Het laboratorium let goed op uitschieters omdat die op bijzonderheden kunnen wijzen. Vaak zijn dat meetfouten.
Het laboratorium gebruikt de volgende vuistregel:
Een uitschieter ligt buiten het interval $\text{mediaan}\pm \mathrm{1,5}\cdot \text{interkwartielafstand}$.

De twee monsters met de laagste waarde worden opnieuw gemeten. Dat levert in beide gevallen een waarde van $50$ bacteriën per cl op.

De totale hoeveelheid melk die elke dag wordt opgehaald, heet een dagproductie. Men weet uit ervaring dat de monsters representatief zijn voor de dagproductie. Voor elke dagproductie wordt een $95\text{\%}$-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddeld aantal bacteriën per cl gemaakt. Op een dag is het monstergemiddelde $60$ bacteriën per cl en de standaardafwijking $20$ bacteriën per cl. Als zowel het gemiddelde als de standaardafwijking van het aantal bacteriën per cl in de dagproductie kleiner zijn dan respectievelijk $60$ en $20$, heeft dat gevolgen voor het $95\text{\%}$-betrouwbaarheidsinterval.

Je wilt nu de frequentieverdeling van de variabele huiswerk over de profielen bestuderen.

Op de uitwerkbijlage staat onder het steelbladdiagram een schaalverdeling.
Boven die schaalverdeling is ruimte voor een boxplot van de neerslag in de septembermaanden van 1901 tot en met 2000.

De schrijvers van het artikel waren erg kritisch. Zij waren van mening dat er opvallend weinig cijfers $5$ waren uitgedeeld. In het artikel werd een verklaring genoemd voor de vreemde verdeling van de cijfers. De groep studenten die dit tentamen had gemaakt, zou niet homogeen zijn maar bestaan uit twee homogene en ongeveer even grote subgroepen, namelijk de werkers en de niet-werkers. Daar gaan we in de rest van deze opgave naar kijken.

Neem aan dat de cijfers van de werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde $\mathrm{6,7}$ en standaardafwijking $\mathrm{1,5}$ en de cijfers van de niet-werkers normaal verdeeld waren met gemiddelde $\mathrm{3,3}$ en standaardafwijking $\mathrm{1,1}$.

In figuur 2 zie je vier grafieken getekend die horen bij vier verschillende normale verdelingen. Grafiek A hoort bij de cijfers van de werkers.

Eén van de overige drie grafieken B, C en D hoort bij de niet-werkers. Dat is grafiek D.

In het begin van het artikel lezen we: “Het NCRV-programma Altijd Wat stuurde ruim $700$ maatschappelijk actieve priesters een enquêteformulier toe met vragen die onder andere over het celibaat gingen. Van hen zonden $135$ priesters het formulier ingevuld terug, al dan niet anoniem.”
Deze $135$  personen vormen volgens het artikel een steekproef uit de populatie van alle priesters.

Het artikel gaat als volgt verder: “Uit de antwoorden blijkt dat $40\text{\%}$ voor afschaffing van het celibaat is. Een fractie minder, $39\text{\%}$, vindt dat het celibaat gehandhaafd moet blijven. De overige $21\text{\%}$ van de priesters reageerde neutraal.”

Bij neurochirurgie is de gemiddelde wachttijd $17$ weken. Bij orthopedie is de gemiddelde wachttijd korter. Met behulp van de klassenmiddens van de klassen A tot en met I van orthopedie kan dat gemiddelde worden geschat.

Ondanks dat de gemiddelde wachttijd bij neurochirurgie langer is dan bij orthopedie, beweert neurochirurgie dat ze het beter doen dan orthopedie.

Aan de hand van figuur 1 kun je met behulp van lineaire interpolatie een schatting geven van het derde kwartiel van de wachttijd bij neurochirurgie.

In figuur 2 zijn vier (gladgestreken) cumulatieve frequentiepolygonen (I, II, III en IV) voor de eerste $12$ weken getekend.

Stichting KijkOnderzoek (SKO) houdt het kijkonderzoek om uitspraken te kunnen doen over hoeveel en welke mensen van de Nederlandse bevolking van $6$ jaar en ouder naar de verschillende televisiezenders en programma’s kijken.
SKO wil dat het betrouwbaarheidsinterval smaller wordt. Hiervoor moet het aantal deelnemers aan het kijkonderzoek worden vergroot.
Neem aan dat de kijkdichtheid bij een grotere steekproef steeds $\mathrm{9,2}$ blijft.

