1

We bekijken de volgende ketting van functies:
$x \to$ [WORTEL] $\to$ $\sqrt{x}$ $\to$ [SINUS] $\to$ $y = \sin (\sqrt{x})$
Hiernaast staat een deel van de grafiek van deze functie getekend. De twee schaalverdelingen zijn verschillend.

a

Wat is het domein van deze functie?

b

Leg uit dat de eerste top van de grafiek zit bij $x = \frac{1}{4} π^{2}$ .

c

Bereken exact de $x$ -coördinaat van de tweede extreme waarde van de grafiek.

We nummeren de nulpunten: $x_{0} = 0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, ...$ .
In de grafiek zijn $x_{0}$ t/m $x_{2}$ aangegeven.
Twee opeenvolgende nulpunten $x_{k}$ en $x_{k + 1}$ liggen steeds verder uit elkaar.

d

Onderzoek voor welke waarde van $k$ dit verschil voor het eerst groter dan $100$ is.

2

We bekijken de volgende ketting van functies:
$x \to$ [SINUS] $\to$ $\sin (x)$ $\to$ [WORTEL] $\to$ $y = \sqrt{\sin (x)}$
Hieronder staat een grafiek van deze functie getekend.

a

Verklaar dat de grafiek uit losse boogjes bestaat.
Wat is het domein van deze functie? (Gebruik de letter $k$ voor elk willekeurig geheel getal.)

b

Bereken exact de maximale waarde van deze functie.

c

Bij welke waarden van $x$ wordt deze maximale waarde aangenomen? (Gebruik weer de letter $k$ .)

d

Los exact op voor $0 < x < 20$ : $\sqrt{\sin (x)} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

3

Hiernaast staat één boogje van de grafiek van de functie
$y = \sqrt{\cos (\frac{1}{2} π x)}$ getekend.

a

Bepaal (zonder je rekenmachine te gebruiken) voor welke waarden van $x$ de grafiek getekend is.

De grafiek lijkt erg veel op een halve cirkel met straal $1$ en middelpunt $(0,0)$ , maar is dat niet.

b

Bereken met de GR hoe groot het maximale verticale verschil is tussen de grafiek van deze functie en de genoemde halve cirkel. Rond af op 3 decimalen.

(hint)

Geef eerst een formule van de cirkel en schrijf deze in de vorm $y = ...$ ; kijk dan naar het verschil tussen de twee functies.

4

We bekijken voor elke waarde van $x$ de volgende ketting van functies:
$x \to$ [SINUS] $\to$ $\sin (x)$ $\to$ [KWADRAAT] $\to$ $y = \sin^{2} (x)$

Het bereik van het eerste deel van deze ketting, dus van $y = \sin (x)$ , is het interval $[‐ 1, 1]$ .
In het tweede deel van de ketting worden deze waarden gekwadrateerd.

a

Wat is (dus) de maximale waarde van deze functie? Hoe groot is dan $\sin (x)$ ?
Bij welke waarden van $x$ wordt deze maximale waarde aangenomen?

b

Wat is de minimale waarde van deze functie? Hoe groot is dan $\sin (x)$ ?
Bij welke waarden van $x$ wordt deze minimale waarde aangenomen?

c

Los exact op voor $0 \leq x \leq 2 π$ : $\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$ .

d

Los exact op voor $0 \leq x \leq 2 π$ : $\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$ .

Hieronder staat de grafiek van $y = \sin^{2} (x)$ getekend.

De grafiek is een sinusoïde, dus geldt:
$\sin^{2} (x) = a + b \cdot \sin (c \cdot (x - d))$ voor bepaalde waarden van $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .

Opmerking:

Je moet nu maar even geloven dat dit inderdaad een echte sinusoïde is en er niet alleen op lijkt. Het bewijs hiervoor behoort niet tot de stof voor havo wisB. Als je het toch per se wilt weten, dan kun je vast wel een bewijs op internet vinden.

e

Geef zo'n formule in de vorm $y = a + b \sin (c (x - d))$ .

