10.1  Exponentiële groeiprocessen >

We herhalen het onderwerp exponentiële groei.

1

Kanker is een van de belangrijkste doodsoorzaken. Een kwaadaardig gezwel ontstaat als een normale lichaamscel verandert in een tumorcel, die gaat zich dan op eigen houtje delen. Bij de eerste deling ontstaan twee tumorcellen, bij de volgende deling vier, daarop acht, dan zestien, enzovoort.

a

Hoeveel tumorcellen zijn er na de vijfde en na de zesde deling?

b

Na hoeveel delingen zijn er meer dan 2000 tumorcellen?

c

Zoek met je rekenmachine uit na hoeveel delingen er meer dan een miljoen tumorcellen zijn.

Zeg dat een tumorcel een inhoud heeft van 1  miljoenste mm3.

d

Ga na dat er dan na veertig delingen een tumor is van meer dan 1  dm3.

2

Op een gegeven moment (tijdstip 0 ) zijn er in een kweek 1000  bacteriën. We veronderstellen dat de bacteriën zich gemiddeld elk uur delen.

a

Hoeveel bacteriën zijn er na t  uur?

b

Wat is de exacte groeifactor per half uur?
Geef een formule voor het aantal bacteriën na t  halve uren.

c

Wat is de exacte groeifactor per kwartier?
Geef een formule voor het aantal bacteriën na t  kwartieren.

3

Hoe dieper je onder water komt, des te donkerder het wordt. Licht dat op water valt wordt gedeeltelijk geabsorbeerd. Hoe troebeler het water, hoe minder licht het doorlaat.
In zeewater bijvoorbeeld, is de hoeveelheid licht op 1  meter diepte ongeveer 75 % van de hoeveelheid licht dat op het wateroppervlak valt.
De hoeveelheid licht op 2 meter diepte is 75 % van 75 % van de oorspronkelijke hoeveelheid licht die op het water valt.

a

Hoeveel procent is dat?

y is de hoeveelheid licht (in procenten van de oorspronkelijke hoeveelheid) op x  meter diepte.

b

Geef een formule voor y uitgedrukt in x .

c

Stel een vergelijking op om te berekenen op welke diepte de hoeveelheid licht 10 % van de oorspronkelijke hoeveelheid is.

d

Los deze vergelijking op met de GR (gebruik de optie 'solver' of 'intersect').

De groeifuncties in de voorgaande opgaven vertonen alle dezelfde eigenschap:
de hoeveelheid één tijdseenheid later (of één lengte-eenheid dieper) krijg je door de hoeveelheid nú (of op deze hoogte) met een bepaalde factor te vermenigvuldigen.
Deze vorm van groei noemen we exponentiële groei.
Een hoeveelheid H groeit dus exponentieel in de tijd t als H gedurende elke tijdseenheid een vaste factor keer zo groot wordt: de groeifactor.
Als de beginhoeveelheid b is en de groeifactor g , dan moet er na elke tijdseenheid met g vermenigvuldigd worden.

t

0

1

2

3

H ( t )

b

b g

b g g

b g g g

Algemeen: H ( t ) = b g t .

Exponentiële groei kan razend snel gaan, dat zie je bijvoorbeeld in opgave 1.
In maart 2014 brak de besmettelijke ziekte ebola uit in West-Afrika.
In september van dat jaar begon men zich ernstig zorgen te maken zoals uit onderstaand bericht op Nos.nl blijkt.
dinsdag 23 sep 2014, 11:24 (Aangepast op 23-09-14, 15:53)
Door redacteur gezondheidszorg Rinke van den Brink
Als er niet heel snel ingegrepen wordt gaat de groei van ebola exponentieel door en zullen er begin november meer dan 20.000 mensen besmet zijn. Dat staat in een artikel van het Ebola Response Team van de WHO dat vandaag verschenen is in de New England Journal of Medecine (NEJM).

4

In een artikel op internet in oktober 2014 over de ebola-epidemie staat het volgende.
Zolang er geen maatregelen genomen worden, en zolang het aantal zieken relatief klein is vergeleken met het totale bevolkingsaantal, zal het aantal patiënten exponentieel blijven stijgen. In de begindagen van de huidige ebola-epidemie gebeurde dit a rato van een verdubbeling om de twintig dagen.
Bron: http://www .express .be/business/nl/economy/hoe-snel-verspreidt-ebola-zich/208525 .htm

a

Wat was gedurende de begindagen de groeifactor per dag, afgerond op 3 decimalen?

b

Met hoeveel procent nam het aantal patiënten per dag toe?

5

Aan water wordt suiker toegevoegd. De suiker lost langzaam op: van de suiker die er op een bepaald moment nog over is, lost in de volgende minuut 20 % op. Om 12.00  uur is 125 gram suiker over. Het aantal grammen suiker dat er t minuten na 12.00  uur over is noemen we A ( t ) .

a

Wat is de groeifactor per minuut van de hoeveelheid suiker die over is?

b

Geef een formule voor A ( t ) .

c

Hoeveel gram suiker was er 2  minuten voor 12.00  uur over?

d

Stel een vergelijking op om te berekenen na hoeveel tijd op 1  gram na alle suiker is opgelost. Los deze vergelijking op met je GR. Na hoeveel minuten en seconden is dat?

Door het water te verwarmen lost de suiker sneller op: na 3 minuten is dan al 80 % opgelost.

e

Wat is nu de (exacte) groeifactor per minuut?
Bereken met een vergelijking na hoeveel tijd op 1  gram na alle suiker is opgelost.

