7.2 Bundels grafieken >

Hoofdstukken > Functies in samenhang

We bekijken voor elk getal $a$ de functie $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ . Als we bijvoorbeeld voor $a$ het getal $3$ kiezen, hebben we de functie $y = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} - 2$ . Als we voor $a$ het getal $‐ 1$ kiezen, hebben we de functie $y = \frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2$ .

Welke functie krijg je als je voor $a$ het getal $0$ kiest?

De grafieken van alle functies $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ hebben dezelfde vorm.

Welke vorm?
Wat weet je van de top van de grafieken te vertellen?

Teken op de GR in één window de grafieken bij $a = 0$ , $a = ‐ 1$ en $a = 3$ .
(Je kunt de functies een voor een invoeren en tekenen, maar je kunt ze ook in één keer tekenen. Zoek uit hoe dat werkt.)

Hoe ontstaat de grafiek van $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ uit de grafiek van $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ?

De formule $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ legt een bundel functies vast.
Vaak wordt ook de volgende notatie gebruikt om de bundel functies aan te duiden: $f_{a} (x) = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ .
Voor elk getal $a$ krijg je een exemplaar uit die bundel. Al die functies zijn “familie” van elkaar. In opgave 14 ontstaan de grafieken van de functies uit elkaar door horizontale verschuivingen.
De letter $a$ in de formule $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ is de parameter van de bundel.
De bijbehorende grafieken vormen een bundel grafieken.

We bekijken nogmaals de bundel grafieken $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ .

Neem $a = 7$ . Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de $x$ -as.

Druk de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van $y = \frac{1}{2} {(x - a)}^{2} - 2$ met de $x$ -as uit in $a$ .

Er zijn twee exemplaren in de bundel die door het punt $(‐ 5,2 \frac{1}{2})$ gaan.

Bereken de waarden van de parameter $a$ van deze twee functies.

De grafiek van $y = \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} - 2$ verschuiven we $3$ eenheden naar links.

Wat is de waarde van parameter $a$ van het exemplaar dat je dan krijgt?

Hieronder staat de grafiek van de functie $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Uit deze grafiek leiden we de bundel $f_{a} (x) = 2 + \frac{a}{1 + x^{2}}$ af.

De grafiek van elk exemplaar van de bundel $f_{a}$ krijg je door transformatie van de grafiek van $f$ (dus door verschuiving(en) en/of vermenigvuldiging(en)).
Deze transformaties kun je zien als je naar de formule van $f_{a}$ kijkt.

Met welke transformaties krijg je de grafiek van $f_{a}$ uit de grafiek van $f$ ?

Teken enkele exemplaren van deze bundel op je GR.

De grafieken in deze bundel hebben globaal dezelfde vorm, maar hebben ook andere kenmerken gemeen.

Schrijf nog (minstens drie) dingen op die de grafieken in deze bundel gemeenschappelijk hebben.

Bereken voor welke waarde(n) van $a$ de grafiek uit de bundel door het punt $(1, ‐ 3)$ gaat.

Bereken voor welke waarde(n) van $a$ de grafiek uit de bundel de $x$ -as raakt.

We bekijken de functies $y = b + \frac{a}{1 + x^{2}}$ met domein "alle getallen".

Bereken de getallen $a$ en $b$ zo, dat de grafiek door de punten $(1, ‐ 3)$ en $(0,0)$ gaat.
Controleer je antwoord op de GR.

Bereken de getallen $a$ en $b$ zo, dat $〈 ‐ 1, 1]$ het bereik van de functie is. (Dus het bereik is $‐ 1 < y \leq 1$ .)

Hiernaast staat een exemplaar van de bundel getekend. De twee snijpunten met de $x$ -as zijn $R$ en $S$ . De top is punt $T$ .
De punten $R$ , $S$ en $T$ liggen op een vierkant met zijde $4$ zoals getekend is in de figuur.

Bereken de getallen $a$ en $b$ .

We bekijken voor elk getal $a$ de functie $y = x (x - a)$ .

Teken voor enkele waarden van $a$ de grafiek op de GR.

Bereken voor welk getal $a$ het punt $(‐ 2,10)$ op de grafiek ligt.

Bereken voor welke waarde van $a$ de snijpunten van de grafiek met de $x$ -as op afstand $5$ van elkaar liggen.

Voor welk getal $a$ is de lijn met vergelijking $x = ‐ 2$ de symmetrieas?

