Met twee functies en
kun je nieuwe functies maken.
Neem aan en
.
door en op te tellen, je krijgt de functie
met
.
door en te schakelen, je krijgt de functie met
door en te vermenigvuldigen, je krijgt de functie
met
.
Welke regel gebruik je om de functie te differentiëren? En welke regel gebruik je om de functie differentiëren?
De functie is het product van en .
Ga na dat je deze functie niet kunt differentiëren met de som- of kettingregel.
Gegeven zijn twee functies en . Met het product van en bedoelen we de functie met .
In het vervolg leiden een regel af om de afgeleide van het product van twee functies en te bepalen met behulp van de afgeleide van en de afgeleide van .
We bekijken eerst een eenvoudig geval: het product van twee lineaire functies en , met , en .
Wat voor soort grafiek heeft ?
Bepaal
door eerst de haakjes van
uit te werken.
Geldt: ?
We nemen nu het product van twee willekeurige lineaire functies en met en .
Bepaal weer door eerst haakjes uit te werken.
Ga na dat je antwoord gelijk is aan: .
We bekijken de oppervlakte van een rechthoek met afmetingen en .
De lengte en de breedte variëren in de tijd en de oppervlakte dus ook.
Stel dat op een gegeven moment geldt: , , en . (Dus de breedte neemt toe, de lengte blijft constant.)
Hoe groot is dan ?
Stel dat op een gegeven moment geldt: , , en .
Hoe groot is dan ?
Stel dat op een gegeven moment geldt: , , en .
Voor dit geval berekent Anneke: .
Hoe heeft Anneke dat gedaan?
Wat vind jij van deze berekening?
We gaan nog even verder met de rechthoek van opgave 48.
, en
bekijken we als functie van de tijd .
De tijd groeit met . De breedte groeit met
, de lengte met en de oppervlakte met .
Laat zien dat: .
Welke van deze drie termen kun je verwaarlozen als en klein zijn?
Laat zien dat: .
Naarmate dichter bij komt, nadert
naar
,
naar
,
naar
en
naar .
Dus .
Ga na dat Anneke in opgave 48c de juiste waarde voor had gevonden.
Productregel
Gegeven zijn de functies en . De functie is de productfunctie
van en .
Dan: .
De functie met is het product van de functies
en met en
.
Dus
.
De functie met heeft als afgeleide
.
NB. De afgeleide van de functie is
(volgens de kettingregel).
Differentieer de functies , , , , en met de productregel; je hoeft niet te vereenvoudigen.
|
|
|
|
|
|
Hiernaast staat de grafiek van de functie .
Bereken .
De grafiek heeft een punt met een horizontale raaklijn.
Bereken de coördinaten van dat punt exact.
De grafiek snijdt de -as in twee punten. We willen de hoek weten waaronder de -as gesneden wordt.
Hoe groot is de hoek in het rechter eindpunt?
Hoe groot is de hoek in de oorsprong? Bereken deze langs algebraïsche weg in graden nauwkeurig.
De grafiek van het verband wordt verticaal vermenigvuldigd met . Er zijn waarden van waarbij de hoek waaronder de -as in de oorsprong gesneden wordt, is.
Bereken deze waarden exact.
Van een metalen plaat van dm breed vouwen we een goot. De bodem maken we dm en de schuin oplopende kanten dus dm. De hoogte van de goot noemen we .
De capaciteit van de goot is het aantal liter water die de goot per dm lengte kan bevatten.
Schrijf als functie van .
Bereken .
Onderzoek met de GR voor welke de capaciteit maximaal is.
Controleer of voor die waarde van de groeisnelheid precies is.
De functie is gegeven door .
De functie heeft een minimum.
Bereken exact de waarde van waarbij dit minimum wordt aangenomen.
De functie behoort tot de familie van functies die gegeven zijn door .
Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarde van het punt op de grafiek van ligt.
is de functie met .
Differentieer op twee manieren.
Door eerst de haakjes weg te werken en dan te differentiëren.
Door de productregel toe te passen en dan de haakjes weg te werken.
Doe hetzelfde voor de functie met
.