Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

In een dorp van $10.000$ inwoners heerst een epidemie. Op een gegeven moment zijn er $500$ mensen ziek. We bekijken de situatie in het dorp vanaf dat moment om de week.
$Z_{n}$ is het aantal zieken na $n$ weken, $V_{n}$ is het aantal vatbare mensen na $n$ weken, dat zijn de mensen die niet (nog) ziek zijn, maar wel ziek kunnen worden. $I_{n}$ is het aantal immune mensen na $n$ weken, dat zijn de mensen die ziek geweest zijn en daardoor niet meer ziek kunnen worden.
Zoals gezegd beginnen we met $500$ zieken. Er zijn nog geen immunen, dus de andere dorpelingen zijn vatbaar:
$Z_{0} = 500$ , $V_{0} = 9500$ , $I_{0} = 0$ .
We volgen de ontwikkeling van de epidemie in het dorp. Zieken steken vatbaren aan en zieken worden immuun. We werken met het volgende model:

$20$ % van de zieken steekt elke week één vatbare aan,
$30$ % van de zieken is een week later gezond (en dus immuun),
alle immunen blijven immuun.

Bereken het aantal zieken, het aantal vatbaren en het aantal gezonde mensen in het dorp na $1$ week. Ook na $2$ weken.

Hoe zal de ziekte zich in het dorp ontwikkelen? Zullen op den duur alle mensen in het dorp immuun worden? De ziekte zal uitsterven, maar zullen er vatbaren overblijven? Dat zijn moeilijke vragen, waar je niet zo maar het antwoord op weet.

Heb je enig idee wat de situatie na bijvoorbeeld 100 weken zal zijn?

Het model laat zich beschrijven met de volgende recursieve formules: ${\begin{cases} Z_{n} = 0,9 \cdot Z_{n - 1} \\ V_{n} = V_{n - 1} - 0,2 \cdot Z_{n - 1} n = 1, 2, 3, \dots \\ I_{n} = I_{n - 1} + 0,3 \cdot Z_{n - 1} \end{cases}$ .

Leg deze formules uit.

Maak een tabel met de GR.

Als je $Z_{n}$ , $V_{n}$ en $I_{n}$ tegelijk in beeld wilt brengen, heb je een driedimensionaal diagram nodig. Als we tevreden zijn met alleen de ontwikkelingen van $Z_{n}$ en $I_{n}$ , kunnen we volstaan met een tweedimensionaal diagram.

Maak dat voor $n = 0, 1, \dots,6$ . Zet het aantal zieken horizontaal en het aantal immunen verticaal.

Bepaal met de GR hoeveel zieken, vatbaren en immunen er zijn na $10$ weken.

Na $100$ weken is de epidemie nagenoeg uitgewoed.

Bereken met de GR hoeveel dorpelingen er in totaal ziek zijn geweest.

Opmerking:

De praktijk werkt niet zo mooi als een model als in de vorige opgave. Het model geldt hoogstens voor een paar weken. Toch kan het zinvol zijn om met zulke modellen te rekenen. Misschien zou je anders wel gedacht hebben dat op den duur alle mensen in het dorp ziek zouden worden. Dat is duidelijk niet het geval.

Griep op kantoor
Op een kantoor werken $1000$ mensen. Iedereen heeft regelmatig contact met iedereen. Op een zekere dag heeft een deel van het personeel griep. Hierdoor zullen ook anderen op kantoor aangestoken worden. In het begin groeit het aantal mensen dat aangestoken wordt snel. Na een paar dagen, als bijna iedereen griep heeft (gehad), groeit het aantal dat aangestoken wordt veel minder: er zijn niet meer zoveel mensen die nog aangestoken kunnen worden.
We gaan uit van de volgende veronderstellingen.

Van de ene kant is het aantal mensen dat op een bepaalde dag griep krijgt, evenredig met het aantal dat al griep heeft: als er twee keer zoveel besmettingshaarden zijn, dan worden er ook twee keer zoveel mensen aangestoken.
Van de andere kant is het aantal mensen dat op een bepaalde dag griep krijgt, evenredig met het aantal dat nog geen griep heeft: als er twee keer zoveel mensen nog geen griep hebben, dan kunnen er ook twee keer zoveel aangestoken te worden.

