3.3 Rekenkundige en meetkundige rijen >

Hoofdstukken > Discrete dynamische modellen

Bekijk de rij bouwsels in de figuur hieronder.
$a_{n}$ is het aantal blokjes in het $n$ -de bouwsel in de rij.
Zo is $a_{0} = 7$ , $a_{1} = 11$ , $a_{2} = 15$ en $a_{3} = 19$ .

Wat is het verschil van de rij $a$ ?

Geef een directe formule voor de rij $a_{n}$ en ook een recursieve.

Je kunt ook alleen de blauwe bouwsels bekijken. Het aantal blokken dat je voor de opvolgende blauwe bouwsels nodig hebt is: $11$ , $19$ ,… .

Is deze rij rekenkundig? Zo ja, wat is het verschil?

De bouwsels passen mooi in elkaar, zie de figuur hiernaast.

Bereken $a_{0} + a_{1} + ... + a_{9} + a_{10}$ .

We definiëren $b_{n} = a_{0} + a_{1} + ... + a_{n - 1} + a_{n}$ .
Er geldt: $b_{n} = 2 n^{2} + 9 n + 7$ .

Toon dit aan.

Is de rij $b$ met $b_{n} = 2 n^{2} + 9 n + 7$ rekenkundig?

In figuur 1 hieronder zie je een boom groeien. De stadia die je ziet nummeren we $n = 1, 2, 3$ en $4$ .

figuur 1

Het aantal takken dat er in het $n$ -de stadium bij getekend wordt, noemen we $a_{n}$ , zo is $a_{2}$ het aantal lichtblauwe takken in het tweede stadium, dus $4$ .

Geef een recursieve formule:
${\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n} = ... \end{cases} n = 2,3, ...$
Vul dus in de tweede regel in hoe $a_{n}$ uit $a_{n - 1}$ ontstaat.

Geef een directe formule voor $a_{n}$ .

Bekijk het uitdijend patroon van letters H in de figuur hieronder, ook in de applet groeiende boom te zien.
Het aantal H's dat er in het bouwsel van stadium $n$ bijkomt, noemen we $b_{n}$ . Je kunt natellen dat $b_{2} = 64$ .

figuur 2

Geef een directe formule voor $b_{n}$ .

De groeiende boom en het uitdijende aantal H's zijn voorbeelden van een zogenaamde fractal.
Op internet kun je veel informatie over fractals vinden. Zie bijvoorbeeld de applet Zelf fractals maken van Henk Reuling.

Je kunt je ook afvragen hoeveel letters H er bijvoorbeeld in figuur 2 van opgave 23 staan als $n = 2$ .
Dat is $b_{0} + b_{1} + b_{2} = 1 + 4 + 16 = 21$ .
Het is de som van de eerste drie termen van de rij $b$ .
$b_{n}$ van opgave 22 is de som van de eerste $n + 1$ termen van de rij $a$ .
In het volgende houden we ons bezig met de somrij van een rij.

Bekijk nog eens de rij $b$ van opgave 23.
We definiëren $s_{n} = b_{0} + b_{1} + \dots + b_{n}$ voor $n = 0, 1, 2, \dots$ .
Dus $s_{0} = 1$ , $s_{1} = 5$ en $s_{2} = 21$
Moos heeft zijn best gedaan en berekend dat $s_{7} = 21845$ .

Bereken hiermee $s_{8}$ .

Een recursieve formule voor $s_{n}$ is van de vorm:
${\begin{cases} s_{0} = 1 \\ s_{n + 1} = s_{n} + \dots \end{cases}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Vul op de stippellijn het passende in.

Voer twee rijen in op je GR: de rij $b$ met een directe formule en de rij $s$ met een recursieve formule.
Controleer hiermee $s_{8}$ .

