Een kwantitatieve grootheid is iets dat je kunt meten zoals snelheid, tijd, afstand, kosten, omzet, winst, temperatuur, volume, gewicht, lengte. De uitkomst is een getal aangevuld met een meeteenheid (km/uur, euro, kg, °C). We zijn geïnteresseerd in grootheden die een bepaalde relatie met elkaar hebben. Zo’n relatie noemen we in de wiskunde een verband. Verbanden kunnen worden beschreven in woorden, maar vaak gebeurt dit ook met een tabel, een grafiek of een formule. Vaak gebruiken we een bepaalde letter om een grootheid te benoemen, bijvoorbeeld $V$ voor de snelheid in km/uur, $t$ voor de tijd in seconden, $W$ voor de winst in euro’s, $T$ voor de temperatuur in graden Celsius en $G$ voor het gewicht in kg. Het voordeel hiervan is dat we weinig woorden nodig hebben om een bepaalde relatie te beschrijven. Met name bij formules is het gebruik van letters erg handig. Denk aan een formule als $A = V \cdot t$ (de afstand is gelijk aan de snelheid maal de tijd) of $W = O - K$ (de winst is gelijk aan de omzet min de kosten). In deze paragraaf herhalen we kort de soorten verbanden tussen twee grootheden die je in de afgelopen tijd bent tegengekomen. Dat zijn evenredige verbanden, omgekeerd evenredige verbanden, lineaire verbanden en exponentiële verbanden.

Evenredige en omgekeerd evenredige verbanden

Timo fietst $12$ minuten lang. We bekijken het verband tussen de afstand $A$ (in km) die hij aflegt en zijn snelheid $V$ (in km/uur).

In de volgende tabel staan enkele resultaten.

Vul de tabel verder in.

Bedenk een formule waarbij $A$ wordt uitgedrukt in $V$ .

Bedenk ook een formule waarbij $V$ wordt uitgedrukt in $A$ .

Is hier sprake van een evenredig verband?

Ahmed fietst met een constante snelheid van $18$ km/uur. We bekijken de afstand $A$ (in km) die hij in $t$ minuten aflegt.

In de volgende tabel staan enkele resultaten.

Vul de tabel verder in.

Bedenk een formule waarbij $A$ wordt uitgedrukt in $t$ .

Bedenk ook een formule waarbij $t$ wordt uitgedrukt in $A$ .

Is hier sprake van een evenredig verband?

Het verband tussen twee grootheden $x$ en $y$ is een evenredig verband als de bijbehorende tabel een verhoudingstabel is.
Dat wil zeggen:

als $x$ $2$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ $2$ keer zo groot,
als $x$ $3$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ $3$ keer zo groot.

In plaats van $2$ en $3$ kan er elk willekeurig getal $k$ staan:

als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ $k$ keer zo groot.

Bij een evenredig verband blijft de verhouding tussen de twee grootheden hetzelfde. Dus $\frac{y}{x} = c$ voor een of ander getal $c$ . Het getal $c$ noemen we de evenredigheidsconstante. In plaats van $y : x = c$ kun je ook zeggen dat $y = c \cdot x$ of $x = \frac{y}{c}$ of $x = \frac{1}{c} \cdot y$ .

Bekijk de uitspraak: De wereldrecords hardlopen zijn evenredig met de afstand. Deze uitspraak klopt bij grove benadering. Neem eens aan dat hij waar is.

Bij de mannen is het wereldrecord op de $1500$ meter $3$ minuten en $26$ seconden.

Bereken het wereldrecord op de $10.000$ m bij de mannen.

Bij de vrouwen is het wereldrecord op de $1500$ meter $3$ minuten en $50$ seconden.

Bereken het wereldrecord op de $800$ m bij de vrouwen.

Hoeveel meter zou een man in één uur kunnen lopen?
En een vrouw?

Leg uit waarom de uitspraak aan het begin van deze opgave niet helemaal waar zal zijn.

Opmerking:

De grafiek van een evenredig verband is bijzonder. Het is een rechte lijn die door de oorsprong (het punt $(0,0)$ ) gaat.

Waarom gaat de lijn die hoort bij een evenredig verband altijd door de oorsprong?

Dunja fietst elke dag $8$ km naar school. We bekijken het verband tussen haar snelheid $V$ (in km/uur) en de tijd $t$ (in minuten) die zij onderweg is.

Vul de volgende tabel verder in.

Bedenk een formule waarbij $t$ wordt uitgedrukt in $V$ .

Bedenk ook een formule waarbij $V$ wordt uitgedrukt in $t$ .

Bedenk nog een andere manier om het verband tussen $t$ en $V$ te beschrijven.

Is hier sprake van een evenredig verband?

Het verband tussen twee grootheden $x$ en $y$ is een omgekeerd evenredig verband als het volgende geldt:

als $x$ $2$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ $2$ keer zo klein,
als $x$ $3$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ $3$ keer zo klein.

