Hoofdstukken > Berekeningen in het platte vlak

Snijpunten van twee lijnen

In de applet opg1 zijn getekend de lijn met vergelijking $k : 2 x + 5 y = 10$ en de lijnen $m_{a} : y = a x + 3$ , waarbij je $a$ met de schuifknop kunt variëren.
Voor elke waarde van $a$ gaat de lijn $m_{a}$ door het punt $(0,3)$ .

Waarom?

Het snijpunt van de lijnen $k$ en $m_{a}$ noemen we $S$ .

Bereken exact voor welke waarde van $a$ het snijpunt $S$ op de $x$ -as ligt.

Waarom is er geen waarde van $a$ te vinden waarvoor $S$ op de $y$ -as ligt?

Er is ook een waarde van $a$ waarvoor de lijnen $k$ en $m_{a}$ elkaar niet snijden.

Voor welke van $a$ is dat? Verklaar je antwoord zonder GeoGebra of GR.

In de applet opg2 zijn de lijnen met vergelijking $k : a x + b y = 5$ en $m : 2 x + 5 y = 10$ getekend.
Met de schuifknop kun je $a$ en $b$ variëren en daarmee lijn $k$ .

Welke getallen moet je voor $a$ en $b$ nemen om voor $k$ een verticale lijn door $(1,0)$ te krijgen? Verklaar je antwoord, zonder de applet.

Welke getallen moet je voor $a$ en $b$ nemen om voor $k$ een horizontale lijn door $(0,2)$ te krijgen?
Verklaar je antwoord, zonder de applet.

Welke getallen moet je voor $a$ en $b$ nemen om voor $k$ een lijn te krijgen die de $x$ -as in $(‐5,0)$ en de $y$ -as in $(0,2)$ snijdt?
Bereken die getallen exact, zonder de applet.

Neem $a = 2$ .
Welk getal moet je voor $b$ nemen om er voor te zorgen dat $k$ en $m$ evenwijdig zijn?
En als $a = 10$ ? En als $a = 15$ ?

Neem $b = 2$ .
Welk getal moet je voor $a$ nemen om er voor te zorgen dat $k$ en $m$ evenwijdig zijn? En als $b = 10$ ? En als $b = 15$ ?

Het is ook nog mogelijk dat $k$ en $m$ samenvallen (oftewel dezelfde lijn zijn).
Wat moet je in dit geval voor $a$ en $b$ nemen?

Bekijk het stelsel vergelijkingen: ${\begin{cases} 2 x + 5 y = 10 \\ a x + b y = 5 \end{cases}$ .
De oplossingen van dit stelsel zijn de gemeenschappelijke punten van de lijnen $k$ en $m$ uit de vorige opgave.
Er kan één oplossing zijn, dan snijden $k$ en $m$ elkaar.
Er kunnen geen oplossingen zijn, dan zijn $k$ en $m$ evenwijdig.
Er kunnen oneindig veel oplossingen zijn, dan vallen $k$ en $m$ samen.

Gegeven twee lijnen $k : a x + b y = c$ en $m : p x + q y = r$ .
Het stelsel ${\begin{cases} a x + b y = c \\ p x + q y = r \end{cases}$

heeft één oplossing $\Leftrightarrow$ $k$ en $m$ snijden elkaar,
heeft oneindig veel oplossingen $\Leftrightarrow$ $k = m$ ,
heeft geen oplossingen $\Leftrightarrow$ $k$ en $m$ zijn evenwijdig.

Gegeven twee lijnen $k : a x + b y = c$ en $m : p x + q y = r$ .
Neem aan dat de getallen $a$ , $b$ , $p$ en $q$ niet $0$ zijn.

Druk de richtingscoëfficiënt van $k$ in $a$ en $b$ uit en de richtingscoëfficiënt van $m$ in $p$ en $q$ .

Ga na dat $k$ en $m$ evenwijdig zijn of samenvallen als $\frac{a}{b} = \frac{p}{q} \Leftrightarrow a q = b p \Leftrightarrow \frac{a}{p} = \frac{b}{q}$ .

Als $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}$ , dan vallen $k$ en $m$ samen, als $\frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r}$ dan zijn $k$ en $m$ evenwijdig.

Toon dat aan.

Gegeven de lijnen $k : a x + 2 y = 6$ en $m : x + 3 y = 4$ .
Bij de antwoorden op de volgende vragen hoort steeds een redenering.

Door $a$ te variëren, krijg je steeds een andere lijn $k$ .
Die lijnen gaan alle door hetzelfde punt.

Welk punt is dat?

Voor welke $a$ zijn de lijnen $k$ en $m$ evenwijdig?

Voor welke $a$ is $(1,1)$ het snijpunt van $k$ en $m$ ?

Voor welke $a$ staan $k$ en $m$ loodrecht op elkaar?

We bekijken het stelsel vergelijkingen: ${\begin{cases} x - 2 y = a \\ b x + 5 y = 10 \end{cases}$ voor alle mogelijke getallen $a$ en $b$ .

Voor welke $a$ en $b$ zijn er oneindig veel oplossingen?
Licht je antwoord toe.