$A_{n}$ is het aantal mensen dat op het eind van dag n griep heeft. Het aantal mensen dat op dag $n$ griep krijgt, is $A_{n} - A_{n - 1}$ . Dit aantal wordt ook wel met $Δ A_{n}$ genoteerd. Bovenstaande veronderstellingen leiden tot de volgende formule.
$Δ A_{n} = c \cdot A_{n - 1} \cdot (1000 - A_{n - 1})$ voor een of ander getal $c$ .
Hierin is:

$Δ A_{n}$ is het aantal mensen dat griep krijgt tijdens de $n$ -de dag.
$A_{n - 1}$ is het aantal mensen dat griep heeft op het eind van dag $n - 1$ .
$1000 - A_{n - 1}$ is het aantal mensen dat nog geen griep heeft in het begin van dag $n$ .

Neem aan: ${\begin{cases} A_{0} = 10 \\ Δ A_{n} = 0,0007 \cdot A_{n - 1} \cdot (1000 - A_{n - 1}) \end{cases}$ $n = 1, 2,3, \dots$ .

Laat zien dat $A_{n} = 1,7 A_{n - 1} - 0,0007 {(A_{n - 1})}^{2}$ .

Wat is de iteratiefunctie $F$ ?

Teken de webgrafiek (op de GR of in GeoGebra).

Bereken de dekpunten van $F$ .

Het dekpunt $\neq 0$ is het verzadigingsniveau dat de rij $A_{n}$ op den duur bereikt.

Maak met de GR een stippengrafiek van de rij $A_{n}$ . Zoek uit hoe dat op jouw GR gaat.

In onderdeel a heb je de recursieve formule geschreven als
${\begin{cases} A_{0} = 10 \\ A_{n} = 1,7 \cdot A_{n - 1} - 0,0007 \cdot {(A_{n - 1})}^{2} \end{cases}$ $n = 1, 2, 3, \dots$ .
In het begin is $A_{n}$ nog klein, de term $0,0007 \cdot {(A_{n - 1})}^{2}$ speelt dan nauwelijks een rol, dus $A_{n} = 1,7 \cdot A_{n - 1}$ .

Welk soort groei hoort bij $A_{n} = 1,7 \cdot A_{n - 1}$ ?

Hoe groter de groep wordt die griep heeft (gehad), hoe zwaarder de term $0,0007 \cdot {(A_{n - 1})}^{2}$ gaat wegen: de groei wordt geremd.

Een bacteriekolonie groeit onder ideale omstandigheden exponentieel. Wanneer ze in laboratoriumomstandigheden op bijvoorbeeld een petri-schaal gekweekt wordt, kan de groei niet ongebreideld doorgaan: er ontstaat voedsel- en/of ruimtegebrek. De groei wordt geremd. Men spreekt dan van geremde groei of logistische groei.

Van een kolonie gistcellen wordt de groei bijgehouden. Elk uur wordt de hoeveelheid gist gemeten. In de tabel hiernaast vind je de meetwaarden. Ze zijn uitgezet in onderstaande grafiek.

Een model dat deze meetwaarden goed benadert, wordt gegeven door de recursieve betrekking:
${\begin{cases} A_{0} = 10 \\ A_{n} = 1,5 \cdot A_{n - 1} - 0,001 \cdot {(A_{n - 1})}^{2} \end{cases}$ $n = 1, 2, 3, \dots$

Maak een stippengrafiek bij de rij $A_{n}$ en vergelijk de meetwaarden met de waarden van het model.

De vraag is natuurlijk hoe je aan de formule van het model komt.
De hoeveelheid gistcellen $Δ A_{n}$ die er in een uur bij komt is evenredig

met de hoeveelheid $A_{n - 1}$ die er het vorige uur was, en
met met de ruimte $V - A_{n - 1}$ , die er nog is om te groeien.

Hierbij is $V$ het verzadigingsniveau. Vergelijk dit met de vorige opgave.
Dan is dus evenredig met het product van $A_{n - 1}$ en $V - A_{n - 1}$ . In formulevorm:
$Δ A_{n} = c \cdot A_{n - 1} \cdot (V - A_{n - 1})$ , oftewel: $A_{n} = A_{n - 1} + c \cdot A_{n - 1} \cdot (V - A_{n - 1})$ waarbij $c$ een of andere constante is.
In ons voorbeeld is het verzadigingsniveau $V = 500$

Bereken uit $A_{n} = 1,5 \cdot A_{n - 1} - 0,001 \cdot {(A_{n - 1})}^{2}$ de waarden van $c$ en $V$ .

