1

Gegeven de functie $f : x \to \frac{a x + 3}{2 x - 4}$ , voor alle mogelijke waarden van $a$ .

a

Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van $a$ de grafiek van $f$ een perforatie heeft.

b

Bereken langs algebraïsche weg voor welke waarden van $a$ de grafiek van $f$ een horizontale asymptoot $y = 3$ heeft.

2

Gegeven is de functie $f : x \to \frac{| x | - 1}{x - 1}$ .

a

Teken de grafiek van $f$ op de GR of met GeoGebra.

Het ziet er naar uit dat de grafiek bestaat uit een deel van een hyperbool en een deel van een rechte lijn. Dat zie je als je de formule voor $f (x)$ zonder absoluutstrepen schrijft.

b

Schrijf de formule van $f (x)$ zonder absoluutstrepen:
$f (x) = {\begin{cases} ... als x > 0 \\ ... als x < 0 \end{cases}$ .

c

Ga na of de grafiek van $f$ een perforatie heeft.

d

Wat is $\lim_{x \to \infty} f (x)$ en wat $\lim_{x \to - \infty} f (x)$ ?

3

Een lampje is opgesteld voor een lens. Achter de lens bevindt zich een scherm waarop het beeld van het lampje wordt opgevangen. Als het lampje verplaatst wordt, moet je het scherm mee bewegen om een scherp beeld te houden.
De afstand lampje-lens noemen we $v$ , de afstand scherm-lens noemen we $b$ (beide in dm).
Bij onze lens geldt: $\frac{1}{v} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ .

a

Bereken $b$ als $v = 3$ .

Uiteraard kunnen $v$ en $b$ alleen positieve waarden aannemen.

b

Leg uit dat hieruit volgt dat $v$ en $b$ zelfs groter dan $2$ moeten zijn.

c

Wat weet je van $b$ als $v$ een groot getal is?
Wat weet je van $b$ als $v$ maar een klein beetje groter dan $2$ is?

De formule $\frac{1}{v} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ kan worden omgewerkt tot de formule $b = 2 + \frac{4}{v - 2}$ .

d

Ga dat na.

De $v$ - $b$ -grafiek is een stuk van een hyperbool.

e

Wat zijn de asymptoten van die hyperbool?

4

Gegeven is het verband $y = \frac{a x + 2}{b x + 1}$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Er zijn getallen $a$ en $b$ waarbij de grafiek van het verband een horizontale lijn is met een perforatie.

a

Geef langs algebraïsche weg een vergelijking van die lijn.

Er zijn getallen $a$ en $b$ zó, dat de grafiek een perforatie heeft met eerste coördinaat $2$ .

b

Bereken $a$ en $b$ exact.

Er zijn getallen $a$ en $b$ waarvoor het verband horizontale asymptoot $y = 3$ en verticale asymptoot $x = 2$ heeft.

c

Bereken $a$ en $b$ exact.

Er zijn getallen $a$ en $b$ waarvoor de grafiek van het verband een rechte lijn door het punt $(2,6)$ is.

d

Bereken $a$ en $b$ exact.

5

Een plank van $2$ meter lengte wordt in één punt ondersteund.

Aan het linker uiteinde van de plank hangt een gewicht van $100$ newton. Iemand houdt de plank in evenwicht door hem aan het rechter uiteinde naar beneden te drukken, zeg met een kracht van $k$ newton. De lengte van het rechter stuk (vanaf het steunpunt) noemen we $a$ meter. We verwaarlozen het gewicht van de plank.
Er geldt de formule: $k = 100 (\frac{2}{a} - 1)$

a

Leid deze formule af met de hefboomwet.

Natuurlijk zijn $k$ en $a$ positief.

b

Bepaal langs algebraïsche weg welke waarden $k$ en $a$ kunnen aannemen.

c

Schrijf $a$ als functie van $k$ , dus druk $a$ in $k$ uit.

6

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = 2 \sqrt{x} + 2$ .

De grafiek van $f$ ontstaat uit die van $y = \sqrt{x}$ door eerst verticaal te vermenigvuldigen en vervolgens verticaal te verschuiven.

a

Hoe?

De grafiek van $f$ ontstaat uit die van $y = \sqrt{x}$ door eerste verticaal te verschuiven en dan verticaal te vermenigvuldigen.

b

Hoe?

De grafiek van $f$ ontstaat uit die van $y = \sqrt{x}$ door eerst horizontaal te vermenigvuldigen en daarna een verticaal te verschuiven.

c

Hoe?

7

Gegeven de functie $y = \frac{2 x + 1}{x}$ .

a

Schrijf $\frac{2 x + 1}{x}$ in de vorm: $\frac{1}{x} + ...$ en geef een formule voor de inverse functie.

Gegeven is de functie $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ .

b

Geef een formule voor de inverse functie.

(hint)

Schrijf

y

in de vorm

... + \frac{...}{x - 2}

.

c

Welke symmetrie heeft de grafiek van de functie
$y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ ?
Waarom?

8

In tornado’s kunnen hoge windsnelheden bereikt worden. De zwaarte of heftigheid van een tornado wordt intensiteit genoemd. Er zijn verschillende schalen om de intensiteit van een tornado uit te drukken in een getal. Zo is er de Fujita-schaal die in 1971 is ontwikkeld. Voor de intensiteit op de Fujita-schaal geldt de volgende formule: $F = {(\frac{v}{6,3})}^{\frac{2}{3}} - 2$ . Hierin is $v$ de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en $F$ de intensiteit van de tornado op de Fujita-schaal. $F$ wordt afgerond op een geheel getal. In een zware tornado worden maximale windsnelheden van ongeveer $280$ km/u bereikt.

a

Bereken de intensiteit van deze tornado op de Fujita-schaal.

Een tornado met intensiteit $4$ op de Fujita-schaal komt niet zo vaak voor.

b

Bereken de minimale waarde van $v$ in zo’n tornado. Rond je antwoord af op één decimaal.

Een andere schaal voor de intensiteit van tornado’s is de in 1972 ontwikkelde Torro-schaal $T$ . Het verband tussen $v$ en $T$ wordt gegeven door de formule: $v = 2,39 \cdot {(T + 4)}^{\frac{3}{2}}$ . Hierin is $v$ de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en $T$ de intensiteit van de tornado op de Torro-schaal. $T$ wordt afgerond op een geheel getal.
Er bestaat een lineair verband tussen de onafgeronde $F$ - en $T$ -waarden. Dit lineaire verband kan worden beschreven met een formule van de vorm $F = a T + b$ .

c

Bereken de waarden van $a$ en $b$ . Rond je antwoorden af op twee decimalen.