sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$geen$	$‐ \sqrt{3}$	$‐ 1$	$‐ \frac{1}{3} \sqrt{3}$	$0$

12

Horizontale vermenigvuldiging (t.o.v. de $y$ -as) met factor $‐ 1$ (ofwel spiegelen in de $y$ -as) en dan $\frac{1}{2} π$ naar rechts schuiven.

13

a

$f (0) = 1$ , dus de vergelijking $\frac{2 - \sin (π x)}{2 + \sin (π x)} = 1$ moet worden opgelost
$\to$ $2 - \sin (π x) = 2 + \sin (π x)$ $\to$ $\sin (π x) = 0$ $\to$ $x_{A} = 0$ , $x_{B} = 1$ en $x_{C} = 2$ . Dus $A B = B C = 1$ .

b

$P (\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ en $Q (1 \frac{1}{2},3)$ , dus $P Q = \sqrt{1^{2} + {(2 \frac{2}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{73}{9}} = \frac{1}{3} \sqrt{73}$

c

$\frac{1}{2} (y_{P} + y_{Q}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} + 3) = \frac{5}{3}$ , dus $\frac{2 - \sin (π x)}{2 + \sin (π x)} = \frac{5}{3}$ $\to$ $10 + 5 \sin (π x) = 6 - 3 \sin (π x)$ $\to$ $\sin (π x) = ‐ \frac{1}{2}$ $\to$ $π x = ‐ \frac{1}{6} π + k \cdot 2 π$ of $π x = \frac{7}{6} π + k \cdot 2 π$ $\to$ $x = ‐ \frac{1}{6} + k \cdot 2$ of $x = \frac{7}{6} + k \cdot 2$ ; dus $x_{R} = ‐ \frac{1}{6}$ , $x_{S} = \frac{7}{6}$ en $x_{T} = \frac{11}{6}$ ; $R S : S T = \frac{8}{6} : \frac{4}{6} = 2 : 1$

14

a

$x \cdot \sin (x) = x$ $\to$ $x \cdot (\sin (x) - 1) = 0$ $\to$ ( $x = 0$ vervalt of) $\sin (x) = 1$
Op interval $[0,6 π]$ zijn de oplossingen $x = \frac{1}{2} π$ , $x = 2 \frac{1}{2} π$ en $x = 4 \frac{1}{2} π$
De coördinaten zijn $(\frac{1}{2} π, \frac{1}{2} π)$ , $(2 \frac{1}{2} π,2 \frac{1}{2} π)$ en $(4 \frac{1}{2} π,4 \frac{1}{2} π)$

b

Het differentiequotiënt is $\frac{f (2 π + 0,001) - f (2 π)}{0,001} = \frac{0,006284... - 0}{0,001} \approx 6,28$

15

a

${(\sin (x) \cdot \cos (x))}^{2} = 0$ $\to$ $\sin (x) \cdot \cos (x) = 0$ $\to$ $\sin (x) = 0$ of $\cos (x) = 0$ ;
Dit geeft de oplossingen $x = 0$ , $x = π$ en $x = \frac{1}{2} π$

b

Met de GR een minimum en maximum bepalen: $(0,0)$ en $(0,785398...; 0,25)$ ;
De evenwichtswaarde $a = \frac{1}{2} (0 + 0,25) = 0,125$ en de amplitude $b = 0,125$ ;
De periode is twee keer het verschil van de $x$ -waarden van de twee toppen, dus periode $\approx 1,570796...$ ; $c = \frac{2 π}{1,570796...} \approx 4$
Of exacte aanpak:
De top ligt midden tussen de nulpunten $x = 0$ en $x = \frac{1}{2} π$ ;
$f (\frac{1}{4} π) = {(\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2})}^{2} = \frac{1}{4}$ , dus $a = \frac{1}{8}$ en $b = \frac{1}{8}$ ;
Uit de nulpunten volgt dat de periode $\frac{1}{2} π$ is, dus $c = \frac{2 π}{\frac{1}{2} π} = 4$

16

a

$x + \cos (x) = x$ $\to$ $\cos (x) = 0$ , dus $x = ‐ \frac{1}{2} π$ , $x = \frac{1}{2} π$ en $x = 1 \frac{1}{2} π$

b

$h (0) = 0,9995$ en $f (0) = 1$ , dus raaklijn $y = 0,9995 x + 1$

c

Er moet gelden $h (x) = \frac{1}{2}$ ; met de GR geeft dit $x \approx 0,523...$ en $x \approx 2,617...$ ;
$f (0,523...) \approx 1,389...$ , dus $c = 1,389... - \frac{1}{2} \cdot 0,523... \approx 1,13$ ;
$f (2,617...) \approx 1,7517...$ , dus $c = 1,7517... - \frac{1}{2} \cdot 2,617... \approx 0,44$

17

a

(begin) mei (zie 'Annual Cycle' in kader)

b

$3$ tot $3,5$ ppmv (lijkt de laatste jaren iets groter te zijn geworden)

c

Twee waarden aflezen: in 1970 ( $t = 12$ ) geldt $C = 325$ en in 2008 ( $t = 50$ ) geldt $C = 385$ ;
invullen geeft twee vergelijkingen $325 = 144 a + 12 b + 315$ en $385 = 2500 a + 50 b + 315$
$\to$ $a = 0,015$ en $b = 0,654$
(andere afgelezen waarden geven andere waarden)

18

a

b

$h (x) = 4 - \frac{1}{2} x$ ; $a = 2$

19

De trendlijn is de standaard sinusoïde: $y = \sin (x)$ ;
De fluctuatie heeft periode $\frac{2 π}{20}$ en amplitude van (ongeveer) $0,2$ : $y = 0,2 \sin (20 x)$
Dus: $y = \sin (x) + 0,2 \sin (20 x)$