Voor kleine waarden van $n$ is de groei nagenoeg exponentieel. Door in $A_{n} = 1,5 \cdot A_{n - 1} - 0,001 \cdot {(A_{n - 1})}^{2}$ de kwadratische term te verwaarlozen, kun je de groeifactor per uur bepalen.

Doe dat en bepaal hiermee met hoeveel procent per uur de hoeveelheid gistcellen in het begin groeit.

Uit onderzoeken in het begin van de twintigste eeuw bleek dat allerlei biologische groeiprocessen min of meer hetzelfde verlopen. Na aanvankelijke exponentiële groei wordt de groei geremd door beperkende factoren. De hoeveelheid nadert een verzadigingsniveau. De tijd-grafiek van de hoeveelheid heeft een typische vorm. Hij wordt wel een S-kromme genoemd.

Naamsbekendheid
Een bepaald merk wasmiddel is bekend bij $50$ van $100$ ondervraagden. Met een reclamecampagne wil de fabrikant van het wasmiddel de naamsbekendheid vergroten. Volgens een reclamebureau kan de naamsbekendheid door een intensieve campagne groeien met $2$ % per week.
$U_{n}$ is het aantal ondervraagden per $100$ dat het wasmiddel na $n$ weken campagne voeren kent.

Geef een recursieve formule voor $U_{n}$ :
${\begin{cases} U_{0} = \dots \\ U_{n} = \dots \end{cases} n = 1, 2, 3, \dots$

Bereken met de GR de naamsbekendheid na een half jaar.

Geef een directe formule voor $U_{n}$ .

Het model van $2$ % groei per week dat het reclamebureau hanteert, kan niet goed zijn.

Waarom niet?

In plaats van exponentiële groei bekijken we nu een logistisch groeimodel voor de naamsbekendheid, men spreekt ook wel van geremde groei. $V_{n}$ is het aantal ondervraagden per 100 dat het wasmiddel na $n$ weken campagne voeren kent volgens dit tweede model.
We gaan uit van het volgende.

$V_{n}$ kan niet groter worden dan $100$ (het verzadigingsniveau),
$V_{0} = 50$ ,
$V_{1} = 51$ (dus de eerste week $2$ % groei).

Er geldt: $Δ V_{n} = c \cdot V_{n - 1} \cdot (100 - V_{n - 1})$ , voor $n = 1, 2, 3, \dots$ . Hierbij is $Δ V_{n} = V_{n} - V_{n - 1}$ en is $c$ een of andere constante.

Bereken $c$ .

Bereken $V_{26}$ .

Teken de stippengrafiek van $V$ op de GR.

Bepaal met behulp van de GR in welke week het verschil tussen beide modellen minstens $14$ is.

In deze opgave is sprake van twee modellen. Bij het eerste model hoort een lineaire iteratieve functie, bij het tweede een kwadratische.

Geef van beide functies een formule

Vraag en aanbod
Op een veiling worden tomaten verhandeld: tuinders bieden tomaten aan, winkeliers kopen ze. Hoeveel tomaten naar de veiling gebracht worden (het aanbod), hangt af van de prijs die ze voor de tomaten ontvangen. Die prijs bepaalt ook hoe groot de vraag is.
Soms is het aanbod zo groot dat de tomaten worden 'doorgedraaid'.

Welk effect zal een prijsverhoging hebben op het aanbod? En op de vraag?

$P$ is de prijs van één kg tomaten (in euro), $Q_{a}$ is de aangeboden hoeveelheid tomaten, Qv is de $Q_{v}$ gevraagde hoeveelheid tomaten. Qa en Qv (beide in honderden kg) zijn functies van $P$ . De functies hangen in de praktijk af van allerlei factoren. Om economische verschijnselen beter te kunnen verklaren, wordt in de economie de werkelijkheid vereenvoudigd tot een model. In het meest eenvoudige model gebruikt men ,i>lineaire functies, dus functies waarvan de grafiek een rechte lijn is.
We nemen als voorbeeld: $Q_{a} = 2 P + 5$ en $Q_{v} = ‐ 3 P + 30$ .

Teken de grafieken van deze functies.

In normale omstandigheden is de tomatenmarkt in evenwicht. Vraag en aanbod zijn dan precies gelijk: er is geen tekort en ook geen overschot.

Bereken de evenwichtsprijs en de evenwichtshoeveelheid in ons voorbeeld.