Voor welke $a$ en $b$ zijn er geen oplossingen?
Licht je antwoord toe.

In alle andere gevallen is er één oplossing.

Bereken exact voor welke $a$ en $b$ die oplossing $(1,1)$ is.

Bereken exact voor welke $a$ en $b$ die oplossing $(0,2)$ is.

Gegeven is het stelsel lineaire vergelijkingen: ${\begin{cases} y = 2 x \\ 3 x + a y = 5 \end{cases}$ .

Voor welke waarde van $a$ heeft dit stelsel geen oplossing?

De hoek tussen twee lijnen

In hoofdstuk 1 is de hellingshoek van een lijn besproken.
In het linker plaatje is $k$ een dalende lijn, de hellingshoek is stomp. In het rechter plaatje is $k$ een stijgende lijn, de hellingshoek is scherp.
De richtingscoëfficiënt van $k$ noemen we $a$ en de hellingshoek $α$ .

Je hebt in het hoofdstuk 1 Hellingen gezien: $\tan (α) = a$ als de hellingshoek scherp is.

Lijn $k$ gaat door de twee getekende roosterpunten.

Bereken zijn hellingshoek $α$ in één decimaal nauwkeurig.

In het assenstelsel zijn twee lijnen $k$ en $m$ getekend, met $k : 2 x - 3 y = 2$ en $m : 2 x + y = 10$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt $S$ van $k$ en $m$ exact.

Bereken de richtingscoëfficiënten van $k$ en $m$ en met behulp daarvan de bijbehorende hellingshoeken $α$ en $β$ in twee decimalen.

Bereken de hoek waaronder $k$ en $m$ elkaar snijden in één decimaal. (NB. Dit is één van de twee scherpe hoeken bij het snijpunt $S$ .)

In het plaatje hiernaast heeft $k$ richtingscoëfficiënt $1$ en $m$ richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2}$ . Verder, zie plaatje.

Hoe groot is $α$ exact?
Bereken $β$ in twee decimalen.

Bereken de hoek tussen de lijnen $k$ en $m$ in één decimaal.

Voorbeeld:

$k : 2 x + 5 y = 10$ en $m : 3 x - 2 y = 11$
Bereken de hoek tussen $k$ en $m$ in één decimaal.
Oplossing

Maak een schets met $k$ , $m$ en een lijn evenwijdig aan de $x$ -as (in de figuur gestippeld).
Bereken vervolgens $α$ en $β$ . Hiermee kun je de hoek tussen $k$ en $m$ berekenen.
We voeren dit uit.
Richtingscoëfficiënt $k$ is $‐0,4$ , dus $α = 21,801... °$ en richtingscoëfficiënt $m$ is $1,5$ , dus $β = 56,309... °$ .
De hoek tussen $k$ en $m$ is dan $β = 78,1 °$ (ga dat na).

Voorbeeld

Lijn $k$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ \frac{1}{2}$ en $m$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ \frac{1}{3}$ .
Bereken de hoek tussen $k$ en $m$ in graden nauwkeurig.
Oplossing

Maak een schets met $k$ , $m$ en een lijn evenwijdig aan de $x$ -as.
Ga na: $α = 26,56... °$ en $β = 18,43... °$ .
De hoek tussen $k$ en $m$ is dan $8 °$ .

Hiernaast is driehoek $A B C$ getekend met $A (‐3,‐2)$ , $B (2,1)$ en $C (‐2,3)$ .

Bereken de hoek tussen de lijnen $B C$ en $A B$ (dat is dus hoek $A B C$ ) met behulp van hun richtingscoëfficiënten in graden nauwkeurig.

Ga na dat voor de zijden van driehoek $A B C$ geldt: $A B = \sqrt{34}$ , $B C = 2 \sqrt{5}$ en $A C = \sqrt{26}$ .

Bereken exact met de cosinusregel $\cos (∠ A B C)$ en hiermee hoek $A B C$ in graden nauwkeurig.

Gegeven zijn de lijnen $k : y = \frac{1}{5} x - 4$ en $m : y = 4 - 2 x$ .

Bereken in gehele graden nauwkeurig de hoek waaronder de beide lijnen elkaar snijden.

Gegeven is de cirkel met middelpunt $M$ .

Een vergelijking van de cirkel is: $x^{2} + y^{2} - 12 x - 4 y + 36 = 0$ .

Bereken exact de coördinaten van het middelpunt en de straal van de cirkel.

De cirkel raakt de x-as.

Waarom?

Bereken de hellingshoek van lijn $O M$ in één decimaal nauwkeurig.

De $x$ -as raakt de cirkel in $R$ . Behalve de $x$ -as is er nog een andere raaklijn vanuit $O$ aan de cirkel.

Geef de hellingshoek van die raaklijn in graden nauwkeurig. Licht je antwoord toe.

Bereken exact de hoek tussen de lijnen $y = x + 3$ en $y = \sqrt{3} \cdot x + 7$ .

Bereken exact de hoek tussen de lijnen $x + y = 3$ en $y = \sqrt{3} \cdot x + 7$ .

Bereken exact de hoek tussen de lijnen $x + 2 y = 3$ en $2 x - y = 10$ .