Gegeven is een rij $a_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
Dan noemen we de rij $s_{0} = a_{0}$ , $s_{1} = a_{0} + a_{1}$ , $s_{2} = a_{0} + a_{1} + a_{2}$ , $\dots$
de somrij van de rij $a_{n}$ .
Een recursieve formule voor de somrij is: ${\begin{cases} s_{0} = a_{0} \\ s_{n + 1} = s_{n} + a_{n + 1} \end{cases} n = 0, 1, 2, \dots$ .

Bekijk nog eens de rij $a$ van opgave 23 met $a_{n} = 4 n + 7$ . De somrij van de rij $a_{n}$ noemen we $s_{n}$ .

Voer een recursieve betrekking voor de rij $s_{n}$ in op je GR.

In opgave 23 heb je gezien dat $s_{n} = 2 n^{2} + 9 n + 7$ .

Voer de rij $t_{n} = 2 n^{2} + 9 n + 7$ en controleer in een tabel of de rijen $s$ en $t$ overeenkomen.

In het vervolg leiden we een directe formule voor de somrij van een rekenkundige en een meetkundige rij af.

De somrij van een rekenkundige rij

Gegeven is de rekenkundig rij $u_{n}$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ , met $u_{1} = 100$ en $u_{10} = 190$ .

Wat is het verschil $u_{n} - u_{n - 1}$ van de rij?

We bekijken de som $s = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{10}$ .
Analoog aan de truc van Gauss schrijven we:
$\begin{array}{l} s = 100 + 110 + \dots + 190 \\ \underline{s = 190 + 180 + \dots + 100} \\ 2 s = 290 + 290 + \dots + 290 \end{array}$

Wat vind je op die manier voor $s$ ?

Bereken zo ook $u_{1} + u_{2} + \dots + u_{30}$ .

De som van een aantal opeenvolgende termen van een rekenkundige rij vind je als volgt.
Vermenigvuldig het aantal termen met het gemiddelde van de beginterm en de eindterm.

Voorbeeld:

Gegeven is de rij $a_{n} = 3 n + 10$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
De bijbehorende somrij is $s_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ . Dan is $s_{n} = \frac{1}{2} (n + 1) (a_{0} + a_{n}) = \frac{1}{2} (n + 1) (10 + 3 n + 10) = 1 \frac{1}{2} n^{2} + 11 \frac{1}{2} n + 10$ .
Let op!
Het aantal termen in $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n}$ is $n + 1$ .

Formule voor de somrij van een rekenkundige rij
Gegeven is een rekenkundige rij $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ met somrij $s_{0}, s_{1}, s_{2}, \dots$ .
Dan $s_{n} = \frac{1}{2} (n + 1) (a_{0} + a_{n})$ .

We bekijken weer eens de rij $a_{n} = 4 n + 7$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ van opgave 22. Daar was $b_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n}$ .

Geef een formule voor $b_{n}$ met de theorie hierboven.

Gegeven is een rekenkundige rij met verschil $3$ . Twee termen van de rij zijn $300$ en $492$ .

Bereken de som van de termen van de rij van $300$ tot en met $492$ , dus $300 + 303 + \dots + 492$ .

Bereken met bovenstaande formule: $70 + 63 + 56 + 49 + \dots + ‐ 56 + ‐ 63$ .

De somrij van een meetkundige rij

Hiernaast is een balk verdeeld in twee helften. De rechter helft is weer verdeeld in twee helften, enzovoort.

Leg aan de hand van de onderste balk uit dat $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = 1 - \frac{1}{16}$ .

Kun je nu ook onmiddellijk uitrekenen wat de uitkomst is van $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256}$ ?

Ga na dat de rij $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\dots$ meetkundig is. Wat is de reden?

Gegeven is de rij $u$ met $u (n) = {(‐ 1)}^{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .

Omschrijf in woorden hoe deze rij eruit ziet.

Ga na dat de rij $u$ meetkundig is.
Wat is de reden?

We definiëren $s (n) = u (0) + u (1) + \dots u (n)$ .

Wat is $s (100)$ en wat $s (101)$ ?

