Vergelijkingen oplossen

Voorbeeld:

Voor welke $x$ geldt: $‐ (3 \sqrt{x} - 5) = 4$ ?

Deze vergelijking kun je zo zien:
$x \to$ [WORTEL] $\to$ [MAAL $3$ ] $\to$ [MIN $5$ ] $\to$ [TEGEN] $\to 4$

Door de ketting van achter naar voren te doorlopen, vind je het gezochte getal $x$ :
$x \leftarrow$ [KWADR.] $\leftarrow$ [DEEL DOOR $3$ ] $\leftarrow$ [PLUS $5$ ] $\leftarrow$ [TEGEN] $\leftarrow 4$

Dat kunnen we op de volgende manier opschrijven.

$‐ (3 \sqrt{x} - 5)$	$=$	$4$	tegengestelde nemen
$3 \sqrt{x} - 5$	$=$	$‐4$	plus 5
$3 \sqrt{x}$	$=$	$1$	deel door 3
$\sqrt{x}$	$=$	$\frac{1}{3}$	kwadrateer
$x$	$=$	$\frac{1}{9}$

Los de volgende vergelijkingen exact op.

$3 (4 - x^{2}) = ‐9$

$\sqrt{2 + \sqrt{2 + x}} = 3$

$\frac{7}{2 x - 1} = 2$

(hint)

$\frac{7}{2 x - 1} = 7 \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

$\frac{8}{1 + \frac{6}{x}} = 2$

Hieronder worden twee vergelijkingen opgelost, maar in beide gevallen gaat er iets mis. Ga na wat er niet klopt.

$\sqrt{x}$	$=$	$‐ \sqrt{3}$	kwadrateer
$x$	$=$	$3$

$x + 1$	$=$	$\sqrt{x + 3}$	kwadrateer
$x^{2} + 2 x + 1$	$=$	$x + 3$	op $0$ herleiden
$x^{2} + x - 2$	$=$	$0$	ontbinden
$(x + 2) (x - 1)$	$=$	$0$
$x = ‐2$	of	$x = 1$

Opmerking:

Als je linker- en rechterkant van een vergelijking kwadrateert, krijg je (misschien) een vergelijking die niet dezelfde oplossing(en) heeft als die waar je mee begon.
Je hebt er misschien 'nepoplossingen' bij gemaakt, dus je moet je antwoorden altijd controleren als je onderweg gekwadrateerd hebt.

Voorbeeld:

$x + 1 = \sqrt{x + 3} \to {(x + 1)}^{2} = x + 3 \to x^{2} + x - 2 = 0$
$\to x = ‐1$ of $x = 2$ .
De oplossingen controleren: $x = ‐ 1$ voldoet niet.
De enige oplossing is $x = 2$ .

Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op.
Controleer je oplossingen.

$\sqrt{2 x + 3} = 4 x$

$x + \sqrt{x + 2} = 10$

(hint)

Voordat je links en rechts gaat kwadrateren, moet je de wortel eerst 'isoleren':

\sqrt{x + 2} = 10 - x

$\sqrt{2 \sqrt{x} - 1} = \sqrt{x}$

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = \sqrt{x}$

$\sqrt{2 - \sqrt{x}} = ‐ \sqrt{x}$

Terugrekenen

Een auto rijdt met een snelheid van $v$ km/u. Als de auto plotseling uit alle macht moet remmen (men spreekt dan van een noodstop), legt hij nog een aantal meters af voordat hij stil staat. Dat aantal meters is de remweg $r$ .
Volgens een vuistregel geldt: $r = 0,0075 v^{2}$ .

Bereken met welke snelheid de auto reed, als zijn remweg bij een noodstop $170$ meter bedraagt.

Geef een formule voor $v$ , uitgedrukt in $r$ .

In Angelsaksische landen wordt de temperatuur vaak gegeven in graden Fahrenheit. Wij doen dat in graden Celsius.
De temperatuur in graden Fahrenheit noemen we $F$ ; in graden Celsius noemen we hem $C$ .
Er geldt: $F = 1 \frac{4}{5} C + 32$ .

Bereken de temperatuur in graden Celsius als hij in graden Fahrenheit $100$ bedraagt.

Geef een formule voor $C$ , uitgedrukt in $F$ .