Soms zijn de omstandigheden niet normaal. Zo kan de vraag ineens instorten. Veronderstel dat de vraag wordt: $Q_{v} = ‐ 3 P + 15$ , terwijl het aanbod hetzelfde blijft: $Q_{a} = 2 P + 5$ .
De evenwichtsprijs is dan veel te laag voor de tuinders. De overheid stelt dan een minimumprijs vast, zeg $P = 3$ .

Hoe groot is het overschot aan tomaten, bij die prijs? (Dat is het aanbod min de vraag.)

In zo’n situatie wordt het overschot door een overheidsinstantie uit de markt genomen ( = “doorgedraaid”).

Soms kan het aanbod drastisch afnemen. Veronderstel dat je aanbod wordt: $Q_{a} = 2 P - 4$ , terwijl de vraag hetzelfde blijft: $Q_{v} = ‐ 3 P + 30$ . De evenwichtsprijs is dan onaanvaardbaar hoog voor de consument. De overheid stelt dan een maximumprijs vast, zeg $P = 6$ .

Hoe groot is het tekort aan tomaten bij die prijs? (Dat is de vraag min het aanbod.)

In zo’n situatie van schaarste worden de tomaten gedistribueerd (via een bonnensysteem). In onze economie van overvloed komt dat niet voor.

In de vorige opgave hebben we verondersteld dat de markt onmiddellijk reageert op veranderingen in de prijs. Bij de varkenscyclus is dat niet het geval. In dat voorbeeld worden vraag en aanbod in een jaar bepaald door de prijs $1 \frac{1}{2}$ jaar geleden. Als de tijd op deze manier een rol speelt, krijgen we een dynamisch marktmodel.

De varkenscyclus
De Duitse onderzoeker Hanau ontdekte het volgende patroon.
Is de prijs van varkensvlees hoog, dan zullen er meer varkens gefokt worden. Na $1 \frac{1}{2}$ jaar wordt er dan veel varkensvlees op de markt aangeboden. Hierdoor daalt de prijs van varkensvlees. Dientengevolge gaan de fokkerijen inkrimpen, zodat na weer $1 \frac{1}{2}$ jaar varkensvlees betrekkelijk schaars wordt. Dus gaat de prijs weer oplopen.
En het proces begint weer van voren af aan.

Veronderstel dat er een tijdsvertraging is van $1$ jaar: het aanbod in jaar $n$ wordt bepaald door de prijs in jaar $n - 1$ .
We nemen als voorbeeld:
$Q a_{n} = P_{n - 1} - 60$ ;
$Q v_{n} = ‐ 2 P_{n} + 300$ .
De markt zal een evenwicht zoeken. Dus voor elke $n$ zal gelden: $Q a_{n} = Q v_{n}$ .
We bekijken de volgende afhankelijkheid:
$\dots \to P_{n - 1} \to Q a_{n} = Q v_{n} \to P_{n} \to Q a_{n + 1} = Q v_{n + 1} \to P_{n + 1}$ .

Wat is het effect van een hoge prijs in jaar $n - 1$ op het aanbod (en de vraag) in het jaar $n$ ? Wat is dus het effect op de prijs in jaar $n$ ?

Wat is het effect van een lage prijs in jaar $n - 1$ op het aanbod (en de vraag) in het jaar $n$ ? Wat is dus het effect op de prijs in jaar $n$ ?

Stel dat $P_{0} = 80$ .

Bereken zonder GR: $Q a_{1} = Q v_{1}$ , $P_{1}$ , $Q a_{2} = Q v_{2}$ , $P_{2}$ , $Q a_{3} = Q v_{3}$ , $P_{3}$ , $Q a_{4} = Q v_{4}$ en $P_{4}$ .

Bij een beginprijs $P_{0} = 80$ is via de grafieken van $Q_{a}$ en $Q_{v}$ de waarden van $P_{1}$ en $P_{2}$ bepaald.

Teken op het werkblad de stappen erbij tot en met $P_{4}$ . Komen de waarden van $P_{1}$ tot en met $P_{4}$ ongeveer overeen met de waarden die jij in onderdeel c op de GR hebt berekend?

Maak nog zo'n grafiek op het werkblad bij een beginprijs $P_{0} = 230$ .

Je ziet dat de prijzen convergeren naar een bepaalde waarde.

Hoe vind je die waarde in het diagram? Welke waarde is dat? Wat is de bijbehorende hoeveelheid die wordt verhandeld?

Bereken de limietwaarden precies door het snijpunt van twee lijnen te berekenen.

