Groeisnelheid

De gemiddelde groeisnelheid (gemiddelde helling) van de functie f op [ a , b ] is f ( b ) f ( a ) b a .

f ( b ) f ( a ) noteert men vaak met Δ y en b a met Δ x .
Men noemt f ( b ) f ( a ) b a en Δ y Δ x ook wel een differentiequotiënt.
De groeisnelheid van de functie in het punt met eerste coördinaat a is de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt met eerste coördinaat a .


Voorbeeld

Gegeven is een tijd-afstand-grafiek bij een bewegend voorwerp. De snelheid van het voorwerp op een bepaald moment is de helling (= richtingscoëfficiënt) van de raaklijn in het bijbehorende punt van de grafiek.


Je kunt de groeisnelheid uitrekenen met een rekenschema.

Voorbeeld

Gegeven de functie B met B ( t ) = 1 2 t 2 + 2 t .
Om de helling van de grafiek van B in het punt met t = 3 te benaderen, kun je een rekenschema gebruiken:

t = 3

B = 10,5

t = 3,1 ¯

B = 11,005 ¯

Δ t = 0,1

Δ B = 0,505

dus Δ B Δ t = 5,05 .


De helling van de functie f in het punt met eerste coördinaat a is:
lim Δ x 0 f ( a + Δ x ) f ( a ) Δ x of lim x a f ( x ) f ( a ) x a .


We noteren de helling van de functie f in het punt met eerste coördinaat x als f ( x ) .


f heet de afgeleide functie van f .


Een functie differentiëren betekent: de afgeleide van de functie bepalen.

  • Als f ( x ) > 0 voor alle x met a < x < b , dan is f stijgend op het interval [ a , b ] .

  • Als f ( x ) < 0 voor alle x met a < x < b , dan is f dalend op het interval [ a , b ] .

  • Als f ( x ) = 0 voor alle x met a < x < b , dan is f constant op het interval [ a , b ] .

Regels voor differentiëren
  • Veelvoudregel

    Veronderstel, er is een getal c zodat g ( x ) = c f ( x ) voor alle x , dan g ( x ) = c f ( x ) voor alle x .

  • Somregel

    Als f = g + h , dan f = g + h .

  • De afgeleide van een machtsfunctie

    Als f : x x n , dan f : x n x n 1
    Deze regel geldt voor positieve gehele n , voor n = 1 2 , n = 0 en n = 1 .


Een veeltermfunctie is een functie van de vorm:
y = a + b x + c x 2 + d x 3 + .

Extremen

Als de functie f een maximum of een minimum bereikt in a , dan noemen we f ( a ) een extreme waarde.
Bij een gladde functie geldt voor de eerste coördinaat a van zo'n punt: f ( a ) = 0 .


Maar:
als f ( a ) = 0 , dan hoeft f ( a ) geen extreme waarde te zijn;
als f ( a ) een extreme waarde is, dan hoeft f ( a ) niet 0 te zijn.


Voorbeeld
De functie x | x | is niet differentieerbaar voor x = 0 , maar heeft wel een extreme waarde voor x = 0 .
De functie x x 3 heeft afgeleide 0 in 0 , maar geen extreme waarde in 0 .

Voorbeeld

Gegeven de functie f : x x 4 4 x 3 .

  • f ( x ) = 0 x 3 ( x 4 ) = 0 x = 0 of x = 4 , dus de nulpunten van f zijn: 0 en 4 .

  • f ( x ) = 4 x 3 12 x 2

  • f ( x ) = 0 4 x 2 ( x 3 ) = 0 x = 0 of x = 3 . Dus de grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in de punten met eerste coördinaat 0 en 3 .
    In 0 is f ( x ) niet extreem, in 3 is f ( x ) minimaal, het minimum is f ( 3 ) = 3 4 4 3 3 = 81 108 = 27 .

Raaklijn

Gegeven f : x 1 3 x 3 x 2 + 2 x + 1 .

  • Een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met eerste coördinaat 3 vind je als volgt.
    f ( 3 ) = 1 3 3 3 3 2 + 2 3 + 1 = 7 ,
    f ( x ) = x 2 2 x + 2 , dus f ( 3 ) = 3 2 2 3 + 2 = 5 .
    De raaklijn gaat dus door ( 3,7 ) en heeft richtingscoëfficiënt  5 .
    De hoogte waarop de lijn de y -as snijdt is: 7 3 5 = 8 . Een vergelijking van de raaklijn is: y = 5 x 8 .

  • In de punten waar de raaklijn helling 5 heeft, geldt: f ( x ) = 5 , dus x 2 2 x + 2 = 5 x 2 2 x 3 = 0 ( x + 1 ) ( x 3 ) = 0 , dus in de punten met eerste coördinaat 1 en 3 .