Gehele positieve exponenten

In de periode $1900-1927$ werd de Nederlandse bevolking $1 \frac{1}{2}$ keer zo groot.
In de periode $1927-1991$ werd de bevolking $2$ keer zo groot.

Hoeveel keer zo groot werd de bevolking in de periode $1900-1991$ ?

In $1991$ had Nederland ongeveer $15$ miljoen inwoners.

Hoeveel inwoners had Nederland ongeveer in $1900$ ?

Groeiprincipe
Als een hoeveelheid eerst $a$ keer zo groot wordt en vervolgens nog eens $b$ keer zo groot, wordt de hoeveelheid in totaal $a \cdot b$ keer zo groot.

Voorouders
Je hebt vier grootouders; dat noemen we de ouders-van-twee-generaties-terug.

Hoeveel voorouders heb jij van-zes-generaties-terug?

Als je een generatie terug gaat, wordt het aantal voorouders twee keer zo groot. Zo zou je door kunnen rekenen tot het begin van onze jaartelling.

Hoeveel voorouders van jou zouden er volgens deze manier van rekenen geleefd hebben, bij het begin van onze jaartelling? Schat dat aantal met een berekening.

Waarschijnlijk kwam je berekening uit op een waanzinnig groot aantal voorouders. Dat kan natuurlijk niet.

Kun je uitleggen hoe het komt dat je berekening in de vorige vraag een veel te groot aantal geeft?

Bacteriën
Bacteriën vermenigvuldigen zich door deling: ze delen zich middendoor. Elke helft groeit weer tot de oorspronkelijke grootte, en deelt zich dan weer in tweeën. Etc. Uit één enkele bacterie kan op deze manier in korte tijd een enorm aantal bacteriën ontstaan. Daarvoor is wel nodig, dat er voldoende vocht en voedsel aanwezig is en dat de temperatuur gunstig is.

We bekijken een kolonie bacteriën. We veronderstellen dat het groei- en delingsproces één uur duurt en dat er om 12.00 uur 1 microgram bacteriën is.
Het aantal bacteriën na $t$ uur is $B (t)$ microgram (ofwel $μ$ g).

Neem de tabel over en vul hem verder in.

Omdat de groei van het aantal bacteriën geleidelijk verloopt, krijg je een goed beeld van het aantal bacteriën op elk moment door de berekende punten in een grafiek met een vloeiende lijn te verbinden.

Teken een grafiek van $B (t)$ .
Zet $t$ horizontaal uit en $B (t)$ verticaal.

Geef een formule voor $B (t)$ als $t$ een geheel getal is.

$2^{3}$ is het aantal $μ$ g bacteriën na $3$ uur.
Onder $2^{2 \frac{1}{2}}$ verstaan we het aantal $μ$ g bacteriën na $2 \frac{1}{2}$ uur.

Lees uit je grafiek af hoe groot $2^{2 \frac{1}{2}}$ ongeveer is.

Bepaal na hoeveel uur het aantal bacteriën is gegroeid tot meer dan 1 milligram.

De groei van het aantal bacteriën is niet lineair. Dat zie je ook aan de formule $B (t) = 2^{t}$ . Omdat de invoervariabele $t$ in de exponent voorkomt, spreken we van exponentiële groei.
Een bepaalde hoeveelheid groeit exponentieel in de tijd als deze hoeveelheid gedurende elk vast tijdseenheid met een bepaalde (vaste) factor toeneemt. Deze factor heet de groeifactor.
Let op: de groeifactor hangt af van de lengte van de gekozen tijdseenheid.

$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ en $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Hoe groot is dus $2^{5} \cdot 2^{3}$ ?

Hoe groot is dus $2^{5} : 2^{3}$ ?

Hoe groot is dus ${(2^{5})}^{2}$ ?

Het aantal bacteriën wordt elke 2 uur $2^{2}$ keer zo groot, elke 3 uur wordt het $2^{3}$ keer zo groot en elke 5 uur wordt het $2^{5}$ keer zo groot.

Wat is het verband tussen deze drie groeifactoren?

Het aantal bacteriën wordt elke $p$ uur $2^{p}$ keer zo groot, elke $q$ uur wordt het $2^{q}$ keer zo groot en elke $p + q$ uur wordt het $2^{p + q}$ keer zo groot.

Wat is het verband tussen deze drie groeifactoren?

Wat is het verband tussen $2^{p}$ , $2^{q}$ en $2^{p - q}$ ?