In werkelijkheid wordt voor het kijkonderzoek geen aselecte steekproef van personen van $6$ jaar en ouder genomen. We bekijken verschillende mogelijkheden om een steekproef te trekken.
Een mogelijke aanpak zou zijn om eerst een aselecte steekproef uit de Nederlandse adressen te trekken. Uit de bewoners op elk gekozen adres wordt vervolgens aselect één deelnemer aan het kijkonderzoek getrokken.

Een andere mogelijkheid is dat SKO een grote aselecte steekproef van personen van $6$ jaar en ouder trekt en dan aan deze personen vraagt om zich zelf op te geven voor het kijkonderzoek. Dat levert gemotiveerde deelnemers op.

Voor de werkelijke trekking van deelnemers aan het kijkonderzoek worden de deelnemers geselecteerd in twee stappen. De eerste stap is het trekken van een steekproef van Nederlandse gemeentes. Dit wordt gedaan door de gemeentes op een lijst te zetten, gesorteerd op volgorde van grootte. Met vaste stapgrootte wordt door de lijst gegaan en de namen van de getrokken gemeentes worden genoteerd. De tweede stap is het trekken van huishoudens binnen gemeentes.

Ruim driekwart van de fooien in restaurant B is hoger dan de $75\text{\%}$ laagste fooien van restaurant A.

Op grond van de figuur kun je met behulp van het formuleblad met twee verschillende vuistregels een uitspraak doen over het verschil tussen de fooien in restaurant A en die in restaurant B.

In een toeristische folder over de Old Faithful staat onder andere de volgende informatie.

• De tijdsduur van een uitbarsting varieert tussen de $\mathrm{1,5}$ en $\mathrm{5,5}$ minuten.

• Het kortste tijdsinterval tussen twee uitbarstingen was ongeveer $42$ minuten.

• De hoogte van het water is bij elke uitbarsting tussen $32$ en $56$ meter.

• Hoe langer een uitbarsting duurt, hoe langer het duurt tot de volgende uitbarsting.

Je kunt met behulp van figuur 1 schatten dat de gemiddelde tussentijd tot de eerstvolgende uitbarsting ongeveer $70$ minuten is.

Door de regelmaat van de uitbarstingen van de Old Faithful zijn de uitbarstingen vrij goed voorspelbaar. In figuur 2 staat nogmaals figuur 1 met daarin de trendlijn.

De formule van de trendlijn is $E=10D+35$, met $D$ en $E$ in minuten.

Door de regelmaat van de uitbarstingen van de Old Faithful kan na een uitbarsting met behulp van de formule het tijdstip van de volgende uitbarsting worden voorspeld aan de hand van het tijdstip en de duur van de laatste uitbarsting. Uit de praktijk is gebleken dat de voorspelling van $99\text{\%}$ van deze tijdstippen niet meer dan $15$ minuten van het werkelijke tijdstip verschilt.

Een toerist komt om $11.07$ uur aan bij de ingang van Yellowstone park. Hij hoort van een parkwachter dat hij net een uitbarsting van $\mathrm{4,3}$ minuten heeft gemist. De toerist gaat wandelen in het park, maar hij wil de eerstvolgende uitbarsting niet missen.

Uit het onderzoek bleek dat de mediaan en het gemiddelde van de lengte van de rapporten van het AZM niet even groot zijn.

De rapporten van beide ziekenhuizen bevatten samen $996734$ woorden. Toch waren er in totaal slechts ongeveer $20000$ verschillende woorden. Dit komt omdat er woorden zijn die heel vaak gebruikt worden. In de tabel zie je de $10$ woorden die het meest frequent in de rapporten werden gebruikt.

Je ziet dat in de tabel de woorden op rangnummer, in volgorde van hun frequentie, zijn genoemd. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat het woord ‘met’ in totaal $27677$ keer is geteld en dat dit woord rangnummer $4$ heeft.
Op grond van het onderzoek kun je berekenen hoeveel keer per $10000$ woorden het woordje ‘geen’ in een medisch rapport gebruikt wordt. Ook kun je het bijbehorende $95\text{\%}$-betrouwbaarheidsinterval berekenen.

Voor algemene teksten is er een formule die het verband aangeeft tussen het rangnummer $r$ van een woord en de bijbehorende frequentie $f$. Deze formule staat bekend als de wet van Zipf.
In het geval van een algemene tekst van $996734$ woorden is de formule:
$f=\frac{88000}{r}$ (wet van Zipf).

Medische rapporten bevatten uiteraard medische teksten. Men wil onderzoeken in hoeverre er verschil is tussen medische teksten en algemene teksten. Daartoe worden voor de medische teksten de cumulatieve percentages van de $10$ meest gebruikte woorden gebruikt. Zie de tabel. Met behulp van de wet van Zipf kan men ook cumulatieve percentages van de meest gebruikte woorden in algemene teksten bepalen.

