Grafieken kun je verschuiven en vermenigvuldigen, horizontaal en verticaal. Dit noemen we transformaties.
Een ander woord voor verschuiving is translatie.
Als je een formule $f(x)$ van de oorspronkelijke grafiek hebt, kun je hiermee ook de formule $g(x)$ van de nieuwe grafiek maken.
Er zijn vier gevallen:

• verticaal transleren (of verschuiven)
  De grafiek van $f$ wordt $a$ naar boven geschoven.
  Dan geldt $g(x)=f(x)+a$.

• horizontaal transleren (of verschuiven)
  De grafiek van $f$ wordt $a$ naar rechts geschoven.
  Dan geldt $g(x)=f(x-a)$.
  (Je vervangt dus in de formule van $f$ overal de variabele $x$ door $x-a$.)

• verticaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $x$-as)
  De grafiek van $f$ wordt met factor $a$ vermenigvuldigd t.o.v. de $x$-as.
  Dan geldt $g(x)=a\cdot f(x)$.

• horizontaal vermenigvuldigen (t.o.v. de $y$-as)
  De grafiek van $f$ wordt met factor $a$ vermenigvuldigd t.o.v. de $y$-as.
  Dan geldt $g(x)=f(\frac{1}{a}\cdot x)$.
  (Je vervangt dus in de formule van $f$ overal de variabele $x$ door $\frac{1}{a}x$.)

Deze vier transformaties kunnen ook gecombineerd en na elkaar uitgevoerd worden. De volgorde is daarbij vaak van belang.

Speciaal geval: de grafiek van $y=c\cdot {(x-a)}^2+b$ is een parabool met top $(a,b)$. De formule in deze vorm noemen we de topvorm van de parabool.
Voor $c<0$ is het een bergparabool.
Voor $c>0$ is het een dalparabool.

Laat $f$ een functie zijn die aan een invoer een uitvoer koppelt.
$f(x)$ is de uitvoer die hoort bij invoer $x$.
Vaak kun je niet elk getal als invoer kiezen en treedt niet elk getal als uitvoer op. De getallen die je als invoer kunt kiezen vormen het domein van de functie; de getallen die je als uitvoer kunt krijgen vormen het bereik van de functie.

De formule $y=\frac{1}{2}{(x-a)}^2-2$ legt een bundel functies vast.
Vaak wordt ook de volgende notatie gebruikt om de bundel functies aan te duiden: $f_a(x)=\frac{1}{2}{(x-a)}^2-2$.
Voor elk getal $a$ krijg je een exemplaar uit die bundel. Al die functies zijn “familie” van elkaar. In dit geval ontstaan de grafieken van de functies uit elkaar door horizontale verschuivingen, zie de figuur hiernaast.
De letter $a$ in de bijbehorende formule $y=\frac{1}{2}{(x-a)}^2-2$ is de parameter van de bundel.
De bijbehorende grafieken vormen een bundel grafieken.

Speciaal geval: de bundel grafieken $y=3+a(x-2)$ wordt vanwege de vorm ook wel een lijnenwaaier genoemd. Een lijnenwaaier is dus een bundel rechte lijnen met verschillende richtingscoëfficiënten door een vast punt. In dit geval is dat het punt $(\mathrm{2,3})$.

De algemene vorm van een gebroken lineaire functie is
$y=\frac{ax+b}{cx+d}$.

De grafiek is een hyperbool, behalve als $c=0$
of als $a:c=b:d$.

De horizontale asymptoot van een gebroken lineaire functie vind je door voor $x$ een groot getal in te vullen of een klein (erg negatief) getal. De verticale asymptoot vind je door voor $x$ een zodanig getal in te vullen dat de noemer bijna $0$ is.

De grafiek van $y=\frac{1}{x}$ is de (standaard)hyperbool.
De $x$-as is de horizontale asymptoot van de grafiek.
De $y$-as is de verticale asymptoot van de grafiek.

Rekenregels voor machten:

• $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$

• $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$ (ofwel $a^p:a^q=a^{p-q}$)

• ${\left(a^p\right)}^q={\left(a^q\right)}^p=a^{p\cdot q}$

• $a^p\cdot b^p={(a\cdot b)}^p$

• $\frac{a^p}{b^p}={\left(\frac{a}{b}\right)}^p$

Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

De $n$-de macht van $x^{\frac{1}{n}}$ is $x$, dus $x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$.

Voor alle positieve getallen $a$, $p$ en $q$ met $p$ en $q$ geheel geldt: $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}={\sqrt[q]{a}}^p$.

$g^{\mathrm{‐}p}=\frac{1}{g^p}$, voor $g>0$.
In woorden: $g^{\mathrm{‐}p}$ en $g^p$ zijn elkaars omgekeerde.

Een machtsfunctie is een functie van de vorm $y=b\cdot x^{\alpha }$, voor zekere waarden van $\alpha$ en $b$ ($\alpha$ hoeft geen geheel getal te zijn).
Voor niet gehele exponenten $\alpha$ zijn de functies alleen gedefinieerd voor $x\ge 0$.

De grafiek van $y=b\cdot x^{\alpha }$, met $b>0$ is afnemend stijgend als $0<\alpha <1$ en toenemend stijgend als $\alpha >1$.

De grafieken van de functies $y=x^{\frac{p}{q}}$ en $y=x^{\frac{q}{p}}$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y=x$, dus ze zijn elkaars inverse.
Een bijzonder geval hiervan zijn de functies $y=x^{\frac{1}{n}}$ en $y=x^n$, waarbij $n$ positief geheel is.

Als $x^b=a$ dan $x=a^{\frac{1}{b}}$.
Hierbij worden $x$ en $a$ positief verondersteld en $b\ne 0$.

Als $f$ de invoer $a$ omrekent naar de uitvoer $b$, en $g$ precies het omgekeerde doet, $g$ rekent invoer $b$ om naar uitvoer $a$, dan zeggen we: de functies $f$ en $g$ zijn elkaars inverse.
De grafiek van een functie $f$ en zijn inverse $f^{inv}$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y=x$.
Als $(x,y)$ op de grafiek van $f$ ligt, dan ligt $(y,x)$ op de grafiek van de inverse $f^{inv}$.

De inverse functie kun je vinden door $x$ als functie van $y$ te schrijven.
Een andere manier is:

• Verander in de formule de $x$ in $y$, en omgekeerd, verander de $y$ in $x$.

• Schrijf de formule weer om in de vorm $y=\mathrm{...}$.