Leg uit hoe uit onderdeel c volgt dat $2^{0} = 1$ .

Het aantal bacteriën wordt elke 3 uur $2^{3}$ keer zo groot. In 4 periodes van 3 uur, dus in 12 uur, wordt het $2^{12}$ keer zo groot.

Wat is het verband tussen deze twee groeifactoren?

Het aantal bacteriën wordt elke $p$ uur $2^{p}$ keer zo groot.
In $p \cdot q$ uur wordt het $2^{p \cdot q}$ keer zo groot.

Wat is het verband tussen deze twee groeifactoren?

Schrijf als macht van 2:

$2^{7} \cdot 2^{5}$	$2^{7} : 2^{5}$	${(2^{7})}^{5}$
$2 \cdot 2^{7}$	$2^{7} : 2$	$1$

$2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ en $5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ .
Dus: $2^{4} \cdot 5^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

Hoe groot is dus $2^{4} \cdot 5^{4}$ ?

Hoe groot is $3^{7} \cdot 2^{7}$ ? (Schrijf als macht.)

Wat is het verband tussen $a^{p}$ , $b^{p}$ en ${(a \cdot b)}^{p}$ ?

Hoe groot is $\frac{6^{4}}{3^{4}}$ ?

Wat is het verband tussen $a^{p}$ , $b^{p}$ en ${(\frac{a}{b})}^{p}$ ?

Rekenregels voor machten:

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$
$\frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p - q}$ (ofwel $a^{p} : a^{q} = a^{p - q}$ )
${(a^{p})}^{q} = {(a^{q})}^{p} = a^{p \cdot q}$
$a^{p} \cdot b^{p} = {(a \cdot b)}^{p}$
$\frac{a^{p}}{b^{p}} = {(\frac{a}{b})}^{p}$

Deze regels gelden voor alle positieve getallen $a$ , $b$ , $p$ en $q$ , waarbij $p$ en $q$ geheel zijn en $p \geq q$ .

Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.

Vereenvoudig met behulp van deze rekenregels voor machten. Schrijf tussenstappen op.

$\frac{x^{5} \cdot x^{3}}{x^{2} \cdot x^{4}}$	$\frac{{(y^{5})}^{3}}{{(y^{2})}^{4}}$	$\frac{{(a^{2})}^{5} \cdot a^{3}}{a^{13}}$
$\frac{{(p q)}^{5}}{p^{2} \cdot q^{3}}$	$\frac{x^{3} \cdot 64 x^{2}}{{(2 x)}^{5}}$	$\frac{{(3 y^{2})}^{4}}{81 y^{3}}$
$\frac{{({(p^{2})}^{3})}^{4}}{p^{2} \cdot p^{3} \cdot p^{4}}$	$\frac{{(a^{2} b)}^{3}}{a^{5} b}$	$\frac{{(6 a \cdot b^{2})}^{3}}{2 {(2 a)}^{2} b^{5}}$

Voorbeeld:

$8 \cdot 2^{k} = 2^{3} \cdot 2^{k} = 2^{3 + k}$
en $\frac{128}{4^{k}} = \frac{2^{7}}{{(2^{2})}^{k}} = \frac{2^{7}}{2^{2 k}} = 2^{7 - 2 k}$

Schrijf zo ook als één macht van $2$ . Schrijf tussenstappen op.
( $k$ en $m$ zijn positieve gehele getallen.)

$32 \cdot 2^{k}$	$2 \cdot 2^{k}$	$2^{k} \cdot 2^{k}$
$8^{k}$	$16^{k} \cdot 32^{k}$	$2^{k} \cdot 4^{m}$
$\frac{32}{2^{k}}$	$\frac{2^{k}}{2}$	$\frac{2^{k + 1}}{2^{k - 1}}$
$\frac{8^{k}}{8}$	$\frac{32^{k}}{16^{k}}$	$\frac{4^{m}}{2^{k}}$

Onderzoek welke van de volgende formules juist zijn voor elk natuurlijk getal $n$ .

$3 \cdot 9^{n} = 27^{n}$	$3 \cdot 9^{n} = 3^{2 n + 1}$	$4^{n} : 8 = {(\frac{1}{2})}^{n}$
$2^{n} + 2^{n} = 2^{2 n}$	$2^{n} + 2^{n} = 2^{n + 1}$	$3^{n} + 3^{n} + 3^{n} = 3^{n + 1}$

Van de onjuiste formules kun je juiste formules maken door ze een klein beetje te veranderen.