Formule voor de somrij van een meetkundige rij
Gegeven is de meetkundige rij met beginterm $a$ en reden $r$ : $a_{n} = a \cdot r^{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
De bijbehorende somrij noemen we $s_{n}$ .
Dan: $s_{n} = a \cdot \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r}$ .

Controleer de formule voor de rijen in opgave 28b en opgave 29c.

Bewijs van de formule
We bekijken de meetkundige rij $u$ met reden $r$ en beginterm $1$ :
$u (n) = r^{n}$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ .
De bijbehorende somrij noemen we $s (n)$ , dus
$s (n) = 1 + r + \dots + r^{n}$ .
Er geldt: $1 + r \cdot s (n) = s (n) + r^{n + 1}$ .

Ga dat na.

Druk $s (n)$ uit in $r$ met behulp van de gelijkheid
$1 + r \cdot s (n) = s (n) + r^{n + 1}$ .

De formule voor de somrij van een meetkundige rij met beginterm $a$ volgt onmiddellijk uit het antwoord op het vorige onderdeel.

Voor welke waarde van $r$ is de formule onzin?
Wat is in dat geval de som?

Bekijk de som: $1 + 0,1 + 0,01 + \dots + 0,000000001$ . De 'uitkomst' van de som kun je waarschijnlijk zo geven.

Doe dat en gebruik ook de formule om de uitkomst te bepalen.

Bereken met de formule.

$1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187$

$10 + 30 + 90 + 270 + 810 + 2430 + 7290 + 21870$

$\frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2} + 4 \frac{1}{2} + 13 \frac{1}{2} + 40 \frac{1}{2} + 121 \frac{1}{2} + 364 \frac{1}{2} + 1093 \frac{1}{2}$

We bekijken de meetkundige rij $u$ met $u (n) = 5 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n}$ , voor
$n = 0, 1, 2, \dots$ met bijbehorende somrij $s (n)$ .

Geef een formule voor $s (n)$ in de vorm: $s (n) = a \cdot b^{n} + c$ .

Als $n$ naar oneindig nadert, nadert de som tot een zekere limietwaarde.

Welke limietwaarde?

Bepaal voor welke waarden van $n$ de som minder dan $10^{‐ 6}$ van die limietwaarde verschilt.

Van een discreet dynamisch proces kun je op de GR een tijdgrafiek maken. Horizontaal zet je de tijd uit, dat is dus wat door " $n$ " wordt aangegeven.
Je krijgt dan een stippengrafiek.

Zoek uit hoe dat op jouw apparaat werkt. Neem de rij in deze opgave als voorbeeld.

Het Σ-teken

In de jaarlijkse onderhandelingen over de hoogte van het zakgeld doet Anne de volgende voorstellen aan haar ouders.
Voorstel 1
Anne begint de eerste week met één eurocent zakgeld. Elke volgende week wordt haar zakgeld verdubbeld; de tweede week krijgt ze dus twee eurocent, de derde week vier eurocent, enzovoorts.
Voorstel 2
De eerste week krijgt Anne $4$ euro zakgeld. Elke volgende week komt er $1$ euro bij. De tweede week krijgt ze dus $5$ euro, de derde week $6$ euro, enzovoorts.
Lachend gaan Annes ouders akkoord met voorstel 1.

Welk voorstel lijkt jou op het eerste gezicht het voordeligst voor de ouders van Anne? (Niet gaan rekenen.)

Het bedrag dat Anne in de $n$ -de week ontvangt volgens voorstel 1 noemen we $u (n)$ en het bedrag dat Anne in de $n$ -de week ontvangt volgens voorstel 2 noemen we $v (n)$ .

Voer in je GR een directe formule in voor $u (n)$ en ook een formule voor $v (n)$ .
Begin bij $n = 1$ .

In welke week is het bedrag dat Anne ontvangt volgens voorstel 1 voor het eerst groter dan volgens voorstel 2?
Maak een tabel op je GR.

Vanaf welke week ontvangt Anne volgens voorstel 1 meer dan $100.000$ euro?

Bepaal met de GR het bedrag dat Anne volgens de voorstellen ontvangt in week $52$ .