In opgave 88 reken je snelheid om in remweg en omgekeerd.
$v \to 0,0075 v^{2} = r$ en $r \to \sqrt{133 \frac{1}{3} r} = v$
Deze twee functies hebben omgekeerde werking. We zeggen dat ze elkaars inverse zijn.
Een ander voorbeeld ben je tegengekomen in opgave 89: temperatuur in graden Celsius ( $°$ C) omrekenen in graden Fahrenheit ( $°$ F) en omgekeerd zijn inverse bewerkingen.
In een eerdere paragraaf, bij opgave 70 en opgave 71 is de inverse ook al even aan de orde geweest.

Inverse functie

Gegeven is de functie $f (x) = 3 \cdot \sqrt{x + 1}$ .
We schrijven de formule $y = 3 \cdot \sqrt{x + 1}$ eerst om in de vorm $x = ...$ :
$\frac{1}{3} y = \sqrt{x + 1}$ $\to$ ${(\frac{1}{3} y)}^{2} = x + 1$ $\to$ $x = {(\frac{1}{3} y)}^{2} - 1$ .
Neem nu de functie $g (x) = {(\frac{1}{3} x)}^{2} - 1$ .
Dan is $g$ de inverse functie van $f$ , want voor elke $x$ geldt $g (f (x)) = x$ . Ga dat voor enkele waarden van $x$ na.

Geef een formule voor de inverse functie van de volgende functies. Zie ook opgave 87.

$y = 3 (4 - x^{3})$

$y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + x}}$

$y = \frac{7}{2 x - 1}$

$y = \frac{8}{1 + \frac{6}{x}}$

Als we alleen met niet-negatieve getallen werken, zijn [WORTEL] en [KWADRAAT] elkaars inverse.
Als we met alle getallen werken heeft [KWADRAAT] geen inverse. Immers:
als $x \to$ [KWADRAAT] $\to 9$ ,
dan $9 \to$ [ ? ] $\to x$ .
Zo’n machientje bestaat niet, omdat er twee getallen $x$ zijn met $x^{2} = 9$ , namelijk $3$ en $‐3$ .

In dit geval is er dus niet een functie die bij elke uitvoer $y$ terugrekent naar de invoer $x$ , omdat er meerdere waarden $x$ mogelijk zijn bij een of meerdere waarden van $y$ .

Hiernaast staat de grafiek van een of andere functie $f$ .

Hoe zie je aan de grafiek dat $f$ geen inverse functie heeft?

Teken de grafieken van $f (x) = 3 (4 - x^{3})$ en zijn inverse in één window op de GR; zie opgave 90a.

De twee grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in een zekere lijn.

Wat is de vergelijking van deze lijn?

De grafieken van twee functies die elkaars inverse zijn, liggen gespiegeld ten opzichte van de lijn $y = x$ .

Kun je dat uitleggen?

Controleer de juistheid van de bewering in het vorige onderdeel voor de elementaire functies $y = \sqrt{x}$ en $y = \frac{1}{x}$ .

De grafiek van een functie $f$ en zijn inverse $f^{i n v}$ zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn $y = x$ .
Als $(x, y)$ op de grafiek van $f$ ligt, dan ligt $(y, x)$ op de grafiek van de inverse $f^{i n v}$ .

Hier kunnen we gebruik van maken bij het vinden van de formule van de inverse.
Door het spiegelen in de lijn $y = x$ verandert in de formule de $x$ in $y$ , en omgekeerd, de $y$ verandert in $x$ .
Dan heb je al een formule van de gespiegelde functie (dus van de inverse), alleen moet je deze formule nog omschrijven in de vorm $y = ...$ .

Voorbeeld:

$y = 3 (4 - x^{3})$
Verander $x$ in $y$ en omgekeerd: $x = 3 (4 - y^{3})$
Omschrijven: $\frac{1}{3} x = 4 - y^{3}$ $\to$ $y^{3} = 4 - \frac{1}{3} x$ $\to$ $y = \sqrt[3]{4 - \frac{1}{3} x}$
De inverse is dus $y = \sqrt[3]{4 - \frac{1}{3} x}$ .

Geef op bovenstaande manier een formule voor de inverse functie van de volgende functies.

$y = 5 + \sqrt{2 x + 1}$

$y = 2 - \frac{3}{x - 1}$

$y = 4 - 2 x^{\frac{2}{5}}$

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x^{0,1} + 1}$

$y = 1 + \frac{2}{3 + \sqrt[4]{x}}$

Opmerking:

In het Centraal Examen hoef je de term 'inverse functie' niet te kennen, maar je moet wel de bijbehorende activiteiten kennen en kunnen.