Stel dat een hoeveelheid exponentieel groeit en dat de hoeveelheid in 6  uur tijd 5 keer zo groot wordt.
Dan geldt voor de groeifactor g per uur: g 6 = 5 .
Dus g = 5 1 6 = 5 6 .
Afgerond op 3 decimalen is g = 1,308 , dus neemt de hoeveelheid per uur met 30,8 % toe.

6

De prijzen stijgen gemiddeld met 2 % per jaar.

a

Met hoeveel procent stijgen de prijzen in 10 jaar (in één decimaal nauwkeurig)?

Een luchtballon loopt langzaam leeg, elke dag met 3 %.
Op een gegeven moment ( t = 0 ) zit er 5 liter lucht in.

b

Geef een formule voor de hoeveelheid lucht H in de ballon (in liter) na t  dagen.

c

Hoeveel procent lucht verdwijnt er per week uit de ballon (in één decimaal nauwkeurig).

Een hoeveelheid groeit per 70 % per week.

d

Bereken in één decimaal nauwkeurig met hoeveel procent de hoeveelheid per dag groeit.

Als een hoeveelheid met 2 % per uur afneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 0,98 per uur.
Als een hoeveelheid met 2 % per uur toeneemt, groeit die hoeveelheid exponentieel met groeifactor 1,02 per uur.

Halfwaardetijd en verdubbelingstijd
7

In 1986 vond er een explosie plaats in de kerncentrale van Tsjernobyl in de toenmalige Sovjetunie: de grootste kernramp in de geschiedenis. Daarbij kwamen veel radioactieve stoffen vrij. Deze stoffen vervallen: onder het uitzenden van straling veranderen ze in een stof die niet meer radioactief is.
De radioactiviteit neemt dus af. En dat gebeurt exponentieel.
Een van de vrijgekomen stoffen in Tsjernobyl was Cesium-141. Van Cesium-141 neemt de radioactiviteit jaarlijks af met 2 %.

a

Geef een formule voor het percentage straling dat er nog over is na t jaar.

b

Bepaal met je rekenmachine hoeveel jaar het ongeveer duurt voordat de straling gehalveerd is.

8

Halfwaardetijd is een begrip uit de natuurkunde. Het geeft aan hoe lang het duurt voordat de straling gehalveerd is. Het begrip halfwaardetijd wordt ook wel gebruikt bij andere zaken dan radioactiviteit. Stel dat wij 100 mg Pu-238 (plutonium) hebben. De halfwaardetijd van Pu-238 is negen jaar; dat wil zeggen dat er na negen jaar nog de helft van over is.

a

Hoeveel mg Pu-238 is er dan nog na 27  jaar?

b

Hoeveel procent van het Pu-238 vervalt er jaarlijks?

c

Stel een formule op voor de hoeveelheid Pu-238 na t  jaar.

Veronderstel dat een hoeveelheid stof (of andere grootheid) exponentieel in de tijd afneemt. De tijd waarin die hoeveelheid halveert, noemen we de halfwaardetijd van die stof.
Als het niet om radioactiviteit gaat wordt deze tijdsduur ook wel de halveringstijd genoemd.
Evenzo:
Een hoeveelheid stof (of andere grootheid) neemt exponentieel toe. De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt, noemen we de verdubbelingstijd.

9

Het aantal PIN-transacties in Nederland is in de periode van 2005 tot 2013 verdubbeld.

a

Bereken de (gemiddelde) jaarlijkse procentuele groei, afgerond op 1 decimaal.

b

Bereken (in maanden nauwkeurig) de verdubbelingstijd als het aantal pintransacties met 7,3 % per jaar toeneemt.

10

Een hoeveelheid stof neemt exponentieel toe. Voor het berekenen van de verdubbelingstijd bij een bepaald groeipercentage bestaat een vuistregel. Deze vuistregel gaat alleen op als het groeipercentage niet al te groot is (tot 10 %).
Hij luidt:
de verdubbelingstijd = 70 groeipercentage .
Stel dat de bevolking van een land elk jaar met 2 % groeit.

a

Hoe lang zou het dan volgens de vuistregel duren voordat de bevolking verdubbeld is?

b

Hoeveel keer zo groot wordt de bevolking in de tijd die je bij het vorige onderdeel hebt gevonden? Klopt het ongeveer?

De vuistregel kan ook omgekeerd gebruikt worden.
Stel dat van een ander land de bevolking in 14 jaar verdubbelt.

c

Met hoeveel procent groeit de bevolking van dat land dan jaarlijks volgens de vuistregel?

d

Bereken in twee decimalen nauwkeurig met hoeveel procent de bevolking precies groeit.

11
a

Iets neemt elk jaar toe met 4 %. Hoe groot is de procentuele toename in 20 jaar? (Rond af op een geheel percentage.)

b

Iets neemt elk jaar af met 5,7 %. Hoe groot is de procentuele afname in 20 jaar? (Rond af op een geheel percentage.)

c

Iets neemt in 40 jaar met 60 % toe. Bereken de jaarlijkse procentuele groei afgerond op 1 decimaal.

d

Iets neemt per jaar met 24 % af. Bereken de maandelijkse procentuele afname afgerond op 1 decimaal.

e

De verdubbelingstijd bedraagt 7 jaar. Bereken de jaarlijkse procentuele groei afgerond op 1 decimaal.

f

De halveringstijd bedraagt 29 maanden. Bereken de jaarlijkse procentuele afname afgerond op 1 decimaal.

g

Het aantal inwoners van een stad groeit in 25 jaar van 4,3 naar 6,8 miljoen. Bereken de jaarlijkse procentuele groei afgerond op 1 decimaal.

Opmerking:

Je kunt nog meer oefenen met het rekenen met groeifactoren met de applet Mini-loco_exp_groei .