Doe dat.

Gebroken exponenten

We gaan weer verder met de bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt. De deling van de bacteriën vindt natuurlijk niet precies op de hele uren plaats. De ene bacterie zal zich eerder delen dan de andere. We mogen wel aannemen dat het delingsproces goed gespreid is in de tijd. We willen nu weten hoeveel keer zo groot het aantal bacteriën per half uur wordt.

Anneke denkt dat het aantal bacteriën elk half uur $1,5$ keer zo groot wordt.

Laat met een berekening zien dat dat niet overeen komt met het gegeven dat het aantal bacteriën per uur twee keer zo groot wordt.

Anneke doet een nieuwe poging: het aantal bacteriën wordt elk half uur $1,4$ keer zo groot.

Laat zien dat ook dat niet klopt.

Bepaal met de GR hoeveel keer zo groot het aantal bacteriën wordt per half uur. Zoek dat getal in drie decimalen nauwkeurig.

Het gezochte getal uit vraag c noemen we de groeifactor per half uur. Noemen we deze groeifactor $g$ , dan moet voor een heel uur gelden: $g^{2} = 2$ . Dus: $g = \sqrt{2} \approx 1,414$ .

Bereken met de GR ook de groeifactor per kwartier, afgerond op drie decimalen.
Bereken ook in drie decimalen nauwkeurig de groeifactor per 20 minuten (dat is $\frac{1}{3}$ uur).

Met de formule $B (t) = 2^{t}$ hebben we het aantal bacteriën berekend $t$ uur na 12.00 uur, voor gehele waarden van $t$ bij een kolonie die zich elk uur verdubbelt.
Dan geldt het volgende voor niet-gehele waarden van $t$ :

Per half uur wordt het aantal bacteriën $2^{\frac{1}{2}}$ keer zo groot.
Per kwartier wordt het aantal bacteriën $2^{\frac{1}{4}}$ keer zo groot.
Per 40 minuten wordt het aantal bacteriën $2^{\frac{2}{3}}$ keer zo groot. (40 minuten is $\frac{2}{3}$ uur.)
Per 70 minuten wordt het aantal bacteriën $2^{1 \frac{1}{6}}$ keer zo groot. (70 minuten is $1 \frac{1}{6}$ uur.)
Als een bacteriekolonie elk uur 3 keer zo groot wordt, dan wordt deze kolonie elke 48 minuten $3^{\frac{4}{5}}$ keer zo groot. (48 minuten is $\frac{4}{5}$ uur.)

De bijbehorende decimale waarden kan je benaderen door ze in te tikken op je rekenmachine:
$2^{\frac{1}{2}} \approx 1,414$ ; $2^{\frac{1}{4}} \approx 1,189$ ; $2^{\frac{2}{3}} \approx 1,587$ ; $2^{1 \frac{1}{6}} \approx 2,245$ ; $3^{\frac{4}{5}} \approx 2,408$ .

Zeg precies wat de betekenis is van $6^{\frac{3}{4}}$ in termen van de groei van een bacteriekolonie.

Bereken de waarde van $6^{\frac{3}{4}}$ in 3 decimalen nauwkeurig.
Bereken de vierde macht van dat getal.
Leg met rekenregel 3 uit dat ${(6^{\frac{3}{4}})}^{4} = 216$ .

Zeg precies wat de betekenis is van $4^{1 \frac{1}{3}}$ in termen van de groei van een bacteriekolonie.
Hoe groot is ${(4^{1 \frac{1}{3}})}^{3}$ ?

Het kwadraat van $x^{\frac{1}{2}}$ is $x$ ,	dus $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$
De derde macht van $x^{\frac{1}{3}}$ is $x$ ,	dus $x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$
De vierde macht van $x^{\frac{1}{4}}$ is $x$ ,	dus $x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$

Algemeen:

De $n$ -de macht van $x^{\frac{1}{n}}$ is $x$ ,

dus $x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$ .

Volgens regel 1 geldt: $\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{2}{3}}$ enzovoort.
We maken dus de volgende afspraak.

Afspraak
Voor alle positieve getallen $a$ , $p$ en $q$ met $p$ en $q$ geheel geldt:
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}} = {\sqrt[q]{a}}^{p}$ .