In plaats van $2$ en $3$ kan er elk willekeurig getal $k$ staan:

als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ $k$ keer zo klein.

Bij een omgekeerd evenredig verband is het product van de twee grootheden constant. Dus $x \cdot y = c$ voor een of ander getal $c$ .
In plaats van $x \cdot y = c$ kun je ook schrijven: $y = \frac{c}{x}$ of $x = \frac{c}{y}$ .

Opmerking:

De grafiek van een omgekeerd evenredig verband ziet er minder eenvoudig uit. Het is geen rechte lijn. De wiskundige naam voor zo’n grafiek is een hyperbool. Als de ene grootheid heel erg klein wordt (bijna $0$ ), dan wordt de andere grootheid heel erg groot. En geen van beide grootheden mag gelijk zijn aan $0$ . Waarom mag dat niet?

Elke maand legt Anneke $120$ euro opzij. Ze koopt er online aandelen voor op de beurs. De waarde van de aandelen varieert nogal. Als de koers laag is, krijgt ze meer aandelen voor haar $120$ euro dan wanneer de koers hoog is.

Hoeveel aandelen kan ze kopen als de koers $€ 4,80$ per aandeel is?

De koers per aandeel noemen we $k$ (in euro). Het aantal aandelen dat Anneke voor $120$ euro krijgt, noemen we $a$ .

Leg uit dat $a$ en $k$ omgekeerd evenredig zijn.

Geef een formule voor $a$ , uitgedrukt in $k$ .

Geef een formule voor $k$ , uitgedrukt in $a$ .

Een auto rijdt $1$ op $18$ , d.w.z. hij heeft $1$ liter benzine nodig per $18$ km. Benzine kost $€ 1,60$ per liter. Als je weet hoeveel km een reis lang is, dan kun je berekenen hoeveel liter benzine de auto voor die reis nodig heeft. Vervolgens kun de benzinekosten van de reis berekenen. Noem de reisafstand in kilometers $R$ , de benzinekosten (in euro) $K$ en het aantal liters benzine $B$ .

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $B$ .

Geef een formule voor $R$ , uitgedrukt in $B$ .

Zijn $K$ en $B$ evenredig? En $R$ en $B$ ? En $K$ en $R$ ?

Hoeveel euro kost de benzine voor een reis van $150$ km?

Geef een formule voor $K$ , uitgedrukt in $R$ .

Hoeveel km kun je rijden voor $25$ euro aan benzine?

Geef een formule voor $R$ , uitgedrukt in $K$ .

Een bloemenhandelaar rijdt regelmatig van Aalsmeer naar Keulen en terug. Met het inladen en het afleveren van de vracht is $2$ uur gemoeid. De totale tijd $T$ (in uren) dat de vrachtwagen voor de rit bezet is, hangt verder af van de snelheid waarmee hij rijdt. Zijn gemiddelde snelheid (tussen vertrek en aankomst) noemen we $v$ (in km/u). De retourafstand Aalsmeer-Keulen is $260$ km.

Geef een formule voor $T$ uitgedrukt in $v$ .

Geef een formule voor $v$ uitgedrukt in $T$ .

Lineaire verbanden

Bij de volgende tabel hoort een lineair verband.

Vul de tabel verder in.

Bereken $y$ als $x = 10$ .

Bereken $x$ als $y = 10$ .

Geef een formule waarbij $y$ wordt uitgedrukt in $x$ .

Geef ook een formule waarbij $x$ wordt uitgedrukt in $y$ .

Het verband tussen twee grootheden $x$ en $y$ is een lineair verband als de toename van de ene grootheid ( $Δ y$ ) en de toename van de andere grootheid ( $Δ x$ ) dezelfde verhouding hebben. Noem deze verhouding $a$ . Dan is dus $\frac{Δ y}{Δ x} = a$ .

Het getal $a$ heet de richtingscoëfficiënt.

De formule van een lineair verband is van de vorm: $y = a x + b$ .

De grafiek van een lineair verband is een rechte lijn.

In Angelsaksische landen wordt de temperatuur vaak gegeven in graden Fahrenheit. Wij doen dat in graden Celsius. Een temperatuur van $0$ graden Celsius komt overeen met $32$ graden Fahrenheit en $60$ graden Celsius komt overeen met $140$ graden Fahrenheit. De temperatuur in graden Fahrenheit noemen we $F$ ; de temperatuur in graden Celsius noemen we $C$ . Er is een lineair verband tussen $F$ en $C$ .

Laat zien dat de volgende formule geldt: $F = 1,8 C + 32$ .

Bereken hoeveel graden Celsius overeenkomt met $100$ graden Fahrenheit.

Bereken bij welke temperatuur Celsius en Fahrenheit precies gelijk zijn.