Ook de grafiek van de functie $y = \cos^{2} (x)$ is een sinusoïde.

f

Teken de grafiek van $y = \cos^{2} (x)$ op je GR en geef een bijbehorende formule in de vorm $y = a + b \sin (c (x - d))$ .

g

Los exact op voor $0 \leq x \leq 2 π$ : $\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$ .

5

Teken op de GR de grafiek van $y = \sqrt{3 - 2 \sin (2 x)}$ op het interval $0 \leq x \leq 2 π$ .

a

Bereken exact (met de formule) de maximale en minimale waarde van deze functie.

(hint)

Bekijk de functie als ketting.

b

Bij welke exacte waarden van $x$ worden deze extreme waarden aangenomen?

6

Hieronder staat de grafiek van de functie $y = \sin (x^{2})$ .

Bereken het aantal nulpunten van deze functie op het interval $0 \leq x \leq 20$ .

7

Hiernaast staat een deel van de grafiek van de volgende samengestelde functie getekend:
$x \to$ [SINUS] $\to$ $\sin (x)$ $\to$ [OMGEKEERDE] $\to$ $y = \frac{1}{\sin (x)}$

De grafiek heeft oneindig veel verticale asymptoten: ze herhalen zich periodiek.

a

Leg met de formule uit wat de vergelijkingen van de verticale asymptoten zijn.

b

Bereken exact (dus zonder rekenmachine) de coördinaten van de twee toppen van het getekende deel van de grafiek.

De lijn door de twee getekende toppen snijdt de $y$ -as.

c

Bereken exact de coördinaten van dit snijpunt met de $y$ -as.

De lijn $y = ‐ 2$ snijdt het getekende deel van de grafiek in twee punten $A$ en $B$ .

d

Bereken exact de afstand $A B$ .

e

Met welke transformatie krijg je de grafiek van $y = \frac{1}{\cos (x)}$ uit de grafiek van $y = \frac{1}{\sin (x)}$ ?
Wat zijn (dus) de verticale asymptoten van deze grafiek?
Controleer je antwoorden met de grafiek op je GR.

f

Geef met een redenatie de exacte coördinaten van de eerste twee toppen van de grafiek van $y = 1 + \frac{4}{\sin (x)}$ .

8

We bekijken voor elke waarde van parameter $a$ de functie
$y = \frac{10}{3 + a \cos (x)}$ .
Hiernaast staat de grafiek getekend voor $a = 2$ , dus van
$y = \frac{10}{3 + 2 \cos (x)}$ .

De grafiek van $y = \frac{10}{3 + 2 \cos (x)}$ heeft een minimum als de noemer maximaal is. En andersom: de grafiek heeft een maximum als de noemer minimaal is.
Let op: dit geldt omdat de teller een constante is!

a

Geef de exacte coördinaten van de drie toppen van het getekende deel van de grafiek van $y = \frac{10}{3 + 2 \cos (x)}$ .

Voor een bepaalde waarde van $a$ is de maximale waarde van de functie $y = \frac{10}{3 + a \cos (x)}$ gelijk aan $20$ .

b

Bereken deze waarde van $a$ .
Wat is in dat geval de minimale waarde?

c

Is er een waarde van $a$ waarvoor de grafiek de $x$ -as raakt? Leg uit.

d

Voor welke waarden van $a$ heeft de grafiek verticale asymptoten? Licht toe.

9

Teken een eenheidscirkel.

a

Teken een eenheidscirkel en de lijn met vergelijking $y = 2 x$ .

In de getekende snijpunten geldt: $\sin (t) = 2 \cdot \cos (t)$ .

b

Leg dit uit.

c

Bereken de exacte coördinaten van de snijpunten.