We gaan verder met het voorbeeld van de vorige opgave.

Leid uit de vergelijkingen $Q a_{n} = Q v_{n}$ af:
$P_{n} = ‐ 0,5 P_{n - 1} + 180$ .

Maak een tabel voor $P_{n}$ op de GR met beginwaarde $P_{0} = 80$ .

Klopt de limietwaarde van de prijs met die je in de vorige opgave hebt gevonden?

Veronderstel dat aanbod en vraag als volgt van de prijs afhangen: $Q a_{n} = 0,60 P_{n - 1} - 22$ en $Q v_{n} = ‐ 0,60 P_{n - 1} + 50$ .

Teken een diagram zoals in opgave 92. Begin met $P_{0} = 50$ en beschrijf de ontwikkeling van de prijs.

De vergelijkingen worden veranderd in: $Q a_{n} = 0,61 P_{n - 1} - 22$ en $Q v_{n} = ‐ 0,60 P_{n - 1} + 50$ .

Hoe verandert de ontwikkeling? Kun je dat met behulp van het diagram uitleggen?

De vergelijkingen worden veranderd in: $Q a_{n} = 0,59 P_{n - 1} - 22$ en $Q v_{n} = ‐ 0,60 P_{n - 1} + 50$ .

Hoe verandert de ontwikkeling? Kun je dat met behulp van het diagram uitleggen?

In opgave 94 we drie situaties bekeken. In alledrie is er een evenwicht bij $P \approx 60$ , namelijk bij de prijs die hoort bij het snijpunt van de grafieken.
Bij vraag opgave 94b is elke kleine verstoring van de evenwichtsprijs fataal, want dan ontaardt de prijsontwikkeling in een wilde steeds heftigere schommeling. We spreken van een instabiel evenwicht. Bij vraag opgave 94c is de evenwichtsprijs bestand tegen elke verstoring, want dan zal de uit zijn evenwicht gebrachte prijs "uit zichzelf" weer terug ontwikkelen naar het evenwicht. We spreken van een stabiel evenwicht.

In het voorgaande hebben we de ontwikkeling van de prijs bekeken van een economisch goed (handelswaar) op de markt. In de macro-economie gaat het over de de economie van een heel land. Belangrijke begrippen zijn daarbij:

het nationale inkomen $Y$ : dat wat de mensen in het land met zijn allen verdienen,
de investeringen $I$ : het kapitaal dat wordt gebruikt voor bijvoorbeeld het ontwikkelen van nieuwe producten, voor nieuwe machines en gebouwen,
de consumptie $C$ : de gelden die door de mensen worden uitgegeven.

Deze grootheden hangen met elkaar samen.

In een zeker model gaat men uit van de volgende verbanden:
$C = 0,4 Y + 70$ ,
$I = 20$ ,
$Y = I + C$ .

Leg kort in je eigen woorden uit wat deze formules zeggen.

Bereken $C$ en $Y$ .

We maken het model van de vorige opgave dynamisch. Veronderstel dat de consumptie vertraagd reageert op de het nationale inkomen (het moet een tijd goed gaan, voordat de mensen meer geld gaan uitgeven).

Gegeven zijn de volgende recursieve betrekkingen:
$C_{n} = 0,4 Y_{n - 1} + 70$ , $I_{n} = 20$
$Y_{n} = C_{n} + I_{n}$ .
Hierin zijn $n = 0, 1, 2, \dots$ de opvolgende jaren.
Neem $Y_{n} = C_{n} + I_{n}$ .

Bereken zonder GR achtereenvolgens $C_{1}$ , $Y_{1}$ , $C_{2}$ , $Y_{2}$ $C_{3}$ en $Y_{3}$ .

Er gelden twee formules voor de consumptie, uitgedrukt in het nationale inkomen: $C_{n} = Y_{n - 1} - 20$ en $C_{n} = 0,4 Y_{n - 1} + 70$ .
Op het werkblad zijn de grafieken van $C = Y - 20$ en $C = 0,4 Y + 70$ getekend.

Maak bij beginwaarde $Y_{0} = 80$ een diagram met daarin de stappen voor $n = 0, 1, 2$ en $3$ .

Maak ook het diagram bij beginwaarde

Bereken de limietwaarden voor $Y_{n}$ en $C_{n}$

Er geldt: $Y_{n} = 0,4 Y_{n - 1} + 90$ .

Laat dat zien.

Bepaal hiermee de limietwaarde van $Y_{n}$