We maken een lijst met functies waarvan we de afgeleide kennen.

$f : x \to a x + b$	$f^{'} : x \to a$
$f : x \to x^{2}$	$f^{'} : x \to 2 x$
$f : x \to x^{3}$	$f^{'} : x \to 3 x^{2}$
$f : x \to \frac{1}{x}$	$f^{'} : x \to ‐ \frac{1}{x^{2}}$

Maar wat is nu de afgeleide van bijvoorbeeld: $f : x \to x^{3} + 2 x^{2}$ ?
Daarover gaat het volgende.

Gegeven zijn de functies $f : x \to x^{2}$ en $g : x \to 3 x^{2}$ .
Iemand heeft de gemiddelde helling van de grafiek van $f$ berekend op het interval $[2; 2,001]$ . De uitkomst is $4,001$ .

Wat is dan de gemiddelde helling van de grafiek van $g$ op dat interval?

Wat is het verband tussen de hellingfunctie van $f$ en de hellingfunctie van $g$ ?

In opgave 21 van paragraaf 3 De afgeleide functie hebben we de formule voor de afgeleide functie van $f$ gevonden: $f^{'} (x) = 2 x$ .

Wat is de formule voor $g^{'} (x)$ ?

Veelvoudregel

Als de functie $g$ een veelvoud van de functie $f$ is, dat wil zeggen er is een getal $c$ zodat $g (x) = c \cdot f (x)$ voor alle $x$ , dan $g^{'} (x) = c \cdot f^{'} (x)$ voor alle $x$ .

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{1}{3} x^{3}$ .

Bereken de helling van de grafiek van $f$ in het punt met eerste coördinaat $6$ .

In welke punten van de grafiek van $f$ is de helling $2$ ?

Een steen valt van een toren van $80$ meter hoog. Uit de natuurkunde is bekend: $s = 5 t^{2}$ , hierbij is $s$ het aantal meter dat de steen gevallen is na $t$ seconden.
(Hierbij is de valversnelling voor het gemak afgerond op $10$ m/s².)

Na hoeveel seconden komt de steen op de grond?

Geef een formule voor de snelheid $v$ van de steen na $t$ seconden vallen (in m/s).

Na hoeveel seconden is de valsnelheid van de steen $120$ km per uur?

Met welke snelheid komt de steen op de grond?

figuur 1

Gegeven $f : x \to x^{3}$ en $g : x \to x^{3} + 2$ .
De grafieken van de twee functies zijn hiernaast getekend.
Zie figuur 1.

Hoe ontstaat de grafiek van $g$ uit de grafiek van $f$ ?
Wat volgt daaruit over de gemiddelde helling van $f$ en $g$ op bijvoorbeeld het interval $[0,1]$ ?

Geef een formule voor de afgeleide functie van $g$ .

In figuur 2 staan de grafieken van drie functies $f$ , $g$ en $h$ .

figuur 2

Er geldt: $f (x) = \frac{1}{2} x^{3}$ , $g (x) = x^{2}$ en $h (x) = \frac{1}{2} x^{3} + x^{2}$ , met andere woorden: $h = f + g$ .

Bereken de gemiddelde helling van $f$ , $g$ en $h$ op het interval $[1,1 \frac{1}{10}]$ .
Zie jij een verband tussen de drie uitkomsten?

Wat je in c gezien hebt, volgt uit het feit dat:
$\frac{h (b) - h (a)}{b - a} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} + \frac{g (b) - g (a)}{b - a}$ als $a \neq b$ .

Laat zien dat bovenstaande juist is.

Wat is het verband tussen de afgeleide functies van $f$ , $g$ en $h$ ?

Somregel

Als $f = g + h$ , dan $f^{'} = g^{'} + h^{'}$ .

Speciaal geval
Als $f = g + c$ , waarbij $c$ een constante is, dan $f^{'} = g^{'}$ .

Opmerking:

Een voorbeeld van het 'speciale geval', heb je in het begin van opgave 34 gezien.

Voorbeeld:

als $f : x \to x^{3}$	dan $f^{'} : x \to 3 x^{2}$	(regel uit paragraaf 3)
als $f : x \to 2 x^{2}$	dan $f^{'} : x \to 4 x$	(veelvoudregel)
als $f : x \to x^{3} + 2 x^{2}$	dan $f^{'} : x \to 3 x^{2} + 4 x$	(somregel en voorgaande)

Hiermee is de vraag aan het begin van de paragraaf beantwoord.

Gegeven $f : x \to x \cdot x^{2}$ .
Charles zegt: dan is dus $f^{'} (x) = 1 \cdot 2 x = 2 x$ .
Hughes zegt: dan $f (x) = x^{3}$ en $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ .

Wie heeft gelijk? Welke fout maakt de ander?

Differentieer de volgende functies.

$f : x \to 3 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 7$	$j : x \to 3 (x + 1) (x - 1)$
$g : x \to 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$	$k : x \to x - \frac{1}{x}$
$h : x \to \frac{3 x^{2} + 4 x - 3}{x}$	$m : x \to 7 - x$

(hint)

Schrijf $h (x)$ anders.