Geef een formule voor $C$ uitgedrukt in $F$ .

Opmerking:

De grafiek van een formule van de vorm $p x + q y = r$ is ook altijd een rechte lijn. Een formule van de vorm $p x + q y = r$ is meestal om te schrijven naar een formule van de vorm $y = a x + b$ .

Bedenk een voorbeeld van een formule van de vorm $p x + q y = r$ die niet is om te schrijven naar een formule van de vorm $y = a x + b$ .

Wat voor soort lijn hoort daarbij?

Bekijk nogmaals opgave 10.

Schrijf het lineaire verband tussen de variabelen $C$ en $F$ in de vorm $p C + q F = r$ , met $p$ , $q$ en $r$ gehele getallen.

Exponentiële verbanden

Bij de volgende tabel hoort een exponentieel verband.

Vul de tabel verder in.

Bereken $y$ als $x = 10$ .

Wat is de bijbehorende groeifactor?

Geef een formule waarbij $y$ wordt uitgedrukt in $x$ .

Bereken in twee decimalen het getal $x$ waarvoor $y = 100$ .

Er is sprake van een exponentieel verband als een vaste toename van de ene grootheid ( $x$ ) resulteert in de groei van de andere grootheid ( $y$ ) met een zekere factor.

Als $x$ toeneemt met $1$ , dan wordt $y$ , zeg $g$ keer zo groot.
Als $x$ toeneemt met $2$ , dan wordt $y$ dus $g^{2}$ keer zo groot.
Als $x$ toeneemt met $3$ , dan wordt $y$ dus $g^{3}$ keer zo groot.
Als $x$ toeneemt met $n$ , dan wordt $y$ dus $g^{n}$ keer zo groot.

Het getal $g$ heet de groeifactor van het exponentiële verband.

Vul de juiste getallen in:

Bij groeifactor $1,2$ hoort een procentuele groei met …%.

Bij groeifactor $1,035$ hoort een procentuele groei met …%.

Bij groeifactor $0,6$ hoort een procentuele groei met …%.

Bij groeifactor $0,974$ hoort een procentuele groei met …%.

Bij een procentuele groei met $7,2 %$ hoort groeifactor ….

Bij een procentuele groei met $0,23 %$ hoort groeifactor ….

Bij een procentuele afname met $17 %$ hoort groeifactor ….

Bij een procentuele afname met $3,2 %$ hoort groeifactor ….

Bij een groeifactor $g$ hoort een procentuele groei met $100 \cdot (g - 1) %$ .

Bij een procentuele groei met $p %$ hoort groeifactor $1 + \frac{p}{100}$ .

Bekijk hierboven het geval van een groeifactor $0,985$ .

Klopt de formule ook als de groeifactor kleiner is dan $1$ ?

Bekijk hierboven het geval van een afname met $5,3 %$ .

Klopt de formule ook als er sprake is van een procentuele daling?

De formule van een exponentieel verband is van de vorm $y = b \cdot g^{x}$ .

Het getal $g$ (de groeifactor) is een positief getal, ongelijk aan $1$ .

Als de groeifactor $g > 1$ , dan is de bijbehorende grafiek stijgend.

Als de groeifactor $g < 1$ , dan is de bijbehorende grafiek dalend.

Hoe ziet de grafiek van $y = b \cdot g^{x}$ er uit als de groeifactor $g$ gelijk is aan $1$ ?

In de praktijk weet men vaak niet of er sprake is van lineaire of exponentiële verbanden. Op grond van enkele meetgegevens maakt men dan een wiskundig model door te stellen: laten we aannemen dat er sprake is van lineaire groei (of exponentiële groei).

De wereldbevolking is tussen 1960 en 1999 verdubbeld van ongeveer $3$ miljard naar ongeveer $6$ miljard mensen.
Neem eens aan dat de wereldbevolking exponentieel groeit. We noemen dit een exponentieel model.

Met hoeveel procent neemt de wereldbevolking volgens dit model jaarlijks toe?

Met hoeveel procent neemt de wereldbevolking volgens dit model per $100$ jaar toe?

Stel een formule op voor de wereldbevolking $W$ (in miljarden) volgens dit model.

Hoeveel mensen zullen er volgens dit model in 2050 zijn?

We kunnen ook aannemen dat de bevolking lineair groeit. Dit is dus een lineair model. Het uitgangspunt is weer: $3$ miljard mensen in 1960 en $6$ miljard mensen in 1999.

Hoeveel mensen zullen er volgens dit model in 2050 zijn?

Stel een formule op voor de wereldbevolking $W$ (in miljarden) volgens dit model.

De VN voorspelt in 2050 een wereldbevolking van ongeveer $9,7$ miljard mensen.

Welke van de twee modellen geeft de beste voorspelling voor 2050?

Kun je daar een verklaring voor geven?