Voorbeeld:

Soms komt een macht met een gebroken exponent mooi uit.
Bijvoorbeeld $27^{\frac{1}{3}}$ : de derde macht van dit getal is $27$ . Dus moet dat getal wel $3$ zijn.
Dat kun je ook met een rekenregel zien:
$27^{\frac{1}{3}} = {(3^{3})}^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \times \frac{1}{3}} = 3^{1} = 3$ .
We kennen nu ook $27^{\frac{2}{3}}$ . Als volgt: $27^{\frac{2}{3}} = {(27^{\frac{1}{3}})}^{2} = 3^{2} = 9$
Of: $27^{\frac{2}{3}} = {(3^{3})}^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^{2} = 9$ .

Bereken op deze manier ook zonder rekenmachine de volgende machten. Schrijf tussenstappen op. Je kunt natuurlijk wel je rekenmachine gebruiken om je antwoord te controleren.

$1000^{\frac{1}{3}}$	$1000^{\frac{2}{3}}$	$16^{\frac{1}{4}}$
$16^{\frac{3}{4}}$	$49^{\frac{1}{2}}$	$49^{1 \frac{1}{2}}$

Er draaien negen planeten om de zon (Pluto tellen wij als 'dwergplaneet' gewoon mee). Onze aarde doet 1 jaar over één omloop. Mercurius en Venus doen korter over een rondje, de andere planeten doen er langer over. Algemeen: hoe verder een planeet van de zon staat, des te langer is zijn omlooptijd. Aan de astronoom Johannes Kepler (1571-1630) danken we de volgende formule:
$T = 0,2 \cdot R^{1 \frac{1}{2}}$ .
Hierin is $R$ de afstand tot de zon in miljoenen km en is $T$ de omlooptijd in dagen.

De aarde is (gemiddeld) $149,5$ miljoen km van de zon verwijderd.

Bereken hiermee de omlooptijd. Klopt het redelijk?

Saturnus is veel verder van de zon verwijderd dan de aarde: $1427$ miljoen km.

Bereken de omlooptijd van Saturnus in jaren.

Bereken zonder rekenmachine, leg uit hoe je eraan komt:
$64^{\frac{1}{2}}$ , $64^{\frac{1}{3}}$ , $64^{\frac{1}{6}}$ , $64^{\frac{5}{6}}$ .

Test zonder rekenmachine of de rekenregels 1, 2, 3, 4 en 5 ook voor gebroken exponenten gelden in de volgende gevallen:

$64^{\frac{1}{2}} \cdot 64^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$
$64^{\frac{1}{2}} : 64^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$
${(64^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$
${(64 \cdot 1000)}^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{3}} \cdot 1000^{\frac{1}{3}}$
${(\frac{64}{1000})}^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{3}} : 1000^{\frac{1}{3}}$

Voorbeeld:

In het volgende gebruiken we de rekenregels voor machten met gebroken exponent.
${(a^{\frac{1}{3}})}^{7} = a^{\frac{7}{3}}$ (regel 3)
$a \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{1 \frac{1}{2}}$ (regel 1)
Dus: $\frac{{(a^{\frac{1}{3}})}^{7}}{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{7}{3} - 1 \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}}$ (regel 2 en het voorgaande)

Vereenvoudig als in het voorbeeld.

$\frac{{(a^{4})}^{\frac{1}{2}}}{{(a^{\frac{1}{4}})}^{5}}$	$\frac{b^{3} \cdot b^{\frac{1}{3}}}{{(b^{\frac{1}{2}})}^{6}}$
$\frac{{(c^{12})}^{\frac{2}{3}}}{c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} \cdot c^{\frac{1}{6}}}$	$\frac{{(d^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{2}}}{{(d^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Voorbeeld:

$\sqrt[3]{x^{4}} = {(x^{4})}^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}}$

Schrijf zo ook zonder wortels. Schrijf tussenstappen op.

$\sqrt{a^{3}}$

$\sqrt[3]{b^{2}}$

$\sqrt{\sqrt{c}}$

$\sqrt[3]{\sqrt{d^{5}}}$

Schrijf zonder wortels. Schrijf tussenstappen op.

$x^{2} \sqrt{x}$

$x \sqrt[3]{x}$

$\sqrt{x \sqrt{x}}$

$\frac{x}{\sqrt[3]{x}}$

Opmerking:

Je kunt nog online de rekenregels oefenen met de applet
mini-loco_rekenregels_machten .