Bekijk nog eens de rij van opgave 35 bij voorstel 2 van Anne. De eerste week krijgt ze $4$ euro, elke week komt er $1$ euro bij. Het bedrag dat Anne in de $n$ -de week ontvangt volgens voorstel 2 is $v (n)$ genoemd. Het totale bedrag dat ze de eerste vijf weken ontvangen heeft is $v (1) + v (2) + v (3) + v (4) + v (5)$ . Voor deze som hebben we in de wiskunde een speciale notatie: $\sum_{i = 1}^{5} v (i)$ .

Bereken $\sum_{i = 1}^{5} v (i)$ .

Bekijk de rij $t_{n} = 7 + 3 n$ , $n = 0$ , $1$ , $2$ , … voor.
Met $\sum_{i = 0}^{3} t_{i}$ bedoelen we: $t_{0} + t_{1} + t_{2} + t_{3}$ .

Bepaal $\sum_{i = 0}^{3} t_{i}$ .

Wat betekent $\sum_{i = 1}^{3} t_{i}$ ? Bepaal $\sum_{i = 1}^{3} t_{i}$ .

Opmerking:

Ook in de statistiek wordt het $Σ$ -teken veel gebruikt, bijvoorbeeld om het gemiddelde van een databestand te berekenen. Hiervoor moet je de getallen van dat bestand eerst sommeren (bij elkaar optellen) en dan delen door het aantal. $Σ$ is de griekse hoofdletter sigma. $Σ$ noemt men ook wel het sommatie-teken

Anneke gooit een aantal keren met een dobbelsteen en noteert telkens het aantal ogen. Het aantal ogen dat ze de eerste keer gooit noemen we $x_{1}$ , de tweede keer $x_{2}$ , de derde keer $x_{3}$ , enzovoort.
De som van de eerste vijf worpen schrijven we zo op: $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$ : de som van $x_{i}$ , waarbij $i$ loopt van $1$ tot en met $5$ .
Zo is $\sum_{i = 3}^{7} x_{i} = x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7}$ , het totaal aantal ogen van de derde tot en met de zevende worp.

Hieronder staat het lijstje van de worpen van Anneke.

Bereken $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}$ en $\sum_{i = 3}^{7} x_{i}$ .

Bereken ook: $\sum_{i = 1}^{5} 2 x_{i}$ en $\sum_{i = 3}^{7} (x_{i} - 1)$

De antwoorden van opgave 33 kun je ook met de GR vinden.

Zoek uit hoe dat werkt.

VVV speelt acht wedstrijden in een toernooi. Het aantal doelpunten dat VVV in de eerste wedstrijd maakt noemen we $x_{1}$ , het aantal doelpunten van de tegenpartij $y_{1}$ , het aantal doelpunten in de tweede wedstrijd van VVV noemen we $x_{2}$ en dat van de tegenstander $y_{2}$ , enzovoort.
Voor elk doelpunt dat VVV maakt geeft een sponsor $1000$ euro.

Wat is de betekenis van:
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i}$ , $\sum_{i = 1}^{8} y_{i}$ , $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} + y_{i})$ , $\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - y_{i})$ , $\sum_{i = 1}^{8} 1000 x_{i}$ ?

Ga na of geldt:
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} + \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = \sum_{i = 1}^{8} (x_{i} + y_{i})$ ,
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} - \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = \sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - y_{i})$ ,

$\sum_{i = 1}^{8} 1000 x_{i} = 1000 \cdot \sum_{i = 1}^{8} x_{i}$ .

In het algemeen geldt niet: $(\sum_{i = 1}^{8} x_{i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{8} y_{i}) = \sum_{i = 1}^{8} x_{i} \cdot y_{i}$ .
Neem maar eens $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{8} = y_{1} = y_{2} = \dots = y_{8} = 1$ .

Wat is dan $(\sum_{i = 1}^{8} x_{i}) \cdot (\sum_{i = 1}^{8} y_{i})$ en wat is $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} \cdot y_{i}$ ?