(hint)

De eenheidscirkel heeft als vergelijking $x^{2} + y^{2} = 1$ .

d

Bereken in drie decimalen nauwkeurig de bijbehorende waarden van $t$ tussen $0$ en $2 π$ .

e

Herhaal het bovenstaande om de volgende vergelijking op te lossen:
$\sin (t) = \frac{1}{2} \cos (t)$ .

10

Hiernaast staat de grafiek getekend van $y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

De grafiek heeft oneindig veel verticale asymptoten: ze herhalen zich periodiek.

a

Leg met de formule uit wat de vergelijkingen van de verticale asymptoten zijn.

b

Bereken exact de nulpunten van deze functie.

De vergelijking $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 1$ geeft $\sin (x) = \cos (x)$ .
Deze vergelijking kun je exact oplossen door naar de eenheidscirkel te kijken.

c

Leg dat uit.
Bereken nu de exacte oplossingen van de vergelijking $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 1$ voor $0 \leq x \leq 2 π$ .

d

Bereken exact voor welke $0 \leq x \leq 2 π$ geldt: $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = ‐ 1$ .

11

In rechthoekige driehoeken kenden we al de tangens.
We gaan bovenstaande formule controleren in de rechthoekige driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ en hoek α.

a

Druk $\sin (α)$ , $\cos (α)$ en $\tan (α)$ uit in $a$ , $b$ en $c$ .

b

Laat zien dat geldt $\frac{\sin (α)}{\cos (α)} = \tan (α)$ .

Omdat je van de sinus en de cosinus een aantal exacte waarden kent, kun je van dezelfde hoeken ook de exacte waarde van de tangens berekenen. Dus óók voor waarden van α waarbij je geen rechthoekige driehoek kunt tekenen.

c

Neem de tabel hieronder over en vul op de open plekken exacte waarden in. Gebruik geen rekenmachine. Vereenvoudig je uitkomsten.

α	$0$	$\frac{1}{6} π$	$\frac{1}{4} π$	$\frac{1}{3} π$	$\frac{1}{2} π$	$\frac{2}{3} π$	$\frac{3}{4} π$	$\frac{5}{6} π$	$π$
sin(α)
cos(α)
tan(α)

12

Teken op je GR de grafiek van $y = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ en vergelijk deze met de grafiek van $y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Door welke transformaties en in welke volgorde, kun je de grafiek van $y = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ uit de grafiek van $y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ krijgen?

13

Hiernaast staat de grafiek getekend van de functie
$f (x) = \frac{2 - \sin (π x)}{2 + \sin (π x)}$ .

De grafiek van $f$ snijdt de $y$ -as in punt $A$ . De horizontale lijn door $A$ snijdt de grafiek van $f$ in de punten $B$ en $C$ .

a

Bewijs dat $A B = B C$ .

Top $P$ zit midden tussen $A$ en $B$ en top $Q$ zit midden tussen $B$ en $C$ .

b

Bereken exact de lengte $P Q$ .

De horizontale lijn $y = \frac{1}{2} (y_{P} + y_{Q})$ snijdt de grafiek van $f$ in de punten $R$ , $S$ en $T$ zoals in de figuur hiernaast aangegeven.

c

Bereken exact de verhouding $R S : S T$ .

(hint)

Bereken eerst de waarde van $\frac{1}{2} (y_{P} + y_{Q})$ .

14

Op het domein $[0,6 π]$ is de functie $f$ gegeven door
$f (x) = x \cdot \sin (x)$ . (Teken deze functie op je GR.)

De lijn met vergelijking $y = x$ heeft behalve de oorsprong nog drie punten gemeenschappelijk met de grafiek van $f$ .

a

Bereken exact de coördinaten van deze punten.

De helling van de grafiek van $f$ in het punt $(2 π,0)$ is te benaderen door een differentiequotiënt met $Δ = 0,001$ te berekenen.

b

Benader op deze manier de helling van de grafiek van $f$ in dit punt. Rond je antwoord af op twee decimalen.

