Het warmteverlies van een dier hangt af van zijn huidoppervlakte: via een grotere huid gaat meer warmte verloren dan via een kleinere huid. De warmteproductie hangt af van zijn volume: een groot dier produceert meer warmte dan een klein dier. Biologen vergelijken daarom de huidoppervlakte $H$ (in m²) met het lichaamsgewicht $G$ (in kg). Het verband tussen $H$ en $G$ wordt gegeven door de formule
$H = c \cdot G^{\frac{2}{3}}$ .
De constante $c$ hangt af van de vorm van het dier en is dus per diersoort verschillend. Een paar voorbeelden: $c_{koe} = 0,09$ , $c_{aap} = 0,12$ , $c_{egel} = 0,075$ en $c_{muis} = 0,09$ .

Voor een koe en een muis geldt dus $H = 0,09 \cdot G^{\frac{2}{3}}$ . Een koe weegt gemiddeld $500$ kg, een muis $0,05$ kg.

Bereken de huidoppervlakte van een koe en van een muis.

Hoe verhouden zich de lichaamsgewichten van een koe en een muis?
En hoe de huidoppervlakten?

Stel dat van een diersoort twee formaten voorkomen. De formaten hebben dezelfde vorm, dus ook dezelfde constante $c$ . Het grote formaat is $8$ keer zo zwaar als het kleine formaat.

Hoe verhouden zich dan de huidoppervlakten van de twee formaten? Bereken dit op algebraïsche wijze.

(hint)

Noem het gewicht van het kleine formaat

G

, dan is het gewicht van het grote formaat

8 G

; invullen en de rekenregels voor machten gebruiken.

Dezelfde vraag als in onderdeel c maar nu is het grote formaat $7$ keer zo zwaar als het kleine.

Grotere dieren kunnen gemakkelijker extreme kou verdragen dan kleine dieren.

Kun je dat gezien de formule verklaren?

Langere en zwaardere mensen hebben een grotere huidoppervlakte. Een zekere Dubois heeft een formule opgesteld voor de huidoppervlakte $H$ van een mens, uitgedrukt in zijn lichaamsgewicht $G$ en zijn lengte $L$ :
$H = 0,007 \cdot G^{0,425} \cdot L^{0,725}$ ; $H$ in m², $G$ in kg en $L$ in cm.

Bereken je eigen huidoppervlakte met deze formule.

We gaan de exponenten $0,425$ en $0,725$ controleren. Als iemand $2$ keer zo lang is als een ander, is hij $8$ keer zo zwaar en is zijn huidoppervlakte $4$ keer zo groot.

Klopt dat met de formule?

We bekijken nog eens de bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt. Op een gegeven ogenblik is er een aantal bacteriën. Drie uur daarvoor waren er minder bacteriën.

Hoeveel keer zoveel?

In overeenstemming hiermee spreken we af dat $2^{‐3} = \frac{1}{8}$ .

Als je dan $3$ uur teruggaat in de tijd, wordt de kolonie $2^{‐3}$ keer zo groot.

Zeg precies wat de betekenis is van $6^{‐1,5}$ in termen van de groei van een bacteriekolonie.

Leg aan de hand van de groei van een bacteriekolonie uit dat $6^{‐1,5} \cdot 6^{‐2,3} = 6^{‐3,8}$ .

We spreken af: $g^{‐ p} = \frac{1}{g^{p}}$ , voor $g > 0$ .
In woorden: $g^{‐ p}$ en $g^{p}$ zijn elkaars omgekeerde.

Als rekenregel 1 ook geldt voor negatieve exponenten, dan moet gelden: $g^{‐ p} \cdot g^{p} = g^{0}$ .

Ga na dat dat inderdaad het geval is.

Als rekenregel 2 ook geldt voor negatieve exponenten, dan moet gelden: $g^{p} : g^{‐ p} = g^{2 p}$ .

Ga na dat dat inderdaad het geval is.

Voorbeeld:

$4^{‐2} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}$ en $8^{‐ \frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Bereken zonder rekenmachine:

$4^{‐ \frac{1}{2}}$ , $4^{‐1 \frac{1}{2}}$ , ${(\frac{1}{9})}^{‐ \frac{1}{2}}$ , ${(\frac{1}{9})}^{‐ 1 \frac{1}{2}}$ , ${0,001}^{‐ \frac{2}{3}}$ , ${0,001}^{‐ 1 \frac{2}{3}}$ , ${(\frac{2}{5})}^{‐1}$ , ${(2 \frac{1}{2})}^{‐1}$ .

Laat met behulp van regel 3 zien dat: ${(\frac{1}{g})}^{p} = g^{‐ p}$ ( $g > 0$ ).

De opgewekte energie van een windmolen is evenredig met de derde macht van de windsnelheid. Als het "halve" kracht waait, is de energie-opbrengst nog geen $13$ % van de opbrengst bij "volle" kracht.

Laat dit algebraïsch zien.

(hint)

$P = c \cdot w^{3}$ , waarbij $c$ de evenredigheidsconstante is, $P$ de opgewekte energie en $w$ de windsnelheid. Neem aan $v$ de volle kracht van de windsnelheid.
De energieopbrengst is dan $P = c \cdot v^{3}$ .
Als $w = \frac{1}{2} v$ , dan $P = \dots$ .