De totale oppervlakte (van de $6$ grensvlakken) van een kubus noemen we $O$ en de inhoud $V$ .
Er is een getal $c$ zó, dat $V^{2} = c \cdot O^{3}$ .

Laat dat zien en bepaal $c$ exact.

Er is een getal $k$ zó, dat $V = k \cdot O \sqrt{O}$ .

Bereken $k$ exact, vereenvoudig de wortel.

De hoeveelheid water $H$ (in liter) die er uit een buis stroomt, hangt af van zijn diameter $d$ (in dm) en de snelheid $v$ (in m/s) waarmee dat water stroomt.

Als de diameter van een buis $1$ dm is en de hoeveelheid water die per seconde wordt afgevoerd $80$ liter is, hoe snel stroomt het water dan uit de buis (in m/s)?

Neem aan: het water stroomt met een constante snelheid $v m/s$ .

Laat zien dat $v = \frac{0,4 H}{π d^{2}}$ .

Om een bouwput droog te houden, moet er per seconde $100$ liter water worden afgevoerd.
De uitstroomsnelheid hangt af de diameter van de buis.
Er geldt: $v = a \cdot d^{b}$ , voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Geef $a$ en $b$ exact en benader $a$ ook in twee decimalen.

Hoe zwaarder een zoogdier, hoe zwaarder zijn hersenen. Een formule voor het verband tussen het hersengewicht $H$ in gram en het lichaamsgewicht $L$ in kg is: $H = 12 \cdot L^{\frac{2}{3}}$ .

Bereken het hersengewicht van een hond van $30$ kg in gram nauwkeurig.

Sommige dieren hebben een groter hersengewicht dan ze volgens de formule zouden moeten hebben, andere dieren hebben een lager hersengewicht. Het EQ van een dier (Encefalisatie-Quotiënt) is de verhouding van zijn werkelijk hersengewicht en het hersengewicht $H$ dat het volgens de formule zou moeten hebben. Een dier met een hoog EQ heeft dus relatief veel hersenen.
Een tapir heeft een EQ van $0,5$ , een hond van $1,0$ en een chimpansee van $2,6$ . Een aapje van $1000$ gram zou volgens de formule een hersengewicht van $12$ gram moeten hebben. Is het werkelijk hersengewicht $48$ gram, dan is het EQ van het aapje $4,0$ .

Een onderzoeker maakt melding van een witte dolfijn met een lichaamsgewicht van $521$ kilogram en een hersengewicht van $2355$ gram.

Bereken het EQ van die dolfijn.

In de drie voorgaande opgaven hebben we voorbeelden gezien van zogenaamde machtsfuncties.

Een machtsfunctie is een functie van de vorm $y = a \cdot x^{b}$ , voor zekere waarden van $a$ en $b$ .
Tenzij anders vermeld, nemen we voor de invoer van deze functie de positieve getallen (en $0$ als $b \geq 0$ ).

Waarom nemen we $0$ niet als invoer als $b < 0$ ?

In het plaatje en op het werkblad staan de machtsfuncties voor $α = 1$ , $α = 2$ , $α = 3$ , $α = 4$ en $α = 5$ .

Wat zijn de twee gemeenschappelijke punten van de grafieken van machtsfuncties?
Kun je dat met behulp van de formule $y = x^{α}$ verklaren?

Kleur op het werkblad de grafiek van $y = x^{2}$ groen en de grafiek van $y = x^{4}$ paars.

Kun je uitleggen waarom de grafiek van $y = x^{2}$ boven die van $y = x^{4}$ ligt als $0 < x < 1$ ?

Hiernaast staan de grafieken bij de verbanden $y = x^{‐ 1}$ en $y = x^{‐ 2}$ . Het snijpunt van de twee grafieken is $(1,1)$ .
$P$ is een punt op de grafiek van $y = x^{‐ 1}$ en $Q$ een punt op de grafiek van $y = x^{‐ 2}$ met dezelfde eerste coördinaat.

Bereken exact de eerste coördinaat van $P$ als dit punt $\frac{5}{36}$ boven $Q$ ligt.

Bereken langs algebraïsche weg de eerste coördinaat van $P$ als dit punt $3$ onder $Q$ ligt in twee decimalen.

Wat is de tweede coördinaat van $P$ als de tweede coördinaat van $Q$ groter is dan $10.000$ ?

Wat is de tweede coördinaat van $P$ als de tweede coördinaat van $Q$ kleiner is dan $0,0001$ ?

Neem aan: $y = x^{‐ 1}$ of $y = x^{‐ 2}$ . Naarmate $x$ dichter bij $0$ komt, wordt $y$ zo groot als je maar wilt.
Naarmate $x$ groter wordt, komen de grafieken van $y = x^{‐ 1}$ en $y = x^{‐ 2}$ zo dicht bij de $x$ -as als je maar wilt.
De $x$ -as en de $y$ -as zijn asymptoten van de verbanden $y = x^{‐ 1}$ en $y = x^{‐ 2}$ . We komen hierop terug.

Alle machtsfuncties $y = x^{a}$ met $a > 0$ zijn stijgend, ook als de exponent $a$ een breuk is.

Onderzoek op de GR of met GeoGebra of de grafiek van $y = x^{1,6}$ onder of boven de grafiek van $y = x^{1,7}$ ligt.

Onderzoek of de grafiek van $y = x^{0,6}$ onder of boven de grafiek van $y = x^{0,7}$ ligt.