15

In de figuur is de grafiek getekend van de functie $f$ gegeven door $f (x) = {(\sin (x) \cdot \cos (x))}^{2}$ .

a

Bereken op algebraïsche wijze de $x$ -coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de grafiek van $f$ en de $x$ -as op het interval $[0, π]$ .

De grafiek van $f$ kan ook worden beschreven door middel van één enkele cosinusfunctie. Er geldt $f (x) = 1 - b \cdot \cos (c x)$ .

b

Bereken $b$ en $c$ .

16

De functie $f$ is gegeven door $f (x) = x + \cos (x)$ .
In de figuur staat de grafiek van $f$ getekend en de lijn $y = x$ op het interval $[‐ π,2 π]$ .

a

Bereken exact de $x$ -coördinaten van de snijpunten van beide grafieken op dit interval.

We maken de nieuwe functie $h$ als volgt:
$h (x) = \frac{f (x + 0,001) - f (x)}{0,001}$ .
De functie $h$ is een goede benadering van de hellingfunctie van $f$ .

b

Bereken $h (0)$ en geef hiermee een benadering van de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het snijpunt met de $y$ -as.

Voor elke waarde van $c$ bekijken we de lijn met vergelijking $y = \frac{1}{2} x + c$ .
In de tweede figuur staan voor twee waarden van $c$ de lijn getekend voor het geval de lijn raakt aan de grafiek van $f$ . Hierbij is ingezoomd op de grafiek.

c

Bereken deze twee waarden van $c$ afgerond op 2 decimalen.

(hint)

Gebruik de functie $h$ .

17

Kooldioxide
Vanaf 1958 wordt over de hele wereld de concentratie kooldioxide in de lucht gemeten. Kooldioxide is een van de belangrijkste 'broeikasgassen' en zorgt voor opwarming van de aarde.
In de grafiek hieronder staan de metingen van het CO₂-gehalte in Hawaii weergegeven.
(ppmv = parts per million by volume = aantal cm³ per m³)

a

Op welk moment in het jaar is de CO₂-concentratie het hoogst?

(hint)

Kijk naar de Annual Cycle.

De grafiek kun je opgebouwd denken uit twee grafieken: een trend (weergegeven door de rode lijn) en daarbij opgeteld een fluctuatie die zich elk jaar herhaalt.

b

Wat is (ongeveer) de amplitude van de jaarlijkse fluctuatie?

Volgens sommige klimaatonderzoekers lijken de concentraties een zogenaamde Keeling curve te volgen: de (rode) trendlijn is een parabolische functie met sterke seizoensinvloed (de schommelingen eromheen).
Bij de parabolische trendlijn past een formule van de vorm
$C = a t^{2} + b t + 315$ , waarbij $C$ de CO₂-concentratie is en de tijd $t$ in jaren sinds 1958.

c

Bereken de waarden van $a$ en $b$ . Rond af op 3 decimalen.

(hint)

Lees twee punten af in de grafiek en maak een stelsel van twee vergelijkingen.

18

Een lijn plus een sinusoïde
Gegeven zijn de functies $f (x) = \frac{1}{2} x + 1$ en $g (x) = \sin (π x)$ .
De somfunctie van $f$ en $g$ is de functie $s (x) = f (x) + g (x)$ .

a

Teken op de GR de grafieken van $f$ , $g$ en $s$ . Kies een geschikt window.

Hieronder staat de grafiek van een dergelijke somfunctie $s$ als som van twee andere functies: $s (x) = h (x) + a \cdot \sin (x)$ .
Hierin is $h$ een lineaire functie.

b

Geef een formule van $h$ en bepaal de waarde van $a$ . Gebruik de figuur op het werkblad.

19

Een sinusoïde plus een sinusoïde
De trendlijn waaromheen de tweede beweging schommelt, kan behalve een rechte lijn of een parabool ook zelf een sinusoïde zijn.

Stel een formule op voor de onderstaande grafiek.
Controleer je antwoord op de GR.