Op grond van de cumulatieve frequenties van beide teksten en een vuistregel op het formuleblad kan dan worden bepaald in hoeverre er verschil is tussen de onderzochte medische teksten en algemene teksten. Op den duur lopen deze cumulatieve percentages behoorlijk gelijk, maar in het begin wijken ze behoorlijk van elkaar af. Hierdoor is het voldoende naar de eerste $3$ rangnummers te kijken.

Men wil de resultaten van het onderzoek nog wat preciezer bekijken. Daarom zijn in figuur 2 van alle gebruikte woorden in de medische teksten de frequenties uitgezet tegen de rangnummers. Op beide assen is gekozen voor een logaritmische schaalverdeling. De woorden uit de tabel vind je terug als de bovenste $10$ punten. Ook is de grafiek van de wet van Zipf getekend.

Je ziet dat, behalve van de woorden ‘een’ en ‘de’, de frequenties van de $2000$ meest gebruikte woorden in de medische teksten hoger zijn dan verwacht mag worden volgens de wet van Zipf.

De onderzoekers concludeerden op grond van de tabel: “De hommels hadden in het begin wat moeite om alle bloemen te vinden. Het percentage afgekeurde vluchten in serie A is ... keer zo hoog als het percentage afgekeurde vluchten in het gehele onderzoek.”

De onderzoekers vergeleken de afgelegde afstand van de routes van de goedgekeurde vluchten in de verschillende series, zie tabel 2.

De onderzoekers keken naar de afgelegde afstand per goedgekeurde vlucht en stelden: “Vaker vliegen maakt verschil. In de laatste serie is de gemiddelde afgelegde afstand per goedgekeurde vlucht een stuk kleiner dan in de eerste serie.”

In figuur 1 zie je drie schetsen van een verdeling.

Ook de vluchtduur (het aantal seconden dat een vlucht duurt) van alle goedgekeurde vluchten is gemeten. In figuur 2 zie je voor de series A, B en H de boxplot van de vluchtduur in seconden.

Een vergelijking van de boxplots laat zien dat de vluchtduur afneemt. De onderzoekers vragen zich af of er al verschil is in vluchtduur tussen de vluchten in serie A en die in serie B.

Blijkbaar weten de hommels de weg naar de zes bloemen steeds beter te vinden. Veel hommels hebben vroeg of laat de kortste route van $2462$ cm gevonden.
De hommel die in serie H de snelste tijd neerzette, nam deze kortste route. Deze hommel had tijdens zijn vlucht gemiddeld $5$ seconden per bloem nodig om de suikeroplossing eruit te halen. De overige tijd gebruikte hij om zijn route langs de zes bloemen te vliegen.

Met de informatie uit het onderzoek kun je op verschillende manieren de conclusie trekken dat hommels kunnen leren.

In tabel 2 staan het gemiddelde en de standaardafwijking van de lichaamslengte van de studenten.

Op basis van tabel 2 kunnen voor de lichaamslengte van mannen en vrouwen $95\text{\%}$-betrouwbaarheidsintervallen worden opgesteld.

Iemand die iets wil zeggen over de grootte van het verschil in lichaamslengte tussen de mannen en de vrouwen in het onderzoek, zou gebruik kunnen maken van de effectgrootte. Bij de berekening van de effectgrootte zijn de gemiddeldes en standaardafwijkingen van beide groepen van belang. Ga ervan uit dat het verschil van de gemiddeldes gelijk blijft.

De resultaten van de lichaamslengten zijn ook in boxplots verwerkt, zie figuur 1.

Je kunt met behulp van de gegevens over de lichaamslengten in tabel 2 onderzoeken hoe groot het verschil in lichaamslengte in het onderzoek is. Dit kun je ook doen met behulp van de gegevens in figuur 1.

Om te onderzoeken of er een verband bestaat tussen de lichaamslengte en de armlengte van de studenten zijn de resultaten van het onderzoek in een spreidingsdiagram gezet (figuur 2).
Er blijkt in dit onderzoek bij benadering een lineair verband te zijn tussen de lichaamslengte $L$ in cm en de armlengte $A$ in cm. De getekende trendlijn geeft dit verband weer.

De punten in het spreidingsdiagram liggen niet precies op de trendlijn. Ga ervan uit dat de armlengte normaal verdeeld is bij alle mogelijke lichaamslengten tussen $150$ cm en $200$ cm en dat bij elke lichaamslengte de standaardafwijking van de bijbehorende armlengte gelijk is aan $\mathrm{3,0}$ cm.
Als we de resultaten van dit onderzoek gebruiken om op basis van de lichaamslengte de armlengte van studenten te voorspellen, kunnen we hierbij figuur 2 gebruiken.