Bereken voor welk waarde(n) van $a$ de top ligt op de lijn met vergelijking $y = ‐ 9$ .

Bereken voor welk waarde van $a$ de raaklijn in de oorsprong aan de grafiek richtingscoëfficiënt $3$ heeft.

(hint)

Gebruik de afgeleide.

We bekijken de functies $f_{a} (x) = \frac{a}{x}$ .

Teken voor enkele waarden van $a$ de grafiek op de GR.
Wat voor soort grafiek hebben deze functies?
Wat zijn de asymptoten?

Bereken voor welk getal $a$ het punt $(2, ‐ 5)$ op de grafiek ligt.

Kies $a = 6$ . De lijn $y = x$ snijdt de grafiek van $f_{6} (x) = \frac{6}{x}$ in twee punten.

Bereken exact de afstand tussen deze punten.

De lijn $y = x$ snijdt de grafiek van $f_{a}$ in twee punten die afstand $4$ tot elkaar hebben.

Bereken exact de waarde van $a$ in dat geval.

We bekijken de functies $f_{a} (x) = 3 + a (x - 2)$ en $g_{b} (x) = b - x$ .

Teken voor enkele waarden van $a$ de grafiek van $f_{a}$ op de GR. Wat voor soort grafiek hebben de functies $f_{a}$ ?

Je ziet dat de grafieken van alle functies $f_{a}$ door één punt gaan.

Welk punt is dat?
Kun je dat ook uitleggen aan de hand van de formule $f_{a} (x) = 3 + a (x - 2)$ ?

Wat voor soort grafiek hebben de functies $g_{b}$ ?
Wat hebben ze gemeenschappelijk?

Er is één functie die tot beide bundels behoort.

Welk functie is dat? Wat zijn de bijbehorende waarden van de parameters $a$ en $b$ ?

Er is één rechte lijn door het punt $(2,3)$ die niet tot de bundel $f_{a}$ behoort.

Welke rechte lijn is dat?

De bundel grafieken $y = 3 + a (x - 2)$ wordt vanwege de vorm ook wel een lijnenwaaier genoemd. Een lijnenwaaier is dus een bundel rechte lijnen met verschillende richtingscoëfficiënten door een vast punt. In dit geval is dat het punt $(2,3)$ .

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = x^{2} + 4$ .
We bekijken de lijnenwaaier (of lijnenbundel) $y = a x + 1$ door het punt $(0,1)$ .

De lijn met vergelijking $y = 4 x + 1$ zit in deze lijnenbundel.

Bereken exact de snijpunten van deze lijn met de parabool.

De lijn met vergelijking $y = 3 x + 1$ zit ook in deze lijnenbundel.

Laat met een berekening zien dat deze lijn geen punten gemeenschappelijk heeft met de parabool.

Welke lijn door $(0,1)$ zit niet in deze lijnenwaaier?

Er zijn twee lijnen in de lijnenwaaier die raken aan de parabool.
Deze twee lijnen kun je op twee manieren vinden:

Snijden van de parabool met de lijnenbundel geeft een kwadratische vergelijking (met daarin de parameter $a$ ). Voor de raaklijn geldt dat de discriminant van deze vergelijking gelijk is aan nul.
Door gebruik te maken van hellingfuncties: in het raakpunt moeten zowel de hellingen als de $y$ -coördinaten gelijk zijn.

Bereken exact een vergelijking van de twee lijnen door $(0,1)$ die raken aan de parabool met behulp van de discriminant.

Bereken exact een vergelijking van de twee lijnen door $(0,1)$ die raken aan de parabool met behulp van hellingfuncties.

We bekijken de bundel grafieken $y = a (x + 2) - 3$ en de parabool met vergelijking $y = 2 x^{2} - 2 x + 3$ .

Wat is het vaste punt van de lijnenwaaier?

Bereken exact voor welke waarde van $a$ de grafiek uit de bundel door de top van de parabool gaat.

Bereken exact voor welke waarden van $a$ de grafiek uit de bundel een raaklijn is aan de parabool.

(hint)

Gebruik de discriminant (of lastiger: gebruik hellingfuncties).

Gegeven zijn de functies $f (x) = x^{2} + a x + b$ .
De raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $(‐ 1,3)$ heeft richtingscoëfficiënt $2$ .

Bereken de waarden van $a$ en $b$ .