Voor welke waarden van $a$ heeft de functie $y = x^{a}$ toenemende stijging en voor welke $a$ afnemende stijging?

De grafiek van $y = a \cdot x^{b}$ , met $a > 0$ is afnemend stijgend als $0 < b < 1$ en toenemend stijgend als $b > 1$ .

In de figuur staat de grafiek van een machtsfunctie $y = x^{α}$ .

Zoek uit hoe groot $α$ ongeveer is. Beschrijf je werkwijze.

Bekijk het verband $y = x^{2}$ , met $x > 0$ .

Vul de tabel in ( $a > 0$ ).

$x$	$7$	$10$
$y$			$7$	$a$

Conclusie:
als $x^{2} = a$ , dan $x = \sqrt{a}$ ofwel $x = a^{\frac{1}{2}}$ .

Laat met een rekenregel voor machten zien dat $x = a^{\frac{1}{2}}$ oplossing is van de vergelijking $x^{2} = a$ .

Bereken met de rekenmachine $5^{3 \frac{1}{2}}$ . Neem vervolgens de uitkomst tot de macht $\frac{2}{7}$ .
Een mooie uitkomst!
Dit kan ook zonder rekenmachine.
Laat dat met de rekenregels voor machten zien.

Waarom is $5^{3 \frac{1}{2}}$ oplossing van de vergelijking $x^{\frac{2}{7}} = 5$ ?
Laat dit met een rekenregel voor machten zien.

Welk getal is oplossing van de vergelijking $x^{‐ 3 \frac{1}{2}} = 5$ ?

In de voorgaande opgave heb je voorbeelden gezien van de volgende regel.

Als $x^{b} = a$ dan $x = a^{\frac{1}{b}}$ .
Hierbij worden $x$ en $a$ positief verondersteld en $b \neq 0$ .

Laat bovenstaande zien met de rekenregels voor machten. In het bewijs maakt het ook niet uit of $b$ negatief is.

Waarom heeft de vergelijking $x^{b} = a$ maar één oplossing?

Hoe groter de vogelsoort, hoe groter de eieren. Na een onderzoek van $800$ vogelsoorten kwam de ornitholoog Rahn tot een formule die het verband legt tussen het gewicht van een ei en het gewicht van de moedervogel: $E = 0,3 \cdot G^{\frac{3}{4}}$ . Hierin is $E$ het eigewicht en $G$ het lichaamsgewicht, beide in grammen.

Een grauwe gans weegt $2,5$ kilogram.

Hoe zwaar zijn de eieren van de grauwe gans volgens de formule?

Van de prehistorische vogel Aepoyornis die op Madagascar leefde heeft men een fossiel ei gevonden. Men schat dat het ei $10$ kg heeft gewogen.

Hoe zwaar is de Aepoyomis volgens de formule geweest?

Geef een formule voor $G$ , uitgedrukt in $E$ .

Vergelijkingen oplossen

Voorbeeld:

Bereken in drie decimalen het positieve getal $x$ waarvoor geldt: $10 x = \sqrt[3]{x}$ .

Oplossing

$10 x$	$=$	$\sqrt[3]{x}$	$\sqrt[3]{\dots} = {(\dots)}^{\frac{1}{3}}$
$10 x$	$=$	$x^{\frac{1}{3}}$	delen door $x^{\frac{1}{3}}$
$10 x^{\frac{2}{3}}$	$=$	$1$	delen door $10$
$x^{\frac{2}{3}}$	$=$	$0,1$	als $x^{b} = a$ dan $x = a^{\frac{1}{b}}$
$x$	$=$	${0,1}^{\frac{3}{2}}$

Dus

x = 0,032

Zoek exact de positieve getallen $x$ waarvoor geldt:

$x^{2} \sqrt{x} = 10$

$\sqrt[4]{x^{3}} = 10$

$\sqrt{x} = 10 \sqrt[3]{x}$

$x^{2} \sqrt{2 x} = x^{4}$

$\sqrt{{(2 x)}^{3}} = x^{4}$

$x^{2} \sqrt{x} - 10 x \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} = 0$

In de figuur staan de grafieken van de functies $f$ en $g$ met $f (x) = \sqrt[3]{x}$ en $g (x) = \frac{1}{2} x^{3}$ .

Behalve in $O (0,0)$ snijden de grafieken elkaar nog in $S$ .

Bereken de coördinaten van $S$ exact.

Een lijn evenwijdig aan de $y$ -as snijdt de $x$ -as in $A$ , de grafiek van $f$ in $B$ en de grafiek van $g$ in $T$ .
Er geldt: $B T = 2 \cdot A T$ .

Bereken de lengte van lijnstuk $A B$ exact.

(hint)

Noem de eerste coördinaat van $A$ : $x$ . Er geldt: $f (x) = 3 \cdot g (x)$ .

De functies $f$ en $g$ zijn hetzelfde als in de vorige opgave. Een horizontale lijn snijdt de $y$ -as in $P$ , de grafiek van $f$ in $Q$ en de grafiek van $g$ in $R$ , zó, dat $Q$ het midden van $P R$ is.

Bereken langs algebraïsche weg de lengte van lijnstuk $P R$ in twee decimalen.

(hint)

Noem de eerste coördinaat van

Q

a

, dan is die van

R

... a

.
Dat

Q

R

op dezelfde hoogte liggen, geeft je een vergelijking in

a