1

f is de functie met f ( x ) = x | x | .

a

Vul de tabel in:

x

1

3

100

0,01

0,01

1000

f ( x )

b

Teken de grafiek van f .

Neem voor x achtereenvolgens 1 10 , 1 100 , 1 1000 en 1 10.000 .

c

Wat is f ( x ) bij deze invoer?

Er geldt: lim x 0 f ( x ) = 1 .
Neem voor x achtereenvolgens 1 10 , 1 100 , 1 1000 en 1 10.000 .

d

Wat is f ( x ) bij deze invoer?

e

Wat is lim x 0 f ( x ) ?

2
a

Welke waarden neemt x 1 | x 1 | aan als x > 1 ?
En als x < 1 ?

f is de functie met f ( x ) = x 2 x | x 1 | .

b

Wat is het domein van deze functie?

c

Teken de grafiek van f met GeoGebra of de GR.

De grafiek bestaat uit delen van de lijnen y = x en y = x .

d

Verklaar dit met de formule van f ( x ) .

(hint)
Gebruik het eerste onderdeel van de opgave.

e

Wat is lim x 1 f ( x ) ? En wat lim x 1 f ( x ) ?

Opmerking:

Als x > 1 , dan | x 1 | = x 1 ,

als x < 1 , dan | x 1 | = ( x 1 ) .

Dus

als x > 1 , dan x 2 x | x 1 | = x ( x 1 ) ( x 1 ) = x ,

als x < 1 , dan x 2 x | x 1 | = x ( x 1 ) ( x 1 ) = x .

3

g is de functie met g ( x ) = x 2 x x 1 .

a

Wat is het domein van g ?

De grafiek van g is een deel van de lijn y = x .

b

Verklaar dat.

De grafiek van g uit opgave 58 heeft een perforatie ( 1,1 ) .
Hier geldt: lim x 1 g ( x ) = lim x 1 g ( x ) = 1 .
Omdat lim x 1 g ( x ) = lim x 1 g ( x ) = 1 , zeggen we lim x 1 g ( x ) = 1 .


In opgave 57 is lim x 1 f ( x ) lim x 1 f ( x ) .
Daarom zeggen we lim x 1 f ( x ) bestaat niet.

4

f is de functie met f ( x ) = x 2 4 x 2 .

a

Wat is het domein van f ?

b

Teken de grafiek van f met GeoGebra of de GR.

De grafiek van f lijkt wel de lijn y = x + 2 .

c

Is dat zo?

d

Wat is lim x 2 f ( x ) ? Bepaal dit langs algebraïsche weg.

De functie x x 2 4 x 2 heeft perforatie ( 2,4 ) .

e

Wat is lim x f ( x ) en wat lim x f ( x ) ?

De grafiek van f van opgave 59 heeft geen horizontale asymptoot.

 
 

5

Gegeven de functie f : x x 2 + x x 2 x .

a

Wat is het domein van f ?

b

Teken de grafiek van f met GeoGebra of de GR.

De grafiek van f is op een perforatie na een hyperbool.

c

Geef langs algebraïsche weg een formule bij de hyperbool in de vorm: y = a x + b c x + d .

d

Wat is lim x 0 f ( x ) , lim x 0 f ( x ) , lim x 1 f ( x ) en lim x 1 f ( x ) ?

(hint)
De GR kan je helpen.

e

Welk punt is perforatie van de grafiek van f ?

f

Wat kun je zeggen van lim x 0 f ( x ) en lim x 1 f ( x ) ?

g

Wat is lim x f ( x ) en lim x f ( x ) ?

h

Geef een vergelijking van elke asymptoot van f .

Zie opgave 59.
Dat lim x 2 f ( x ) = 4 kunnen we kort als volgt verantwoorden.
lim x 2 f ( x ) = lim x 2 x 2 4 x 2 = lim x 2 ( x 2 ) ( x + 2 ) x 2 = lim x 2 ( x + 2 ) = 4 .
Zie opgave 60.
lim x 0 f ( x ) = lim x 0 x 2 + x x 2 x = lim x 0 x ( x + 1 ) x ( x 1 ) = lim x 0 x + 1 x 1 = 1 .

6

Gegeven de functie f : x x 2 + x 2 x 2 x .

a

Wat is het domein van f ?

b

Heeft de grafiek van f een perforatie?

c

Wat is lim x 0 f ( x ) , lim x 0 f ( x ) , lim x 1 f ( x ) en lim x 1 f ( x ) ?

d

Wat kun je zeggen van lim x 0 f ( x ) en lim x 1 f ( x ) ?

e

Wat is lim x f ( x ) en lim x f ( x ) ?

f

Geef een vergelijking van elke asymptoot van f .